QCM : Limites et convergence des suites (10 questions)

Question 1

1. À partir d’un certain rang, on a $v_m\leq u_m\leq w_m$ , et les suites $v_m$ et $w_m$ convergent vers le même réel $l$ . Quelle conclusion s’impose pour $u_m$ ?

Elle converge vers

l

par le théorème des gendarmes.

Elle n’a pas nécessairement de limite, car les deux bornes sont distinctes.

Elle converge vers la limite de la suite

w_m

uniquement si

u_m

est monotone.

Elle tend vers

+\infty

parce qu’elle est encadrée.

Explication

Les deux bornes ayant la même limite réelle, le théorème des gendarmes impose que $u_m$ converge vers cette limite. Une divergence vers l’infini ne découle pas d’un encadrement par deux suites convergeant vers un réel.

Answer

Elle converge vers $$l$$ par le théorème des gendarmes.

Question 2

2. À partir d’un certain rang, une suite vérifie $u_m\geq v_m$ et $v_m\to+\infty$ . Quel comportement de $u_m$ peut-on conclure ?

Elle reste bornée dès que

v_m

est croissante.

Elle converge vers une limite réelle supérieure à chaque terme de

v_m

.

Elle tend vers

+\infty

par comparaison.

Elle tend vers

-\infty

parce qu’elle est comparée à une autre suite.

Explication

La suite $u_m$ est au-dessus de $v_m$ à partir d’un certain rang, et $v_m$ tend vers $+\infty$ ; par comparaison, $u_m$ tend aussi vers $+\infty$ . Une suite située au-dessus d’une suite qui diverge vers $+\infty$ ne relève pas du critère de comparaison vers $-\infty$ .

Answer

Elle tend vers $$+\infty$$ par comparaison.

Question 3

3. Quel est le comportement de la suite géométrique $q^m$ lorsque $q>1$ ?

Elle converge vers

1

.

Elle tend vers

+\infty

.

Elle n’a pas de limite en raison d’alternances de signe.

Elle converge vers

0

.

Explication

Pour une raison réelle strictement supérieure à $1$ , les puissances $q^m$ tendent vers $+\infty$ . La convergence vers $1$ correspond au cas distinct où la raison vaut $1$ .

Answer

Elle tend vers $$+\infty$$.

Question 4

4. Quel comportement a la suite $q^m$ lorsque $q\leq-1$ ?

Elle tend vers

+\infty

.

Elle tend vers

0

.

Elle n’a pas de limite.

Elle converge vers

-1

.

Explication

Pour $q\leq-1$ , les puissances ne convergent pas, notamment parce que leur signe alterne et que leur comportement ne se stabilise pas. La divergence vers $+\infty$ caractérise plutôt les puissances d’une raison strictement supérieure à $1$ .

Answer

Elle n’a pas de limite.

Question 5

5. Une suite croissante converge vers un réel $l$ . Quelle propriété vérifie alors $l$ par rapport aux termes de la suite ?

l

est un minorant de la suite.

l

est inférieur à tous les termes de la suite.

l

est nécessairement égal à chacun des termes de la suite.

l

est un majorant de la suite.

Explication

Pour une suite croissante convergeant vers $l$ , chaque terme est inférieur ou égal à $l$ , qui en est donc un majorant. Le fait que la suite soit croissante ne signifie pas que sa limite soit un minorant.

Answer

$$l$$ est un majorant de la suite.

Question 6

6. Une suite décroissante converge vers un réel $l$ . Quelle propriété vérifie alors $l$ par rapport à ses termes ?

l

est un minorant de la suite.

l

est un majorant de la suite.

l

est supérieur à chacun des termes de la suite.

l

est nécessairement égal à tous les termes de la suite.

Explication

Les termes d’une suite décroissante convergeant vers $l$ sont supérieurs ou égaux à $l$ , qui est donc un minorant. Une limite n’est pas pour autant un majorant de cette suite décroissante.

Answer

$$l$$ est un minorant de la suite.

Question 7

7. Une suite est croissante et possède un majorant. Quel théorème permet de conclure qu’elle converge ?

Le théorème de convergence des suites croissantes majorées.

Le théorème des suites décroissantes minorées.

Le théorème des gendarmes appliqué à deux limites infinies.

Le théorème de comparaison avec une suite tendant vers

+\infty

.

Explication

Toute suite croissante et majorée converge. Le théorème des suites décroissantes minorées concerne une monotonie et une borne différentes.

Answer

Le théorème de convergence des suites croissantes majorées.

Question 8

8. Une suite décroissante n’a pas de minorant. Vers quelle limite tend-elle ?

Elle converge vers

0

.

Elle tend vers

-\infty

.

Elle converge vers un réel qui est son majorant.

Elle tend vers

+\infty

.

Explication

Toute suite décroissante et non minorée tend vers $-\infty$ . La conclusion vers $+\infty$ correspond au cas d’une suite croissante et non majorée.

Answer

Elle tend vers $$-\infty$$.

Question 9

9. Pour déterminer la limite d’une suite récurrente croissante et majorée, quelle démarche permet de trouver cette limite ?

Montrer que la suite est décroissante, puis comparer ses termes à son minorant.

Résoudre la relation de récurrence pour obtenir directement le premier terme de la suite.

Établir d’abord sa convergence, puis utiliser la relation de récurrence satisfaite par sa limite.

Calculer plusieurs termes, puis prendre leur moyenne comme estimation de la limite.

Explication

La croissance et le fait d’être majorée permettent d’établir la convergence ; on note ensuite la limite et on exploite la relation de récurrence, avec l’unicité de la limite. Calculer une moyenne de termes peut fournir une estimation, mais ne justifie pas la valeur de la limite.

Answer

Établir d’abord sa convergence, puis utiliser la relation de récurrence satisfaite par sa limite.

Question 10

10. La suite est définie par $u_0=1$ et $u_{m+1}=\frac13u_m+2$ ; sachant qu’elle est croissante et majorée par 3, quelle valeur obtient-on pour sa limite ?

La limite est 1, car elle est égale au terme initial de la suite.

La limite est 6, car il faut doubler le terme constant de la relation.

La limite est 2, car c’est le terme constant de la relation de récurrence.

La limite est 3, car elle vérifie l’équation

l=\frac13l+2

.

Explication

La suite croissante et majorée converge, et sa limite vérifie $l=\frac13l+2$ , dont la solution est 3. Le terme constant 2 ne constitue pas à lui seul la limite : il faut résoudre l’équation obtenue à partir de la relation de récurrence.

Answer

La limite est 3, car elle vérifie l’équation $$l=\frac13l+2$$.

QCM : Limites et convergence des suites (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. À partir d’un certain rang, on a $v_m\leq u_m\leq w_m$ , et les suites $v_m$ et $w_m$ convergent vers le même réel $l$ . Quelle conclusion s’impose pour $u_m$ ?

2. À partir d’un certain rang, une suite vérifie $u_m\geq v_m$ et $v_m\to+\infty$ . Quel comportement de $u_m$ peut-on conclure ?

3. Quel est le comportement de la suite géométrique $q^m$ lorsque $q>1$ ?

4. Quel comportement a la suite $q^m$ lorsque $q\leq-1$ ?

5. Une suite croissante converge vers un réel $l$ . Quelle propriété vérifie alors $l$ par rapport aux termes de la suite ?

6. Une suite décroissante converge vers un réel $l$ . Quelle propriété vérifie alors $l$ par rapport à ses termes ?

7. Une suite est croissante et possède un majorant. Quel théorème permet de conclure qu’elle converge ?

8. Une suite décroissante n’a pas de minorant. Vers quelle limite tend-elle ?

9. Pour déterminer la limite d’une suite récurrente croissante et majorée, quelle démarche permet de trouver cette limite ?

10. La suite est définie par $u_0=1$ et $u_{m+1}=\frac13u_m+2$ ; sachant qu’elle est croissante et majorée par 3, quelle valeur obtient-on pour sa limite ?

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Crée tes propres QCM

QCM : Limites et convergence des suites (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. À partir d’un certain rang, on a vm≤um≤wmv_m\leq u_m\leq w_mvm​≤um​≤wm​, et les suites vmv_mvm​ et wmw_mwm​ convergent vers le même réel lll. Quelle conclusion s’impose pour umu_mum​ ?

2. À partir d’un certain rang, une suite vérifie um≥vmu_m\geq v_mum​≥vm​ et vm→+∞v_m\to+\inftyvm​→+∞. Quel comportement de umu_mum​ peut-on conclure ?

3. Quel est le comportement de la suite géométrique qmq^mqm lorsque q>1q>1q>1 ?

4. Quel comportement a la suite qmq^mqm lorsque q≤−1q\leq-1q≤−1 ?

5. Une suite croissante converge vers un réel lll. Quelle propriété vérifie alors lll par rapport aux termes de la suite ?

6. Une suite décroissante converge vers un réel lll. Quelle propriété vérifie alors lll par rapport à ses termes ?

7. Une suite est croissante et possède un majorant. Quel théorème permet de conclure qu’elle converge ?

8. Une suite décroissante n’a pas de minorant. Vers quelle limite tend-elle ?

9. Pour déterminer la limite d’une suite récurrente croissante et majorée, quelle démarche permet de trouver cette limite ?

10. La suite est définie par u0=1u_0=1u0​=1 et um+1=13um+2u_{m+1}=\frac13u_m+2um+1​=31​um​+2 ; sachant qu’elle est croissante et majorée par 3, quelle valeur obtient-on pour sa limite ?

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1. À partir d’un certain rang, on a $v_m\leq u_m\leq w_m$ , et les suites $v_m$ et $w_m$ convergent vers le même réel $l$ . Quelle conclusion s’impose pour $u_m$ ?

2. À partir d’un certain rang, une suite vérifie $u_m\geq v_m$ et $v_m\to+\infty$ . Quel comportement de $u_m$ peut-on conclure ?

3. Quel est le comportement de la suite géométrique $q^m$ lorsque $q>1$ ?

4. Quel comportement a la suite $q^m$ lorsque $q\leq-1$ ?

5. Une suite croissante converge vers un réel $l$ . Quelle propriété vérifie alors $l$ par rapport aux termes de la suite ?

6. Une suite décroissante converge vers un réel $l$ . Quelle propriété vérifie alors $l$ par rapport à ses termes ?

10. La suite est définie par $u_0=1$ et $u_{m+1}=\frac13u_m+2$ ; sachant qu’elle est croissante et majorée par 3, quelle valeur obtient-on pour sa limite ?