QCM : Limites et fonctions en Terminale (12 questions)

Question 1

1. Quand $x$ tend vers $+infty$ , vers quelle limite tend $\frac{e^x}{x^4}$ ?

-\infty

0

+\infty

1

Explication

L'exponentielle croît plus vite que toute puissance, donc le quotient tend vers $+\infty$ . La limite nulle correspond à la confusion avec le logarithme divisé par une puissance, tandis qu'une limite finie ou négative ne traduit pas cette croissance comparée.

Answer

$$+\infty$$

Question 2

2. Pour calculer une limite présentant une forme indéterminée, quelle démarche est adaptée ?

Remplacer l'expression par sa dérivée sans autre justification

Conclure directement à une limite nulle à partir de la forme obtenue

La lever par factorisation, quantité conjuguée ou croissance comparée

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à l'expression

Explication

Une forme indéterminée doit être transformée ou étudiée par une méthode adaptée, comme la factorisation, la quantité conjuguée ou la croissance comparée. Conclure directement confond une forme indéterminée avec une limite, et les deux autres propositions appliquent des outils qui ne lèvent pas à eux seuls cette indétermination.

Answer

La lever par factorisation, quantité conjuguée ou croissance comparée

Question 3

3. Une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to 2}f(x)=5$ et $f(2)=5$ . Quelle propriété possède-t-elle en $x_0=2$ ?

Elle est dérivable en

2

Elle est continue en

2

Elle est continue sur tout intervalle contenant

2

Elle n'est continue en

2

que si la limite vaut

0

Explication

La continuité en un point signifie que la limite en ce point est égale à la valeur de la fonction : ici, les deux valent $5$ . La dérivabilité et la continuité sur un intervalle entier ne découlent pas de cette seule égalité, et la limite n'a pas à valoir zéro.

Answer

Elle est continue en $$2$$

Question 4

4. Une fonction continue sur $[0,4]$ prend les valeurs $f(0)=-2$ et $f(4)=6$ . Quelle conclusion s'applique à l'équation $f(x)=3$ ?

Elle n'admet aucune solution dans

[0,4]

Elle admet au moins une solution dans

[0,4]

Elle admet au moins une solution pour toute valeur réelle

Elle admet exactement une solution dans

[0,4]

Explication

Comme $3$ est comprise entre $f(0)=-2$ et $f(4)=6$ , la continuité garantit au moins une solution dans l'intervalle. L'unicité demanderait une hypothèse supplémentaire de stricte monotonie, et le résultat ne s'étend pas à toute valeur réelle.

Answer

Elle admet au moins une solution dans $$[0,4]$$

Question 5

5. Une fonction est continue et strictement monotone sur $[1,5]$ , avec $f(1)=0$ et $f(5)=8$ . Combien de solutions l'équation $f(x)=6$ possède-t-elle dans cet intervalle ?

Une seule solution

Au moins deux solutions

Une infinité de solutions

Aucune solution

Explication

La valeur $6$ est entre les valeurs aux bornes : la continuité garantit qu'elle est atteinte, et la stricte monotonie garantit qu'elle ne l'est qu'une fois. « Au moins deux » et « une infinité » confondent l'atteinte d'une valeur avec plusieurs antécédents, tandis que l'absence de solution néglige le théorème des valeurs intermédiaires.

Answer

Une seule solution

Question 6

6. Pour $f(x)=e^{3x^2-1}$ , quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

6x e^{3x^2-1}

6x e^{3x^2-2}

3x^2 e^{3x^2-1}

e^{3x^2-1}

Explication

La dérivée d’une exponentielle composée est $u'(x)e^{u(x)}$ ; ici $u'(x)=6x$ . Omettre la dérivée intérieure donne l’expression sans facteur, tandis que multiplier par l’exposant ou le modifier confond cette règle avec d’autres formes.

Answer

$$6x e^{3x^2-1}$$

Question 7

7. Sur l’intervalle $]0,+\infty[$ , on pose $g(x)=\ln(x^2+1)$ . Quelle est la dérivée de $g$ ?

\frac{2x}{x^2+1}

\ln(2x)

\frac{1}{x^2+1}

2x

Explication

La dérivée de $\ln(u(x))$ est $\frac{u'(x)}{u(x)}$ lorsque $u(x)>0$ ; ici $u(x)=x^2+1$ est positif et $u'(x)=2x$ . $2x$ omet le dénominateur, tandis que $\frac{1}{x^2+1}$ omet la dérivée intérieure.

Answer

$$\frac{2x}{x^2+1}$$

Question 8

8. Pour $h(x)=(2x-1)^4$ , quelle est l’expression de $h'(x)$ ?

8(2x-1)^3

2(2x-1)^3

4(2x-1)^3

8(2x-1)^4

Explication

La dérivée d’une puissance composée est $n\cdot u'(x)\cdot (u(x))^{n-1}$ ; avec $n=4$ et $u'(x)=2$ , on obtient $8(2x-1)^3$ . $4(2x-1)^3$ omet le facteur intérieur, et $8(2x-1)^4$ ne diminue pas l’exposant.

Answer

$$8(2x-1)^3$$

Question 9

9. Une suite arithmétique comporte 12 termes, du premier terme 5 au dernier terme 38. Quelle est leur somme ?

43

21,5

258

396

Explication

La somme vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne des extrêmes : $12\times\frac{5+38}{2}=12\times21{,}5=258$ . $43$ oublie le nombre de termes et $21{,}5$ donne seulement la moyenne des extrêmes.

Answer

La suite converge.

Answer

La suite converge.

Question 10

10. Une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2 comporte 5 termes. Quelle est la somme de ces termes ?

31

93

-93

45

Explication

La somme est $3\times\frac{1-2^5}{1-2}=3\times\frac{-31}{-1}=93$ . $31$ oublie le premier terme, et $-93$ provient d’une inversion de signe qui rend la somme négative malgré des termes positifs.

Question 11

11. Une suite est croissante et tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 7. Quelle conclusion le théorème de convergence monotone permet-il ?

La suite diverge vers plus l’infini.

La suite est décroissante et converge.

La suite converge.

La suite converge seulement si elle est minorée.

Explication

Toute suite croissante et majorée est convergente ; la borne supérieure 7 fournit ici la majoration. La divergence vers plus l’infini contredit la majoration, et la condition de décroissance concerne une autre règle.

Question 12

12. Une suite est décroissante et chacun de ses termes est supérieur ou égal à $-4$ . Que peut-on conclure ?

La suite est croissante et converge.

La suite converge.

La suite converge si elle est majorée.

La suite diverge vers moins l’infini.

Explication

Toute suite décroissante et minorée converge ; la borne $-4$ assure ici qu’elle est minorée. Une divergence vers moins l’infini est incompatible avec cette borne, et le critère correspondant n’exige pas une majoration.

QCM : Limites et fonctions en Terminale (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quand $x$ tend vers $+infty$ , vers quelle limite tend $\frac{e^x}{x^4}$ ?

2. Pour calculer une limite présentant une forme indéterminée, quelle démarche est adaptée ?

3. Une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to 2}f(x)=5$ et $f(2)=5$ . Quelle propriété possède-t-elle en $x_0=2$ ?

4. Une fonction continue sur $[0,4]$ prend les valeurs $f(0)=-2$ et $f(4)=6$ . Quelle conclusion s'applique à l'équation $f(x)=3$ ?

5. Une fonction est continue et strictement monotone sur $[1,5]$ , avec $f(1)=0$ et $f(5)=8$ . Combien de solutions l'équation $f(x)=6$ possède-t-elle dans cet intervalle ?

6. Pour $f(x)=e^{3x^2-1}$ , quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

7. Sur l’intervalle $]0,+\infty[$ , on pose $g(x)=\ln(x^2+1)$ . Quelle est la dérivée de $g$ ?

8. Pour $h(x)=(2x-1)^4$ , quelle est l’expression de $h'(x)$ ?

9. Une suite arithmétique comporte 12 termes, du premier terme 5 au dernier terme 38. Quelle est leur somme ?

10. Une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2 comporte 5 termes. Quelle est la somme de ces termes ?

11. Une suite est croissante et tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 7. Quelle conclusion le théorème de convergence monotone permet-il ?

12. Une suite est décroissante et chacun de ses termes est supérieur ou égal à $-4$ . Que peut-on conclure ?

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QCM : Limites et fonctions en Terminale (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quand xxx tend vers +infty+infty+infty, vers quelle limite tend exx4\frac{e^x}{x^4}x4ex​ ?

2. Pour calculer une limite présentant une forme indéterminée, quelle démarche est adaptée ?

3. Une fonction fff vérifie lim⁡x→2f(x)=5\lim_{x\to 2}f(x)=5limx→2​f(x)=5 et f(2)=5f(2)=5f(2)=5. Quelle propriété possède-t-elle en x0=2x_0=2x0​=2 ?

4. Une fonction continue sur [0,4][0,4][0,4] prend les valeurs f(0)=−2f(0)=-2f(0)=−2 et f(4)=6f(4)=6f(4)=6. Quelle conclusion s'applique à l'équation f(x)=3f(x)=3f(x)=3 ?

5. Une fonction est continue et strictement monotone sur [1,5][1,5][1,5], avec f(1)=0f(1)=0f(1)=0 et f(5)=8f(5)=8f(5)=8. Combien de solutions l'équation f(x)=6f(x)=6f(x)=6 possède-t-elle dans cet intervalle ?

6. Pour f(x)=e3x2−1f(x)=e^{3x^2-1}f(x)=e3x2−1, quelle est l’expression de f′(x)f'(x)f′(x) ?

7. Sur l’intervalle ]0,+∞[]0,+\infty[]0,+∞[, on pose g(x)=ln⁡(x2+1)g(x)=\ln(x^2+1)g(x)=ln(x2+1). Quelle est la dérivée de ggg ?

8. Pour h(x)=(2x−1)4h(x)=(2x-1)^4h(x)=(2x−1)4, quelle est l’expression de h′(x)h'(x)h′(x) ?

9. Une suite arithmétique comporte 12 termes, du premier terme 5 au dernier terme 38. Quelle est leur somme ?

10. Une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2 comporte 5 termes. Quelle est la somme de ces termes ?

11. Une suite est croissante et tous ses termes sont inférieurs ou égaux à 7. Quelle conclusion le théorème de convergence monotone permet-il ?

12. Une suite est décroissante et chacun de ses termes est supérieur ou égal à −4-4−4. Que peut-on conclure ?

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1. Quand $x$ tend vers $+infty$ , vers quelle limite tend $\frac{e^x}{x^4}$ ?

3. Une fonction $f$ vérifie $\lim_{x\to 2}f(x)=5$ et $f(2)=5$ . Quelle propriété possède-t-elle en $x_0=2$ ?

4. Une fonction continue sur $[0,4]$ prend les valeurs $f(0)=-2$ et $f(4)=6$ . Quelle conclusion s'applique à l'équation $f(x)=3$ ?

5. Une fonction est continue et strictement monotone sur $[1,5]$ , avec $f(1)=0$ et $f(5)=8$ . Combien de solutions l'équation $f(x)=6$ possède-t-elle dans cet intervalle ?

6. Pour $f(x)=e^{3x^2-1}$ , quelle est l’expression de $f'(x)$ ?

7. Sur l’intervalle $]0,+\infty[$ , on pose $g(x)=\ln(x^2+1)$ . Quelle est la dérivée de $g$ ?

8. Pour $h(x)=(2x-1)^4$ , quelle est l’expression de $h'(x)$ ?

12. Une suite est décroissante et chacun de ses termes est supérieur ou égal à $-4$ . Que peut-on conclure ?