Fiche de révision : Logarithmes et exponentielles en chimie

📋 Plan du Cours

1. Définition et bases du logarithme
2. Propriétés des logarithmes
3. Propriétés des exponentielles
4. Allure des fonctions usuelles
5. Applications chimiques des logarithmes

📖 1. Définition et bases du logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme : l’exposant x auquel il faut élever a pour obtenir y, soit y = a^x et x = logₐ(y).

★ À maîtriser

📌 Le logarithme décimal utilise la base 10 et se note log ou log₁₀, tandis que le logarithme népérien utilise la base e ≈ 2,71 et se note ln ou logₑ.

📐 Formule — En chimie, le pH vérifie $\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H}^+]$, donc $[\mathrm{H}^+]=10^{-\mathrm{pH}}$.

Compléments

• Les relations fondamentales sont log₁₀(100) = 2, log₂(8) = 3 et log₂₅(625) = 2.

💡 Astuce mémo

Exponentielle : a^x = y ; logarithme : logₐ(y) = x

📖 2. Propriétés des logarithmes

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des arguments positifs, les logarithmes vérifient $\log(xy)=\log x+\log y$, $\log(x/y)=\log x-\log y$ et $\log(x^b)=b\log x$.

• Les fonctions logarithmiques sont croissantes sur les arguments positifs : si x > y > 0, alors log x > log y.

📐 Formule — Les relations d’inversion sont $\ln(e^x)=x$, $e^{\ln x}=x$, $\log_{10}(10^x)=x$ et $10^{\log x}=x$.

Compléments

📐 Formule — Les relations entre logarithmes de bases différentes sont $\log_a(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(a)}$ et $\log_{10}(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}=0{,}434\ln(x)$.

📐 Formule — La relation $\ln(1/x)=-\ln x$, valable pour x > 0, découle de la propriété du quotient.

💡 Astuce mémo

Produit → somme ; quotient → différence ; puissance → multiplication

📖 3. Propriétés des exponentielles

★ À maîtriser

📐 Formule — Les exponentielles vérifient $e^n e^m=e^{n+m}$, $e^n/e^m=e^{n-m}$ et $(e^n)^m=e^{nm}$.

• Les exponentielles sont croissantes : si e^m > e^n, alors m > n, et si e^m = e^n, alors m = n.

Compléments

📐 Formule — Les relations fondamentales sont $e^0=1$, $e^{-1}=1/e$ et $\sqrt[m]{e^n}=e^{n/m}$.

📐 Formule — Toute puissance de base a positive peut s’écrire $a^x=e^{x\ln a}$, et en particulier $10^x=e^{x\ln 10}$.

💡 Astuce mémo

Les exponentielles conservent les règles des puissances de 10, avec e comme base

📖 4. Allure des fonctions usuelles

★ À maîtriser

📌 La fonction logarithme est définie pour x > 0, tandis que les fonctions exponentielles e^x et 10^x sont définies pour tout réel x.

📌 La fonction exponentielle est la fonction inverse du logarithme.

Compléments

• La base du logarithme népérien vaut e ≈ 2,71 et ln(10) = 2,303.

💡 Astuce mémo

Le logarithme et l’exponentielle sont des fonctions inverses

📖 5. Applications chimiques des logarithmes

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans la relation de Henderson-Hasselbalch, $\mathrm{pH}=\mathrm{p}K_a+\log([\mathrm{base}]/[\mathrm{acide}])$.

📌 Dans la relation pH = pKa + log([base]/[acide]), pH = pKa implique [base] = [acide], pH > pKa + 1 implique [base] > 10[acide], et pH > pKa + 2 implique [base] > 100[acide].

• Pour linéariser une expression chimique exponentielle, on applique le logarithme afin de transformer les produits en sommes et les puissances en facteurs multiplicatifs.

📐 Formule — Pour une demi-pile a Ox + n e⁻ ⇌ b Red, l’équation de Nernst s’écrit $E=E^\circ+\frac{RT}{nF}\ln\left(\frac{[\mathrm{Ox}]^a}{[\mathrm{Red}]^b}\right)$.

Compléments

• À T = 298,1 K, le facteur de conversion entre logarithme népérien et logarithme décimal dans l’équation de Nernst vaut (RT/F)ln(10) = 0,059.

• Dans l’équation de Nernst, R = 8,3145 J·mol⁻¹·K⁻¹, F = 96 485 C·mol⁻¹ et T est exprimée en kelvins.

💡 Astuce mémo

Transformation logarithmique → linéarisation des équations chimiques

📊 Tableaux de synthèse

Logarithmes décimal et népérien