Fiche de révision : Limites et étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Lever les indéterminations à l’infini
2. Lever les indéterminations en zéro
3. Applications aux limites avec racines
4. Limites de fonctions composées
5. Identités et domaines de définition
6. Signe des polynômes

📖 1. Lever les indéterminations à l’infini

★ À maîtriser

📌 Pour une limite à l’infini contenant une racine carrée, on factorise la plus grande puissance de x sous la racine et on utilise $\sqrt{x^2}=|x|$.

• Pour un polynôme à l’infini, la limite est déterminée par le monôme de plus haut degré.

📌 Pour une expression de la forme $\sqrt{ax^2+bx+c}\pm\alpha x+\beta$, on met x en facteur si $\sqrt a\ne|\alpha|$ et on utilise l’expression conjuguée si $\sqrt a=|\alpha|$.

Compléments

📌 Lorsque $\sqrt a=|\alpha|$, la limite de $\sqrt{ax^2+bx+c}\pm\alpha x+\beta$ est un réel, tandis que lorsque $\sqrt a\ne|\alpha|$ elle vaut $+\infty$ ou $-\infty$.

💡 Astuce mémo

Racine dominante : factoriser si les coefficients diffèrent, conjugué s’ils s’égalent

📖 2. Lever les indéterminations en zéro

★ À maîtriser

• Les limites remarquables sont $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ et $\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$.

• Pour une forme indéterminée 0/0 avec un dénominateur de la forme x-a, on peut transformer le numérateur en g(x)-g(a), calculer g'(a), puis utiliser la limite du nombre dérivé.

• Pour une forme 0/0 contenant une racine carrée, on multiplie le quotient par l’expression conjuguée au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie par x-a.

Compléments

• Pour une forme 0/0 polynomiale, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie le facteur commun x-a.

💡 Astuce mémo

SCD : trigonométrie, conjugué, dérivée

📖 3. Applications aux limites avec racines

★ À maîtriser

• On a $\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{4x^2+x}-x+1)=+\infty$ car $\sqrt4\ne|-1|$ et l’expression se traite par mise en facteur de x.

• On a $\lim_{x\to-\infty}(\sqrt{4x^2+x+3}+2x)=-\frac14$ après multiplication par l’expression conjuguée.

Compléments

• On a $\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{2x^2+x-3}}{1-x}=\sqrt2$ en factorisant x² sous la racine et en utilisant |x|=-x lorsque x tend vers -∞.

• On a $\lim_{x\to-\infty}\frac{2x-1-\sqrt{-3x+2}}{x-2}=2$ après mise en facteur de x et utilisation de |x|=-x.

💡 Astuce mémo

Factoriser, traiter |x|, simplifier, remplacer par les limites

📖 4. Limites de fonctions composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : s’écrit $$f(x)=v\circ u(x)=v(u(x))$

★ À maîtriser

• Pour calculer la limite de $v(u(x))$ lorsque x tend vers a, on calcule d’abord la limite de u(x), puis on étudie la limite de v(u) lorsque u tend vers cette valeur.

Compléments

• Comme $\sqrt x$ tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞, on obtient $\lim_{x\to+\infty}\frac{1+\sqrt x}{1-3\sqrt x}=-\frac13$.

💡 Astuce mémo

u puis v : limite de l’intérieur, puis limite de l’extérieur

📖 5. Identités et domaines de définition

★ À maîtriser

• Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$, $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$, $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ et $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

📌 Pour deux polynômes P et Q, le domaine de $P(x)$ est R, celui de $P(x)/Q(x)$ est l’ensemble des x tels que $Q(x)\ne0$, et celui de $\sqrt{P(x)}$ est l’ensemble des x tels que $P(x)\ge0$.

📌 Le domaine de $P(x)/\sqrt{Q(x)}$ est défini par $Q(x)>0$, et celui de $\sqrt{P(x)}/\sqrt{Q(x)}$ par $P(x)\ge0$ et $Q(x)>0$.

Compléments

📌 Le domaine de $\sqrt{P(x)/Q(x)}$ est défini par $P(x)/Q(x)>0$.

💡 Astuce mémo

Dénominateur non nul, radicande positif ou nul, radicande au dénominateur strictement positif

📖 6. Signe des polynômes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction affine $ax+b$ avec $a\ne0$, elle s’annule en $-b/a$, avec le signe de -a avant cette valeur et le signe de a après.

📐 Formule — Pour $P(x)=ax^2+bx+c$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

• Si $\Delta<0$, le trinôme n’a aucune racine réelle, garde le signe de a sur R et ne se factorise pas.

• Si $\Delta=0$, la racine double est $-b/(2a)$, le signe est celui de a de part et d’autre, et $P(x)=a(x+b/(2a))^2$.

• Si $\Delta>0$, les racines sont $x_1=(-b-\sqrt\Delta)/(2a)$ et $x_2=(-b+\sqrt\Delta)/(2a)$, et $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📐 Formule — Pour les racines d’un trinôme, on a $x_1x_2=c/a$ et $x_1+x_2=-b/a$.

💡 Astuce mémo

Discriminant, racines, signe

📊 Tableaux de synthèse

Signe d’un trinôme selon le discriminant