Fiche de révision : Calcul numérique

📋 Plan du Cours

1. Nombres premiers et factorisation
2. Opérations sur les fractions
3. Fractions irréductibles
4. Puissances et règles de calcul
5. Valeurs approchées et notation scientifique
6. Racines carrées et simplification

📖 1. Nombres premiers et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier positif ayant exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Tout entier peut se décomposer de manière unique en produit de facteurs premiers.

• La décomposition de 360 en facteurs premiers est $360=2^3\times3^2\times5$.

Compléments

• Le nombre 3 est premier, tandis que 9 ne l’est pas car il est divisible par 1, 3 et 9.

💡 Astuce mémo

Diviser, identifier les facteurs premiers, puis les regrouper en puissances

📖 2. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un même dénominateur non nul, $\frac{a}{b}+\frac{c}{b}=\frac{a+c}{b}$ et $\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}$.

📐 Formule — Pour $b\neq0$ et $d\neq0$, $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

Compléments

• Par exemple, $\frac{3}{4}-\frac{7}{8}=\frac{6}{8}-\frac{7}{8}=-\frac{1}{8}$.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur pour additionner, inverse pour diviser

📖 3. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers premiers entre eux : Entiers positifs n’ayant aucun diviseur commun hormis 1.
• Fraction irréductible : Une fraction $\frac{a}{b}$ avec $b\neq0$ est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.

📝 Points essentiels

• Pour simplifier $\frac{90}{84}$, on décompose les deux termes, on supprime les facteurs communs, puis on obtient $\frac{90}{84}=\frac{15}{14}$.

💡 Astuce mémo

Facteurs communs supprimés → fraction irréductible

📖 4. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : Produit de n facteurs égaux à a.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour des bases non nulles, $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $\left(a^m\right)^n=a^{mn}$, $\left(\frac{a}{b}\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$ et $(ab)^m=a^mb^m$.

📌 Par convention, $a^0=1$ et, pour un entier positif non nul m, $a^{-m}=\frac{1}{a^m}$.

📌 Si la base a est négative, $a^m>0$ lorsque m est pair et $a^m<0$ lorsque m est impair.

• L’ordre de priorité est:
  • parenthèses
  • puissances
  • multiplications ou divisions
  • additions ou soustractions

💡 Astuce mémo

Exposant pair : résultat positif ; exposant impair : signe conservé pour une base négative

📖 5. Valeurs approchées et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : Écriture de la forme $a\times10^m$, avec $1\leq a<10$ et m entier.

★ À maîtriser

📌 Une valeur exacte est égale au nombre considéré, tandis qu’une valeur approchée en donne une estimation, comme $\sqrt{3}\approx1{,}732$.

📌 Une valeur approchée par défaut est inférieure au nombre exact, tandis qu’une valeur approchée par excès lui est supérieure.

Compléments

• Les écritures scientifiques de 350 000 et 0,0047 sont respectivement $3{,}5\times10^5$ et $4{,}7\times10^{-3}$.

💡 Astuce mémo

Valeur exacte ≠ valeur approchée ; défaut en dessous, excès au-dessus

📖 6. Racines carrées et simplification

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre positif dont le carré vaut a.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour a et b positifs, $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ et, si $b\neq0$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

📌 Pour $a\geq0$, on a $(\sqrt{a})^2=a$, $\sqrt{a^2}=a$ lorsque a est positif ou nul, et $\sqrt{a}\geq0$.

• Pour simplifier une racine carrée, on fait apparaître le plus petit entier possible sous le signe radical et on évite de laisser une racine au dénominateur.

💡 Astuce mémo

Extraire les carrés parfaits, réduire sous la racine, rationaliser le dénominateur

📊 Tableaux de synthèse

Valeurs approchées