QCM : Suites géométriques (14 questions)

Explication

Dans une suite géométrique, chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par la raison, ici $-2$. La différence constante correspond à une suite arithmétique, tandis que les relations $u_n=-2u_{n+1}$ et $u_{n+1}=u_n+2$ ne traduisent pas le quotient indiqué.

Explication

Le quotient de deux termes consécutifs est constant : $12/4=3$ et $36/12=3$, donc la raison est $3$. La valeur $8$ est une différence, $1/3$ inverse le quotient et $9$ est le quotient des termes extrêmes.

Explication

À partir d’un terme connu de rang $p$, on a $u_n=u_pq^{n-p}$; ici, cela donne $u_n=7\times3^{n-2}$. L’exposant $n$ oublie le rang initial, $n+2$ l’ajoute au lieu de le soustraire et la raison inverse ne convient pas.

Explication

Un taux annuel de $4\\%$ fait croître le capital par le facteur $1+0{,}04=1{,}04$. Le facteur $0{,}04$ ne représente que la part d’intérêts, $0{,}96$ correspond à une diminution de $4\\%$ et $4$ ne traduit pas ce taux.

Explication

Pour $q\ne1$, la somme de $n$ termes consécutifs est $S=a\frac{1-q^n}{1-q}$ : ici, $a=3$, $q=2$ et $n=5$. La formule avec $5$ comme raison confond le nombre de termes et la raison, celle qui inverse le numérateur change le signe, et celle qui remplace la puissance par $2\times5$ oublie l’exposant.

Explication

Avec un premier terme de rang 1, le terme général est $u_n=u_1q^{n-1}$, d’où $7\times3^{n-1}$. L’exposant $n$ oublie le décalage du rang initial, l’expression additive relève d’une suite arithmétique, et $n+1$ décale l’exposant dans le sens opposé.

Explication

La moyenne géométrique de deux nombres positifs vaut $\sqrt{ab}$ ; ici $\sqrt{8\times18}=\sqrt{144}=12$, et elle vérifie $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$. La valeur 13 provient de la moyenne arithmétique, 144 est le produit sans racine, et le rapport proposé avec 12 inverse l’ordre des termes.

Explication

Dans une suite géométrique, le terme intérieur vérifie $\frac{u_{n-1}}{u_n}=\frac{u_n}{u_{n+1}}$ ; il est donc la moyenne géométrique de ses voisins. La moyenne arithmétique confond deux types de moyennes, tandis que les deux autres formulations déplacent le terme concerné ou attribuent la propriété à une suite arithmétique.

Explication

L’option A rapporte chaque année 6 % du capital initial, soit 1 000 × 0,06 = 60 €. Le calcul sur le capital de l’année précédente correspond à l’option B, 4 % donne 40 €, et 1 060 € est le capital après une année.

Explication

A ajoute chaque année un montant fixe établi à partir du capital initial, alors que B applique son taux au capital précédent et croît donc géométriquement. Inverser ces mécanismes confond les placements; les qualifier tous deux d’arithmétiques ou de géométriques efface leur distinction.

Explication

Pour une suite géométrique de premier terme positif, une raison comprise entre 0 et 1 entraîne une décroissance; ici $0<0,96<1$. Une raison positive n’implique pas qu’elle dépasse 1, et la valeur du premier terme ne modifie pas cette règle.

Explication

La représentation graphique d’une suite géométrique croissante est associée à une croissance exponentielle. Une croissance arithmétique ou linéaire renvoie à des accroissements constants, tandis qu’une décroissance géométrique décrit une évolution dans le sens opposé.

Explication

Dans une suite arithmétique, on obtient chaque terme en ajoutant la raison au terme précédent, ici $r=-3$. La multiplication par $-3$ confond suite arithmétique et suite géométrique, tandis que les expressions avec $n$ ne donnent pas la relation entre deux termes consécutifs.

Explication

À partir du terme de rang $4$, on ajoute la raison $5$ autant de fois que l’écart de rang, d’où $u_n=u_4+(n-4)r=11+5(n-4)$. Les autres expressions ignorent le rang de départ, inversent le sens de variation ou omettent le terme connu.