Limites et étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Lever les indéterminations à l’infini
2. Lever les indéterminations en zéro
3. Applications aux limites avec racines
4. Limites de fonctions composées
5. Identités et domaines de définition
6. Signe des polynômes

📖 1. Lever les indéterminations à l’infini

★ À maîtriser

📌 Pour une limite à l’infini contenant une racine carrée, on factorise la plus grande puissance de x sous la racine et on utilise $\sqrt{x^2}=|x|$.

• Pour un polynôme à l’infini, la limite est déterminée par le monôme de plus haut degré.

📌 Pour une expression de la forme $\sqrt{ax^2+bx+c}\pm\alpha x+\beta$, on met x en facteur si $\sqrt a\ne|\alpha|$ et on utilise l’expression conjuguée si $\sqrt a=|\alpha|$.

Compléments

📌 Lorsque $\sqrt a=|\alpha|$, la limite de $\sqrt{ax^2+bx+c}\pm\alpha x+\beta$ est un réel, tandis que lorsque $\sqrt a\ne|\alpha|$ elle vaut $+\infty$ ou $-\infty$.

💡 Astuce mémo

Racine dominante : factoriser si les coefficients diffèrent, conjugué s’ils s’égalent

📖 2. Lever les indéterminations en zéro

• Les limites remarquables sont $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ et $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$.