Fiche de révision : Limites et fonctions en Terminale

📋 Plan du Cours

1. Limites et croissance comparée
2. Continuité et valeurs intermédiaires
3. Dérivation des fonctions composées
4. Suites numériques et convergence

📖 1. Limites et croissance comparée

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier naturel non nul $n$, $\lim_{x\to +\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$.

Compléments

• Les quatre formes indéterminées doivent être levées par factorisation, quantité conjuguée ou croissance comparée.

💡 Astuce mémo

L’exponentielle dépasse les puissances, tandis que le logarithme reste en dessous.

📖 2. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

📝 Points essentiels

📌 Si $f$ est continue sur $[a,b]$, toute valeur $k$ comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte par $f$ en au moins un point $c\in[a,b]$.

📌 Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a,b]$, toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte une seule fois sur cet intervalle.

📖 3. Dérivation des fonctions composées

📝 Points essentiels

• La dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$, valable sur $\mathbb{R}$.

📐 Formule - La dérivée de $\ln(u(x))$ est $\frac{u'(x)}{u(x)}$ lorsque $u(x)>0$.

📐 Formule - La dérivée de $(u(x))^n$ est $n\cdot u'(x)\cdot (u(x))^{n-1}$, valable sur $\mathbb{R}$.

📖 4. Suites numériques et convergence

📝 Points essentiels

📐 Formule - La somme des termes d’une suite arithmétique est $S=\text{nombre de termes}\times\frac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique de raison $q\ne1$, la somme des termes est $S=\text{premier terme}\times\frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$.

📌 Toute suite croissante et majorée est convergente.

📌 Toute suite décroissante et minorée est convergente.