Quand la négation « non P » est-elle vraie ?
Elle est vraie lorsque P est fausse.
Comment nier une phrase logique avec un quantificateur ?
On remplace « pour tout » par « il existe » ou inversement.
Que fait-on après avoir remplacé le quantificateur pour nier une phrase logique ?
On nie l’assertion restante.
Quelle est la négation de « x < a » ?
La négation est « x ≥ a ».
Quelle est la négation de « pour tout x ∈ [1 ; +∞[, x² ≤ 1 » ?
C’est « il existe x ∈ [1 ; +∞[ tel que x² > 1 ».
Que signifie l'implication « P ⇒ Q » ?
Si P est vraie, alors Q est vraie.
Quelle est la réciproque de l'implication « P ⇒ Q » ?
L'implication « Q ⇒ P ».
L'implication « 0 ≤ x ≤ 25 ⇒ √x ≤ 5 » est-elle vraie ou fausse ?
Elle est vraie.
L'implication « sin(θ) = 0 ⇒ θ = 0 » est-elle vraie ?
Elle est fausse.
Pourquoi l'implication « sin(θ) = 0 ⇒ θ = 0 » est-elle fausse ?
Parce que θ = 2π vérifie sin(θ) = 0 sans être égal à 0.
Que signifie l'équivalence « P ⇔ Q » ?
Les deux implications « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » sont vraies.
Quand l'équivalence P ⇔ Q est-elle vraie ?
Lorsque P et Q sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses.
Quelle est la contraposée de « P ⇒ Q » ?
« non Q ⇒ non P ».
Quelle propriété relie une proposition à sa contraposée ?
Elles sont toujours équivalentes.
Comment s'écrit le théorème de Pythagore en équivalence ?
« ABC est rectangle en A ⇔ BC² = AB² + AC² ».
Quelles étapes vérifie-t-on pour une démonstration par récurrence ?
On vérifie l’initialisation, l’hérédité, puis on conclut.
Qu'implique la récurrence forte pour démontrer P(k+1) ?
On suppose vraies toutes les P(n₀) à P(k) simultanément.
Que fait la récurrence double après l'initialisation ?
Elle suppose P(k) et P(k+1) vraies pour démontrer P(k+2).
Quelles valeurs initialise-t-on en récurrence double ?
On initialise P(n₀) et P(n₀ + 1).
Quelle formule vérifie la suite définie par u₀=0 et u_{n+1}=2u_n+1 ?
Elle vérifie u_n=2^n-1 pour tout entier naturel n.
En quoi consiste le raisonnement direct ?
Supposer P vraie et démontrer directement que Q est vraie.
Qu'est-ce que le raisonnement par cas ?
Diviser l’ensemble E en parties et démontrer P(x) dans chacune.
Que suppose le raisonnement par l’absurde ?
P vraie et Q fausse pour chercher une contradiction.
Quel est le but du raisonnement par l’absurde ?
Établir que P implique Q (P ⇒ Q).
Comment réfuter une assertion « pour tout x ∈ E, P(x) » ?
Trouver un élément x ∈ E pour lequel P(x) est fausse.
Pourquoi 7 est-il un contre-exemple à « tout entier pair est somme de trois carrés » ?
Car 0, 1 et 4 ne permettent pas d’obtenir 7 par somme de trois carrés.
Teste tes connaissances avec un QCM de 14 questions sur Logique et raisonnements mathématiques.
1. Dans quelle situation la proposition « non P » est-elle vraie ?
2. Quelle est la négation de la proposition « pour tout x, P(x) » ?
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