QCM : Ensembles de nombres et intervalles — 20 questions

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les ensembles naturels et relatifs, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’ensemble N contient zéro et les entiers naturels positifs.
L’ensemble Z contient les entiers négatifs, zéro et les entiers positifs.
Le nombre 3 appartient à l’ensemble Z.
Le nombre 3,5 appartient à l’ensemble N.
Le nombre −2 appartient à l’ensemble N.

L’ensemble N contient zéro et les entiers naturels positifs.

Explication

Les naturels comprennent zéro et les entiers positifs, tandis que les relatifs comprennent également les entiers négatifs. Ainsi, 3 appartient aux deux ensembles, mais −2 appartient seulement à Z parmi ces deux ensembles.

2. Parmi les propositions suivantes concernant les entiers relatifs, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’ensemble des entiers relatifs se note Z.
Un entier relatif peut être positif, négatif ou nul.
L’ensemble des entiers relatifs exclut les entiers négatifs.
Le nombre −7 est un entier relatif.
Un entier relatif est nécessairement positif ou nul.

L’ensemble des entiers relatifs se note Z.

Explication

Un entier relatif peut être positif, négatif ou nul et appartient à Z. La confusion fréquente consiste à limiter les relatifs aux seuls nombres négatifs ou à les assimiler aux naturels.

3. À propos de l’emboîtement des ensembles de nombres, quelles sont les réponses exactes ?

On a N ⊂ Z.
On a Z ⊂ D.
On a D ⊂ Q.
On a R ⊂ Q.
On a Q ⊂ R.

On a N ⊂ Z.

Explication

Les ensembles sont emboîtés dans l’ordre N inclus dans Z, Z inclus dans D, D inclus dans Q, puis Q inclus dans R. Le symbole ⊂ indique une inclusion entre ensembles.

4. Concernant la notion de multiple et de diviseur, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le coefficient k peut être un entier relatif.
Le nombre b est le multiple et le nombre a est le diviseur.
Dans a = k × b, b est un diviseur de a.
Le diviseur b peut être égal à zéro dans cette définition.
Dans a = k × b, a est un multiple de b.

Le coefficient k peut être un entier relatif.

Explication

Dans l’égalité a = k × b, a est le multiple de b et b est le diviseur de a. Le nombre b doit être un entier naturel non nul, tandis que k est un entier relatif.

5. Les formes d’écriture des nombres pairs et impairs comprennent :

Le nombre 15 est impair car il s’écrit 2 × 7 + 1.
Un nombre pair peut s’écrire 2k avec k ∈ N.
Le nombre 14 est pair car il s’écrit 2 × 7.
Un nombre impair peut s’écrire 2k + 1 avec k ∈ N.
Un nombre pair s’écrit nécessairement 2k + 1 avec k ∈ N.

Le nombre 15 est impair car il s’écrit 2 × 7 + 1.

Explication

Un entier pair s’écrit 2k et un entier impair s’écrit 2k + 1, avec k naturel. Ces formes caractérisent respectivement la divisibilité par deux et l’absence de divisibilité par deux.

6. Un élève calcule les carrés de nombres entiers et souhaite déterminer leur parité. Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le carré d’un nombre pair est nécessairement impair.
Le carré de 6 est pair.
Le carré d’un nombre impair est un nombre impair.
Le carré de 5 est impair.
Le carré d’un nombre pair est un nombre pair.

Le carré de 6 est pair.

Explication

Le carré conserve la parité : le carré d’un pair est pair et celui d’un impair est impair. Ainsi, 6² est pair tandis que 5² est impair.

7. Concernant les nombres premiers, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Un nombre premier est un entier naturel.
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs distincts.
Le nombre 9 est un nombre premier.
Le nombre 1 est un nombre premier.
Les deux diviseurs positifs d’un nombre premier sont 1 et lui-même.

Un nombre premier est un entier naturel.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Les nombres 1 et 9 ne sont donc pas premiers, car ils ne satisfont pas cette condition.

8. À propos des nombres décimaux et rationnels, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le nombre 7,543 peut s’écrire 7543/1000.
Un nombre décimal possède un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule.
L’ensemble des nombres décimaux se note D.
Le nombre 1/3 appartient à D car il est rationnel.
Tout nombre rationnel s’écrit sous la forme a/b avec a et b entiers relatifs et b ≠ 0.

Le nombre 7,543 peut s’écrire 7543/1000.

Explication

Un nombre décimal possède un développement décimal fini et appartient à D. Un rationnel est une fraction d’entiers à dénominateur non nul ; ainsi 1/3 est rationnel mais n’est pas décimal, tandis que 7,543 s’écrit avec un dénominateur égal à une puissance de 10.

9. Un élève compare les nombres 7,543 et 1/3. Parmi les propositions suivantes concernant les nombres décimaux et rationnels, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Le nombre 1/3 appartient à l’ensemble D car il s’écrit comme un quotient de deux entiers.
Le nombre 1/3 appartient à l’ensemble Q des nombres rationnels.
Le nombre 7,543 s’écrit sous la forme 7543/10³.
Le nombre 7,543 appartient à l’ensemble D des nombres décimaux.
Un nombre rationnel possède nécessairement un développement décimal fini.

Le nombre 1/3 appartient à l’ensemble Q des nombres rationnels.

Explication

Les nombres rationnels sont définis par une écriture a/b avec a et b entiers relatifs et b non nul. Tout nombre décimal possède en outre une écriture fractionnaire dont le dénominateur est une puissance de 10 ; en revanche, 1/3 est rationnel mais son développement décimal est illimité et n’appartient pas à D.

10. Concernant la droite réelle et l’abscisse, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

À tout nombre réel correspond un unique point de la droite graduée.
À tout point d’une droite graduée correspond une unique abscisse réelle.
L’abscisse d’un point est nécessairement un nombre entier.
L’abscisse désigne l’emplacement géométrique du point sur la droite.
Un point de la droite graduée peut posséder plusieurs abscisses réelles distinctes.

À tout nombre réel correspond un unique point de la droite graduée.

Explication

L’abscisse est le nombre réel associé à un point de la droite graduée, tandis que le point désigne l’emplacement correspondant. La correspondance entre points et nombres réels est unique dans les deux sens.

11. Un réel x est encadré par deux décimaux m et M. Quelles sont les propositions exactes ?

L’encadrement s’écrit m < x < M dans tous les cas.
Tout réel x peut être situé entre deux bornes décimales m et M vérifiant m ≤ x ≤ M.
L’amplitude de l’encadrement vaut M − m.
Les nombres m et M sont les bornes de l’encadrement.
L’amplitude correspond à la somme m + M.

Tout réel x peut être situé entre deux bornes décimales m et M vérifiant m ≤ x ≤ M.

Explication

Un encadrement s’écrit m ≤ x ≤ M, avec m et M comme bornes. Son amplitude est calculée par M − m, et non par l’une des bornes prise isolément.

12. À propos de l’ensemble vide, quelles sont les propositions exactes ?

L’ensemble vide peut se noter ∅.
L’ensemble vide contient l’élément 0.
L’écriture {} désigne une notation de l’ensemble vide.
L’ensemble vide ne contient aucun élément.
L’ensemble vide est un ensemble non vide possédant un unique élément.

L’ensemble vide peut se noter ∅.

Explication

L’ensemble vide ne contient aucun élément et se note ∅ ou {}. Il se distingue donc d’un ensemble non vide, qui possède au moins un élément.

13. Concernant les intervalles de réels, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La notation d’un intervalle permet de préciser les réels compris entre ses bornes.
Les crochets ouverts ou fermés indiquent l’appartenance des bornes.
Un intervalle réel contient nécessairement uniquement des nombres entiers.
Les bornes d’un intervalle appartiennent toujours à celui-ci.
Un intervalle réel est défini entre deux bornes a et b vérifiant a < b.

La notation d’un intervalle permet de préciser les réels compris entre ses bornes.

Explication

Pour a < b, un intervalle regroupe les réels compris entre ses bornes. Les crochets indiquent si chaque borne appartient ou non à l’intervalle.

14. Pour deux réels a < b, quelles sont les propositions exactes concernant [a ; b] et ]a ; b[ ?

L’intervalle ]a ; b[ contient les deux bornes a et b.
x appartient à [a ; b] si et seulement si a ≤ x ≤ b.
Les deux bornes appartiennent à [a ; b].
L’intervalle [a ; b] exclut la borne a.
x appartient à ]a ; b[ si et seulement si a < x < b.

x appartient à [a ; b] si et seulement si a ≤ x ≤ b.

Explication

L’intervalle [a ; b] correspond à a ≤ x ≤ b et contient donc les deux bornes. L’intervalle ]a ; b[ correspond à a < x < b et exclut les deux bornes.

15. Concernant l’intersection de deux ensembles A et B :

Elle correspond à la condition logique « ou ».
Elle est définie par l’appartenance simultanée aux deux ensembles.
Elle peut contenir un élément appartenant seulement à A.
Elle se note A ∪ B.
Elle contient les éléments appartenant à A et à B.

Elle est définie par l’appartenance simultanée aux deux ensembles.

Explication

L’intersection regroupe les éléments communs à A et à B : l’appartenance aux deux ensembles est donc nécessaire. La réunion correspond au contraire à l’appartenance à A, à B ou aux deux.

16. Parmi les propositions suivantes concernant la réunion de deux ensembles A et B, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Elle se note A ∪ B.
Elle correspond à la condition logique « ou ».
Elle se limite aux éléments communs aux deux ensembles.
Elle exige qu’un élément appartienne simultanément à A et à B.
Elle contient les éléments appartenant à A, à B ou aux deux.

Elle se note A ∪ B.

Explication

La réunion contient les éléments de A, ceux de B, ainsi que ceux qui appartiennent aux deux ensembles. Elle se note A ∪ B et correspond à la logique « ou ».

17. À propos de la valeur absolue d’un réel x, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Si x < 0, alors |x| = −x.
Pour x < 0, le nombre x est positif.
Pour x ≥ 0, la valeur absolue change le signe de x.
Pour x = −4, on obtient |x| = 4.
Si x ≥ 0, alors |x| = x.

Si x < 0, alors |x| = −x.

Explication

La valeur absolue conserve un réel positif et change le signe d’un réel négatif. Ainsi, pour un nombre négatif, |x| vaut −x, qui est positif, tandis que x reste négatif.

18. Les caractéristiques de l’intervalle [a − r ; a + r], avec r positif, comprennent :

Il est caractérisé par |x − a| ≤ r.
Le réel r en est le rayon.
La distance entre x et a y est supérieure ou égale à r.
Le réel r représente le centre de l’intervalle.
Le réel a en est le centre.

Il est caractérisé par |x − a| ≤ r.

Explication

Dans l’intervalle [a − r ; a + r], a représente le centre et r le rayon, avec r positif. La condition |x − a| ≤ r décrit précisément les réels situés à une distance au plus égale à r de a.

19. Concernant la résolution de la condition |x − a| ≤ r, quelle(s) est(sont) la(les) proposition(s) exacte(s) ?

Elle décrit les réels dont la distance à a est supérieure à r.
Elle conduit à x ∈ [a − r ; a + r].
Elle équivaut à a − r ≤ x ≤ a + r.
Elle exprime une distance entre x et a inférieure ou égale à r.
Elle équivaut à x ≤ a − r ou x ≥ a + r.

Elle conduit à x ∈ [a − r ; a + r].

Explication

La condition |x − a| ≤ r signifie que la distance entre x et a est inférieure ou égale à r. Elle équivaut à a − r ≤ x ≤ a + r, soit x ∈ [a − r ; a + r].

20. Parmi les propositions suivantes concernant la relation entre carré, racine carrée et valeur absolue, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Pour tout réel x, √(x²) = |x|.
La valeur de √9 est 3.
Pour x = −5, √(x²) = −5.
On a √((-3)²) = 3.
La racine carrée de x² vaut x pour tout réel x.

Pour tout réel x, √(x²) = |x|.

Explication

Pour tout réel x, la racine carrée de x² est la valeur positive associée à x, c’est-à-dire sa valeur absolue. Par exemple, √((-3)²) = √9 = 3 = |-3|.

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Qu'est-ce qu'un nombre entier naturel ?

Un nombre entier naturel est un entier positif ou nul.

Comment se note l'ensemble des nombres entiers naturels ?

L'ensemble des entiers naturels se note N.

Qu'est-ce qu'un nombre entier relatif ?

Un nombre entier relatif est un entier positif, négatif ou nul.

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