Lorsque P est fausse
Explication
La négation « non P » possède la valeur de vérité opposée à celle de P : elle est vraie lorsque P est fausse.
Il existe x tel que non P(x)
Explication
Pour nier une proposition universelle, on remplace « pour tout » par « il existe » et l’on nie l’assertion restante.
x ≥ a
Explication
La négation de « x < a » est « x ≥ a », car les deux situations complémentaires couvrent toutes les valeurs possibles de x.
Si P est vraie, alors Q est vraie
Explication
L’implication « P ⇒ Q » affirme que la vérité de P entraîne celle de Q. Elle ne garantit pas automatiquement l’implication réciproque.
Q ⇒ P
Explication
La réciproque s’obtient en échangeant le rôle des deux propositions : « P ⇒ Q » devient « Q ⇒ P ».
Les implications P ⇒ Q et Q ⇒ P sont toutes deux vraies
Explication
Une équivalence exige les deux sens : P doit entraîner Q et Q doit entraîner P.
Lorsque P et Q ont la même valeur de vérité
Explication
L’équivalence est vraie lorsque les deux propositions sont simultanément vraies ou simultanément fausses, c’est-à-dire lorsqu’elles ont la même valeur de vérité.
non Q ⇒ non P
Explication
La contraposée inverse l’ordre des propositions et nie chacune d’elles : « non Q ⇒ non P ». Une implication et sa contraposée sont toujours équivalentes.
Vérifier l’initialisation, démontrer l’hérédité, puis conclure
Explication
Une récurrence comporte l’initialisation au rang de départ, l’hérédité du passage de k à k + 1, puis la conclusion pour tous les rangs considérés.
On suppose toutes les propriétés de P(n₀) à P(k) vraies
Explication
La récurrence forte suppose simultanément vraies toutes les propriétés depuis P(n₀) jusqu’à P(k), puis utilise ces hypothèses pour établir P(k + 1).
Initialiser P(n₀) et P(n₀ + 1), puis passer de P(k) et P(k + 1) à P(k + 2)
Explication
La récurrence double commence par les deux premiers rangs P(n₀) et P(n₀ + 1), puis utilise deux propriétés consécutives pour démontrer la suivante, P(k + 2).
Supposer P vraie et démontrer directement Q
Explication
Le raisonnement direct part de l’hypothèse P et établit directement la conclusion Q. Partir de non-Q correspond au raisonnement par contraposée.
Supposer P vraie et Q fausse, puis rechercher une contradiction
Explication
Le raisonnement par l’absurde suppose simultanément P vraie et Q fausse, puis montre que ces hypothèses conduisent à une contradiction.
Trouver un élément de E pour lequel P(x) est fausse
Explication
Une assertion universelle est réfutée par un seul contre-exemple : il suffit de trouver un élément x de E tel que P(x) soit fausse.
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Quand la négation « non P » est-elle vraie ?
Elle est vraie lorsque P est fausse.
Comment nier une phrase logique avec un quantificateur ?
On remplace « pour tout » par « il existe » ou inversement.
Que fait-on après avoir remplacé le quantificateur pour nier une phrase logique ?
On nie l’assertion restante.
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