Fiche de révision : Suites géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition et raison géométrique
2. Terme général et capitalisation
3. Somme des termes géométriques
4. Moyenne géométrique
5. Comparaison de placements
6. Variations et croissance exponentielle
7. Rappel des suites arithmétiques

📖 1. Définition et raison géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite est géométrique si le quotient de deux termes consécutifs est constant, ce qui s’écrit $u_{n+1}=q u_n$, où q est la raison.

📝 Points essentiels

• Les nombres 4, 12 et 36 sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison 3.

📖 2. Terme général et capitalisation

★ À maîtriser

📐 Formule - Le terme général d’une suite géométrique s’écrit $u_n=u_0q^n$, $u_n=u_1q^{n-1}$ ou $u_n=u_pq^{n-p}$ selon le terme initial connu.

Compléments

• Pour un placement rémunéré à un taux annuel de 4 %, le capital est multiplié chaque année par 1,04.

💡 Astuce mémo

Chaque année, les intérêts s’ajoutent au capital → le capital est multiplié par 1,04.

📖 3. Somme des termes géométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme de n termes consécutifs d’une suite géométrique, de premier terme a et de raison q, vaut $S=a\frac{1-q^n}{1-q}$ lorsque q ≠ 1.

Compléments

• Pour la suite de raison 2 et de premier terme u₁ = 5, le terme général est $u_n=5\times2^{n-1}$.

📖 4. Moyenne géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne géométrique : La moyenne géométrique de deux nombres positifs a et b est $\sqrt{ab}$, le nombre c vérifiant $\frac{a}{c}=\frac{c}{b}$.

📝 Points essentiels

📌 Dans une suite géométrique, chaque terme est la moyenne géométrique du terme précédent et du terme suivant.

• La moyenne géométrique de 4 et 9 est 6.

📖 5. Comparaison de placements

★ À maîtriser

• Dans le placement A, chaque année rapporte 6 % du capital initial, tandis que dans le placement B, le rendement annuel est de 4 % du capital de l’année précédente.

📌 Le placement A ajoute chaque année un montant fixe calculé sur le capital initial, tandis que le placement B fait croître le capital de manière géométrique en appliquant le taux au capital de l’année précédente.

Compléments

• Pour un capital initial de 200 €, le placement B dépasse le placement A pour la première fois après 21 ans.

📖 6. Variations et croissance exponentielle

★ À maîtriser

📌 Pour une suite géométrique de premier terme positif, si q > 1 la suite est croissante, tandis que si 0 < q < 1 elle est décroissante.

Compléments

• La représentation graphique d’une suite géométrique croissante est associée à une croissance exponentielle.

💡 Astuce mémo

q > 1 fait croître la suite, tandis que 0 < q < 1 la fait décroître.

📖 7. Rappel des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est définie par la relation $u_{n+1}=u_n+r$, où r est la raison.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le terme général d’une suite arithmétique s’écrit $u_n=u_0+nr$, $u_n=u_1+(n-1)r$ ou $u_n=u_p+(n-p)r$.

📐 Formule - La somme de n termes d’une suite arithmétique vaut $S=n\frac{u_1+u_n}{2}$, soit le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier terme.

📊 Tableaux de synthèse

Placements A et B