QCM : Limites et étude des fonctions — 13 questions

Explication

La plus grande puissance de x se factorise sous la racine, puis $\sqrt{x^2}=|x|$. Ainsi, lorsque $x\to-\infty$, $|x|=-x$. La relation $\sqrt{x^2}=x$ n’est pas valable dans toute direction, et le terme constant ne détermine pas cette factorisation.

Explication

À l’infini, le monôme de plus haut degré domine les autres termes et détermine la limite. Les termes de degré inférieur deviennent secondaires. Le terme constant ou le terme de plus bas degré ne gouverne donc pas le comportement asymptotique.

Explication

Lorsque $\sqrt a\ne|\alpha|$, la mise en facteur de x convient, tandis que l’expression conjuguée intervient lorsque $\sqrt a=|\alpha|$. La comparaison porte donc sur les coefficients des termes dominants en valeur absolue. Dans le premier cas, la limite vaut $+\infty$ ou $-\infty$, et dans le second cas, elle est réelle. Ainsi, l’affirmation selon laquelle la limite obtenue est réelle lorsque $\sqrt a\ne|\alpha|$ est fausse, tout comme celle qui associe la mise en facteur de x à des coefficients dominants égaux en valeur absolue.

Explication

Les limites remarquables sont $\frac{\sin x}{x}\to1$, $\frac{1-\cos x}{x}\to0$ et $\frac{1-\cos x}{x^2}\to\frac12$. La puissance du dénominateur modifie donc la limite, et la valeur $\frac12$ appartient au quotient avec $x^2$.

Explication

Lorsque le numérateur s’écrit $g(x)-g(a)$ et le dénominateur $x-a$, le quotient est un nombre dérivé et sa limite vaut $g'(a)$. La présence d’un facteur commun relève plutôt de la factorisation, tandis que la conjugaison concerne notamment les expressions avec racine carrée.

Explication

Pour une forme $0/0$ avec racine carrée, on multiplie par l’expression conjuguée au numérateur et au dénominateur. La différence de carrés fait apparaître un facteur $x-a$, qui peut alors être simplifié. La méthode ne repose ni sur une factorisation polynomiale préalable ni sur une dérivation directe.

Explication

On a $\sqrt4=2$ et $|-1|=1$, donc les coefficients dominants sont différents en valeur absolue. La mise en facteur de x s’applique et conduit à une divergence vers $+\infty$. La conjugaison correspond au cas d’égalité des coefficients dominants en valeur absolue.

Explication

La limite vaut $-\frac14$. Les termes dominants se compensent, ce qui rend nécessaire la multiplication par l’expression conjuguée. Une simple mise en facteur ne suffit donc pas, et le résultat n’est pas une limite infinie.

Explication

La notation $v\circ u$ signifie que l’on applique d’abord u, puis v, et s’écrit donc $v(u(x))$. Dans $v(u(x))$, u est la fonction intérieure et v la fonction extérieure. L’ordre d’application est donc u puis v, et la fonction composée $u(v(x))$ correspond à $u\circ v$.

Explication

La démarche consiste à déterminer d’abord la limite de $u(x)$, puis celle de v lorsque son argument tend vers la valeur obtenue. Les autres démarches ignorent la composition ou attribuent à tort la valeur a à l’argument de v.

Explication

Les cinq propositions reprennent des identités remarquables exactes : les deux développements des carrés, la différence de deux carrés et les factorisations des cubes. Elles correspondent aux formes algébriques données.

Explication

Un polynôme est défini sur l’ensemble des réels, tandis qu’un quotient de polynômes exige que son dénominateur soit non nul. Sous une racine carrée, la condition correcte est $P(x)\ge0$, et les coefficients n’excluent aucune valeur du domaine.

Explication

Pour $\Delta=0$, la racine double vaut $-b/(2a)$ et le trinôme conserve le signe de a de part et d’autre. La forme factorisée correcte est $a(x+b/(2a))^2$ ; le signe ne change donc pas à la racine double.