Fiche de révision : Logique et raisonnements mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Assertions et valeurs de vérité
2. Connecteurs logiques fondamentaux
3. Implication et équivalence
4. Prédicats et quantificateurs
5. Méthodes de démonstration
6. Raisonnement par récurrence
7. Sommes et produits classiques
8. Ensembles et axiomes

📖 1. Assertions et valeurs de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Phrase grammaticalement correcte dont on peut dire sans ambiguïté si elle est vraie ou fausse.

★ À maîtriser

• Avec l’axiome du tiers-exclu, toute assertion mathématique possède une et une seule valeur de vérité : vraie ou fausse.

Compléments

• « La somme des trois angles d’un triangle fait 180° » est une assertion vraie, tandis que « Tout rectangle est un carré » est une assertion fausse.

• Les phrases suivantes ne sont pas des assertions:

  • « Ferme la porte »
  • « Quel temps fait-il ? »
  • « Je mens »

💡 Astuce mémo

Assertion : vraie ou fausse ; question, ordre et paradoxe : pas d’assertion

📖 2. Connecteurs logiques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.
• Conjonction : Qui signifie « P et Q », est vraie seulement lorsque P et Q sont toutes deux vraies.
• Disjonction : Qui signifie « P ou Q », est fausse seulement lorsque P et Q sont toutes deux fausses.
• Tautologie : Proposition toujours vraie, quelles que soient les valeurs de vérité de ses constituants.
• Contradiction : Proposition toujours fausse, quelles que soient les assertions qui la composent.

💡 Astuce mémo

Deux interrupteurs P et Q s’allument ensemble pour ∧, ou l’un des deux pour ∨

📖 3. Implication et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Lue « si P alors Q », est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse.
• Contraposée : De P ⇒ Q est ¬Q ⇒ ¬P, et elle est équivalente à l’implication initiale.
• Équivalence : Est définie par $(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$.
• Réciproque : La réciproque de P ⇒ Q est Q ⇒ P.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’implication vérifie $P \Rightarrow Q \equiv \neg P \lor Q$.

📐 Formule — La négation d’une implication vérifie $\neg(P \Rightarrow Q) \equiv P \land \neg Q$.

📌 L’implication est transitive : si P ⇒ Q et Q ⇒ R, alors P ⇒ R.

💡 Astuce mémo

P vrai et Q faux est le seul cas qui rend P ⇒ Q faux

📖 4. Prédicats et quantificateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Prédicat : Proposition comportant m variables qui devient une assertion mathématique lorsque ces variables sont connues.
• Quantificateur universel : Affirme qu’une propriété est vraie pour tout x.
• Quantificateur existentiel : Affirme qu’une propriété est vraie pour au moins une valeur de x.

★ À maîtriser

📐 Formule — La négation d’un énoncé universel vérifie $\neg(\forall x\,P(x)) \equiv \exists x\,\neg P(x)$.

📐 Formule — La négation d’un énoncé existentiel vérifie $\neg(\exists x\,P(x)) \equiv \forall x\,\neg P(x)$.

📌 Les quantificateurs de même type commutent : ∀x∀y P(x,y) ≡ ∀y∀x P(x,y) et ∃x∃y P(x,y) ≡ ∃y∃x P(x,y), mais ∃x∀y P(x,y) n’a en général pas le même sens que ∀y∃x P(x,y).

Compléments

• Pour montrer qu’une assertion universelle est fausse, il suffit de fournir un contre-exemple, comme x = 2 pour réfuter « ∀x ∈ [2,+∞[, √x > 4 ».

💡 Astuce mémo

∀ exige tous les cas, ∃ exige au moins un cas

📖 5. Méthodes de démonstration

🔑 Notions clés & Définitions

• Preuve par l’absurde : Suppose ¬A et montre qu’il en résulte une contradiction de type P ∧ ¬P.
• Contre-exemple : Pour démontrer qu’une implication P ⇒ Q est fausse, il faut trouver un cas où P est vraie et Q est fausse.

★ À maîtriser

• Une preuve directe par calcul transforme les hypothèses par des égalités ou des implications jusqu’à obtenir la conclusion.

Compléments

• Si n est impair, il existe k ∈ ℤ tel que n = 2k+1, puis n² = 4k(k+1)+1, ce qui montre que n² est congru à 1 modulo 8.

💡 Astuce mémo

Directe, cas, auxiliaire, absurde, contre-exemple, récurrence

📖 6. Raisonnement par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de récurrence : Pour démontrer ∀n ∈ ℕ, P(n), il suffit de prouver P(0) et ∀n ∈ ℕ, P(n) ⇒ P(n+1).
• Récurrence double : Initialise P(0) et P(1), puis démontre ∀n ∈ ℕ, P(n) ∧ P(n+1) ⇒ P(n+2).
• Récurrence forte : Suppose toutes les propriétés P(k) pour 0 ≤ k ≤ n afin de démontrer P(n).

★ À maîtriser

• 🔄 Une démonstration par récurrence comporte les étapes suivantes:
  1. Initialisation
  2. Hérédité
  3. Conclusion

Compléments

• La propriété P(m) : m ≤ 2ᵐ est vraie pour tout m ∈ ℕ : P(0) est vraie et P(n) implique P(n+1).

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion

📖 7. Sommes et produits classiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout n ∈ ℕ*, $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$.

Compléments

• Le produit de n entiers impairs est impair pour tout n ∈ ℕ* ; la preuve utilise l’initialisation et l’hérédité.

📖 8. Ensembles et axiomes

🔑 Notions clés & Définitions

• Paradoxe de Russell : Pour A = {x : x est un ensemble et x ∉ x}, supposer A ∈ A implique A ∉ A, tandis que supposer A ∉ A implique A ∈ A ; les deux hypothèses conduisent à une contradiction.
• Axiome d’extensionalité : Si deux ensembles x et y possèdent exactement les mêmes éléments, alors x = y.
• Produit cartésien : Pour A = {1,2,3,4} et B = {1,5}, le produit cartésien A × B est l’ensemble des huit couples (a,b) avec a ∈ A et b ∈ B.
• Axiome de la paire : À partir de deux objets a et b, permet de former l’ensemble contenant ces objets.

★ À maîtriser

• Pour A = {1,2,3,4} et B = {1,5}, on a A ∪ B = {1,2,3,4,5}, A ∩ B = {1}, A \ B = {2,3,4} et B \ A = {5}.

Compléments

• L’axiome de l’infini permet de considérer un ensemble contenant les éléments a₁, a₂, …, aₙ.

📊 Tableaux de synthèse

Connecteurs et conditions de vérité