QCM : Fonctions polynômes du second degré (19 questions)

Question 1

1. Lorsque $\Delta>0$ et que les racines sont $x_1<x_2$ , quel signe le trinôme prend-il entre les deux racines ?

Un signe qui dépend uniquement de la valeur de

b

.

Le signe opposé à

a

.

Un signe nul sur tout l’intervalle.

Le même signe que

a

.

Explication

Pour $\Delta>0$ , le trinôme prend le signe de $a$ à l’extérieur de l’intervalle entre les racines et le signe opposé à $a$ à l’intérieur. Le signe entre $x_1$ et $x_2$ ne dépend donc pas uniquement de $b$ .

Answer

Le signe opposé à $$a$$.

Question 2

2. Que représentent graphiquement les racines d’une fonction ?

Les abscisses des points où sa courbe atteint sa valeur maximale

Les coordonnées du sommet de sa courbe représentative

Les ordonnées des points où sa courbe coupe l’axe des ordonnées

Les abscisses des points où sa courbe coupe l’axe des abscisses

Explication

Une racine correspond à une image nulle, donc à un point de la courbe situé sur l’axe des abscisses. Les ordonnées sur cet axe valent zéro, tandis que le sommet décrit une autre propriété de la courbe.

Answer

Les abscisses des points où sa courbe coupe l’axe des abscisses

Question 3

3. Pour un trinôme dont le coefficient dominant vérifie $a<0$ , quelle propriété possède la parabole associée ?

Elle possède un axe de symétrie d’équation

y=\beta

Elle coupe l’axe des abscisses en

x=\alpha

Elle admet un minimum égal à

\beta

en

x=\alpha

Elle admet un maximum égal à

\beta

en

x=\alpha

Explication

Lorsque $a<0$ , la parabole est orientée vers le bas et atteint donc un maximum égal à $\beta$ pour $x=\alpha$ . Le minimum correspond au cas $a>0$ , tandis que les deux autres propositions confondent les caractéristiques du sommet et de l’axe.

Answer

Elle admet un maximum égal à $$\beta$$ en $$x=\alpha$$

Question 4

4. Pour une équation du second degré dont le discriminant vérifie $\Delta=0$ , combien de solutions réelles possède-t-elle ?

Trois solutions réelles

Aucune solution réelle

Deux solutions réelles distinctes

Une solution réelle double

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , les deux racines coïncident et l’équation possède une solution réelle double, donnée par $x_0=-\frac{b}{2a}$ . Deux solutions distinctes apparaissent lorsque $\Delta>0$ , tandis que $\Delta<0$ entraîne l’absence de solution réelle.

Answer

Une solution réelle double

Question 5

5. Quelle condition caractérise une fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ ?

Elle s’écrit

f(x)=ax+b

avec

a,b\in\mathbb{R}

et

a\ne0

.

Elle s’écrit

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a=0

et

b,c\in\mathbb{R}

.

Elle s’écrit

f(x)=ax^3+bx^2+c

avec

a,b,c\in\mathbb{R}

.

Elle s’écrit

f(x)=ax^2+bx+c

avec

a\ne0

et

a,b,c\in\mathbb{R}

.

Explication

Une fonction du second degré possède un terme en $x^2$ dont le coefficient $a$ est non nul, et sa forme est $ax^2+bx+c$ . Une expression de degré 1 est affine, tandis que la condition $a=0$ supprimerait le terme du second degré.

Answer

Elle s’écrit $$f(x)=ax^2+bx+c$$ avec $$a\ne0$$ et $$a,b,c\in\mathbb{R}$$.

Question 6

6. Quelle est la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré dans un repère orthogonal ?

Un cercle

Une droite

Une parabole

Une hyperbole

Explication

La courbe représentative d’une fonction polynôme du second degré est une parabole. Une droite représente une fonction affine, tandis qu’un cercle ou une hyperbole provient d’autres types d’équations.

Answer

Une parabole

Question 7

7. Pour un trinôme tel que $\Delta=0$ , comment se comporte son signe en fonction de sa racine double $x_0$ ?

Il garde le signe de

a

et s’annule en

x_0

.

Il change de signe entre deux racines distinctes.

Il change de signe en traversant

x_0

.

Il garde le signe opposé à

a

et s’annule en

x_0

.

Explication

Avec $\Delta=0$ , le trinôme possède une racine double et conserve le signe de $a$ , avec une valeur nulle en $x_0$ . Un changement de signe entre deux racines distinctes caractérise plutôt le cas $\Delta>0$ .

Answer

Il garde le signe de $$a$$ et s’annule en $$x_0$$.

Question 8

8. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que représentent $\alpha$ et $\beta$ ?

\alpha

est le coefficient de

x^2

et

\beta

une racine.

\alpha

est l’ordonnée du sommet et

\beta

son abscisse.

\alpha

est l’abscisse du sommet et

\beta

son ordonnée.

\alpha

est une racine et

\beta

le coefficient de

x^2

.

Explication

Dans la forme canonique, le sommet a pour coordonnées $(\alpha,\beta)$ , avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ . Les deux paramètres ne jouent donc pas des rôles inversés et ne correspondent pas nécessairement aux racines.

Answer

$$\alpha$$ est l’abscisse du sommet et $$\beta$$ son ordonnée.

Question 9

9. Un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle factorisation lui correspond ?

f(x)=a(x^2-x_1-x_2)

f(x)=a(x-x_1)^2(x-x_2)^2

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Explication

Chaque racine fournit un facteur nul, respectivement $x-x_1$ et $x-x_2$ , et le coefficient directeur reste $a$ . Les signes positifs dans les facteurs changeraient les racines, tandis que les autres expressions ne sont pas une factorisation quadratique correcte.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 10

10. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

\Delta=4ac-b

\Delta=b^2+4ac

\Delta=\frac{b^2-4a}{c}

\Delta=b^2-4ac

Explication

Le discriminant d’un trinôme est calculé par $\Delta=b^2-4ac$ . Le signe devant le terme $4ac$ et la présence des trois coefficients sont essentiels dans cette formule.

Answer

$$\Delta=b^2-4ac$$

Question 11

11. Que peut-on conclure sur la factorisation réelle d’un trinôme lorsque $\Delta<0$ ?

Il possède deux facteurs linéaires distincts dans

\mathbb{R}

Il se factorise avec une racine réelle double dans

\mathbb{R}

Il ne possède pas de forme factorisée dans

\mathbb{R}

Il s’écrit comme le carré d’un binôme dans

\mathbb{R}

Explication

Un discriminant négatif signifie que le trinôme n’a pas de racine réelle, donc qu’il ne peut pas être factorisé en facteurs du premier degré dans $\mathbb{R}$ . Le carré parfait correspond à $\Delta=0$ , et deux facteurs distincts correspondent à $\Delta>0$ .

Answer

Il ne possède pas de forme factorisée dans $$\mathbb{R}$$

Question 12

12. Pour $\Delta>0$ , quelles sont les deux solutions de $ax^2+bx+c=0$ ?

x_1=\frac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{a}

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}

x_1=\frac{-b-\Delta}{2a}

et

x_2=\frac{-b+\Delta}{2a}

Explication

Lorsque $\Delta>0$ , les deux racines distinctes s’obtiennent en ajoutant et en retranchant $\sqrt{\Delta}$ à $-b$ , puis en divisant par $2a$ . Les autres expressions modifient le signe, remplacent la racine carrée par le discriminant ou omettent le facteur $2$ .

Answer

$$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$ et $$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$

Question 13

13. Une parabole a pour sommet $S(\alpha;\beta)$ . Quelle est l’équation de son axe de symétrie ?

y=\alpha x+\beta

y=\beta

x=\alpha

x=\beta

Explication

L’axe de symétrie est la droite verticale passant par l’abscisse du sommet, donc d’équation $x=\alpha$ . L’équation $y=\beta$ décrit une droite horizontale et ne correspond pas à l’axe de cette parabole.

Answer

$$x=\alpha$$

Question 14

14. Pour un trinôme ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelles relations relient ces racines aux coefficients $a$ , $b$ et $c$ ?

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

et

x_1x_2=\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{b}{a}

et

x_1x_2=-\frac{c}{a}

x_1+x_2=\frac{a}{b}

et

x_1x_2=\frac{a}{c}

x_1+x_2=-\frac{c}{a}

et

x_1x_2=\frac{b}{a}

Explication

Les relations fondamentales donnent la somme $-\frac{b}{a}$ et le produit $\frac{c}{a}$ . Les autres propositions inversent les signes ou associent les coefficients aux mauvaises relations.

Answer

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$$ et $$x_1x_2=\frac{c}{a}$$

Question 15

15. Comment définit-on une racine $\alpha$ d’une fonction $f$ ?

C’est la valeur de

f

lorsque

x=1

.

C’est un réel tel que

f(\alpha)=0

.

C’est un réel tel que

f(\alpha)=1

.

C’est un réel tel que

\alpha(f)=0

.

Explication

Une racine est une valeur de la variable pour laquelle l’image par la fonction est nulle, donc elle vérifie $f(\alpha)=0$ . L’expression $\alpha(f)$ n’est pas la condition définissant une racine.

Answer

C’est un réel tel que $$f(\alpha)=0$$.

Question 16

16. Quelle forme factorisée prend un trinôme lorsque $\Delta=0$ ?

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

avec

x_1\ne x_2

f(x)=a(x-x_0)^2

avec

x_0=-\frac{b}{2a}

f(x)=a(x+x_0)^2

avec

x_0=\frac{b}{2a}

f(x)=a(x^2+x_0)

avec

x_0=-\frac{b}{2a}

Explication

Pour $\Delta=0$ , la racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ conduit à la forme $a(x-x_0)^2$ . La forme comportant deux racines distinctes est réservée au cas $\Delta>0$ , et les autres propositions présentent des signes ou des structures incorrects.

Answer

$$f(x)=a(x-x_0)^2$$ avec $$x_0=-\frac{b}{2a}$$

Question 17

17. Lorsque $\Delta>0$ et que $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines distinctes, quelle est la factorisation du trinôme ?

f(x)=a(x^2-x_1-x_2)

f(x)=a(x+x_1)(x+x_2)

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

f(x)=a(x-x_1)^2(x-x_2)^2

Explication

Avec $\Delta>0$ , le trinôme possède deux racines réelles distinctes et s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$ . Les signes positifs changeraient les racines, tandis que le carré des deux facteurs ne représenterait pas un trinôme du second degré ayant ces racines simples.

Answer

$$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$$

Question 18

18. Que peut-on affirmer du signe d’un trinôme lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

Il change de signe de part et d’autre d’une racine double.

Il possède deux racines réelles qui délimitent un intervalle.

Il conserve partout le signe de

a

et ne s’annule pas.

Il prend le signe opposé à

a

sur tout son domaine.

Explication

Lorsque $\Delta<0$ , le trinôme ne possède aucune racine réelle et garde donc partout le signe de son coefficient directeur $a$ . L’idée d’un changement de signe entre deux racines correspond au cas $\Delta>0$ .

Answer

Il conserve partout le signe de $$a$$ et ne s’annule pas.

Question 19

19. Quelle expression représente la forme factorisée d’un trinôme possédant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?

a(x^2-x_1-x_2)

ax^2+bx+c

a(x-x_1)(x-x_2)

a(x-x_0)^2

Explication

Avec deux racines distinctes, le trinôme se factorise sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ . L’expression $ax^2+bx+c$ est sa forme développée, tandis que $a(x-x_0)^2$ correspond à une racine double.

Answer

$$a(x-x_1)(x-x_2)$$

QCM : Fonctions polynômes du second degré (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lorsque $\Delta>0$ et que les racines sont $x_1<x_2$ , quel signe le trinôme prend-il entre les deux racines ?

2. Que représentent graphiquement les racines d’une fonction ?

3. Pour un trinôme dont le coefficient dominant vérifie $a<0$ , quelle propriété possède la parabole associée ?

4. Pour une équation du second degré dont le discriminant vérifie $\Delta=0$ , combien de solutions réelles possède-t-elle ?

5. Quelle condition caractérise une fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ ?

6. Quelle est la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré dans un repère orthogonal ?

7. Pour un trinôme tel que $\Delta=0$ , comment se comporte son signe en fonction de sa racine double $x_0$ ?

8. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que représentent $\alpha$ et $\beta$ ?

9. Un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle factorisation lui correspond ?

10. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

11. Que peut-on conclure sur la factorisation réelle d’un trinôme lorsque $\Delta<0$ ?

12. Pour $\Delta>0$ , quelles sont les deux solutions de $ax^2+bx+c=0$ ?

13. Une parabole a pour sommet $S(\alpha;\beta)$ . Quelle est l’équation de son axe de symétrie ?

14. Pour un trinôme ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelles relations relient ces racines aux coefficients $a$ , $b$ et $c$ ?

15. Comment définit-on une racine $\alpha$ d’une fonction $f$ ?

16. Quelle forme factorisée prend un trinôme lorsque $\Delta=0$ ?

17. Lorsque $\Delta>0$ et que $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines distinctes, quelle est la factorisation du trinôme ?

18. Que peut-on affirmer du signe d’un trinôme lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

19. Quelle expression représente la forme factorisée d’un trinôme possédant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?

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QCM : Fonctions polynômes du second degré (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lorsque Δ>0\Delta>0Δ>0 et que les racines sont x1<x2x_1<x_2x1​<x2​, quel signe le trinôme prend-il entre les deux racines ?

2. Que représentent graphiquement les racines d’une fonction ?

3. Pour un trinôme dont le coefficient dominant vérifie a<0a<0a<0, quelle propriété possède la parabole associée ?

4. Pour une équation du second degré dont le discriminant vérifie Δ=0\Delta=0Δ=0, combien de solutions réelles possède-t-elle ?

5. Quelle condition caractérise une fonction polynôme du second degré définie sur R\mathbb{R}R ?

6. Quelle est la représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré dans un repère orthogonal ?

7. Pour un trinôme tel que Δ=0\Delta=0Δ=0, comment se comporte son signe en fonction de sa racine double x0x_0x0​ ?

8. Dans la forme canonique f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\betaf(x)=a(x−α)2+β, que représentent α\alphaα et β\betaβ ?

9. Un trinôme f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+cf(x)=ax2+bx+c possède deux racines distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​. Quelle factorisation lui correspond ?

10. Quelle expression définit le discriminant du trinôme ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c ?

11. Que peut-on conclure sur la factorisation réelle d’un trinôme lorsque Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

12. Pour Δ>0\Delta>0Δ>0, quelles sont les deux solutions de ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0 ?

13. Une parabole a pour sommet S(α;β)S(\alpha;\beta)S(α;β). Quelle est l’équation de son axe de symétrie ?

14. Pour un trinôme ayant deux racines x1x_1x1​ et x2x_2x2​, quelles relations relient ces racines aux coefficients aaa, bbb et ccc ?

15. Comment définit-on une racine α\alphaα d’une fonction fff ?

16. Quelle forme factorisée prend un trinôme lorsque Δ=0\Delta=0Δ=0 ?

17. Lorsque Δ>0\Delta>0Δ>0 et que x1x_1x1​ et x2x_2x2​ sont les deux racines distinctes, quelle est la factorisation du trinôme ?

18. Que peut-on affirmer du signe d’un trinôme lorsque son discriminant vérifie Δ<0\Delta<0Δ<0 ?

19. Quelle expression représente la forme factorisée d’un trinôme possédant deux racines distinctes x1x_1x1​ et x2x_2x2​ ?

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1. Lorsque $\Delta>0$ et que les racines sont $x_1<x_2$ , quel signe le trinôme prend-il entre les deux racines ?

3. Pour un trinôme dont le coefficient dominant vérifie $a<0$ , quelle propriété possède la parabole associée ?

4. Pour une équation du second degré dont le discriminant vérifie $\Delta=0$ , combien de solutions réelles possède-t-elle ?

5. Quelle condition caractérise une fonction polynôme du second degré définie sur $\mathbb{R}$ ?

7. Pour un trinôme tel que $\Delta=0$ , comment se comporte son signe en fonction de sa racine double $x_0$ ?

8. Dans la forme canonique $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ , que représentent $\alpha$ et $\beta$ ?

9. Un trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ possède deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ . Quelle factorisation lui correspond ?

10. Quelle expression définit le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ ?

11. Que peut-on conclure sur la factorisation réelle d’un trinôme lorsque $\Delta<0$ ?

12. Pour $\Delta>0$ , quelles sont les deux solutions de $ax^2+bx+c=0$ ?

13. Une parabole a pour sommet $S(\alpha;\beta)$ . Quelle est l’équation de son axe de symétrie ?

14. Pour un trinôme ayant deux racines $x_1$ et $x_2$ , quelles relations relient ces racines aux coefficients $a$ , $b$ et $c$ ?

15. Comment définit-on une racine $\alpha$ d’une fonction $f$ ?

16. Quelle forme factorisée prend un trinôme lorsque $\Delta=0$ ?

17. Lorsque $\Delta>0$ et que $x_1$ et $x_2$ sont les deux racines distinctes, quelle est la factorisation du trinôme ?

18. Que peut-on affirmer du signe d’un trinôme lorsque son discriminant vérifie $\Delta<0$ ?

19. Quelle expression représente la forme factorisée d’un trinôme possédant deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$ ?