Fiche de révision : Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et formes du trinôme
2. Racines et relations fondamentales
3. Forme canonique et discriminant
4. Variations et parabole
5. Résolution de l’équation du second degré
6. Factorisation selon le discriminant
7. Signe du trinôme

📖 1. Définition et formes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont réels et $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 La forme développée d’un trinôme est $ax^2+bx+c$, tandis que les expressions $a(x-x_1)(x-x_2)$ et $a(x-x_0)^2$ sont des formes factorisées dans les cas appropriés.

• La fonction $f(x)=3x^2-5x+6$ est du second degré avec a=3, b=−5 et c=6, alors que $m(x)=5x-3$ est affine et de degré 1.

📖 2. Racines et relations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’une fonction : Un réel α tel que $f(α)=0$, c’est-à-dire une solution de l’équation $f(x)=0$.

★ À maîtriser

📌 Graphiquement, les racines d’une fonction sont les abscisses des points où sa courbe représentative coupe l’axe des abscisses.

📌 Si un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ possède deux racines distinctes x₁ et x₂, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

📐 Formule — Pour un trinôme ayant deux racines x₁ et x₂, leur somme vérifie $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et leur produit vérifie $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

Compléments

📌 Si un trinôme possède une seule racine double x₀, il s’écrit $f(x)=a(x-x_0)^2$.

💡 Astuce mémo

Racine algébrique : f(x)=0 ; racine graphique : intersection avec l’axe des abscisses.

📖 3. Forme canonique et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme est une écriture de la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Discriminant : Le réel $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• Le trinôme $3x^2-12x+7$ a pour forme canonique $3(x-2)^2-5$.

💡 Astuce mémo

Compléter le carré → obtenir la forme canonique et le discriminant.

📖 4. Variations et parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré dans un repère orthogonal.

📝 Points essentiels

📌 Si $a>0$, le trinôme admet un minimum égal à β en $x=\alpha$, tandis que si $a<0$, il admet un maximum égal à β en $x=\alpha$.

• Le sommet de la parabole a pour coordonnées S(α;β), et son axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$.

💡 Astuce mémo

a>0 : minimum ; a<0 : maximum.

📖 5. Résolution de l’équation du second degré

★ À maîtriser

📌 Pour résoudre $ax^2+bx+c=0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ : si $\Delta<0$, il n’y a aucune solution réelle ; si $\Delta=0$, il existe une solution double $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; si $\Delta>0$, il existe deux solutions distinctes.

📐 Formule — Lorsque $\Delta>0$, les deux solutions sont $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Compléments

📌 Lorsque l’équation se factorise facilement ou possède une racine évidente, il est préférable de ne pas utiliser systématiquement les formules du discriminant.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : aucune solution ; Δ=0 : une solution ; Δ>0 : deux solutions.

📖 6. Factorisation selon le discriminant

📝 Points essentiels

• Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de forme factorisée dans ℝ.

• Si $\Delta=0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec $x_0=-\frac{b}{2a}$.

• Si $\Delta>0$, le trinôme se factorise sous la forme $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, où x₁ et x₂ sont ses deux racines distinctes.

💡 Astuce mémo

Δ<0 : pas de factorisation réelle ; Δ=0 : carré ; Δ>0 : deux facteurs.

📖 7. Signe du trinôme

★ À maîtriser

• Si $\Delta<0$, le trinôme garde partout le signe de a et ne s’annule jamais.

• Si $\Delta=0$, le trinôme garde le signe de a et s’annule uniquement en x₀.

• Si $\Delta>0$, le trinôme a le signe de a à l’extérieur de l’intervalle [x₁;x₂] et le signe opposé à a entre x₁ et x₂.

Compléments

• L’étude du signe d’un trinôme permet de résoudre les inéquations du second degré de la forme $ax^2+bx+c\le0$, $ax^2+bx+c<0$, $ax^2+bx+c\ge0$ ou $ax^2+bx+c>0$.

💡 Astuce mémo

Entre deux racines, le signe est opposé à celui de a ; à l’extérieur, il est celui de a.

📊 Tableaux de synthèse

Discriminant et comportement du trinôme