Fiche de révision : Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles naturels et relatifs
2. Arithmétique dans N et Z
3. Nombres décimaux et rationnels
4. Droite réelle et encadrement
5. Ensemble vide
6. Intervalles de réels
7. Réunion et intersection
8. Valeur absolue et racine

📖 1. Ensembles naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier naturel : Nombre entier positif ou nul, et l’ensemble des nombres entiers naturels se note N.
• Nombre entier relatif : Nombre entier positif, négatif ou nul, et l’ensemble des nombres entiers relatifs se note Z.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R, où le symbole ⊂ signifie « inclus dans ».

Compléments

• Le nombre 3 appartient à N et à Z, tandis que -2 n’appartient pas à N et que 3,5 n’appartient ni à N ni à Z.

💡 Astuce mémo

N s’élargit en Z : du naturel au relatif

📖 2. Arithmétique dans N et Z

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Dire qu’un entier relatif a est un multiple d’un entier naturel non nul b signifie qu’il existe un entier relatif k tel que a = k × b ; b est alors un diviseur de a.
• Nombre premier : Entier naturel qui possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.
• Nombres premiers entre eux : Deux entiers relatifs sont premiers entre eux s’ils n’ont aucun diviseur commun autre que 1 ou -1.

★ À maîtriser

📌 Un nombre pair s’écrit 2k avec k ∈ N, tandis qu’un nombre impair s’écrit 2k + 1 avec k ∈ N.

📌 Le carré d’un nombre pair est pair et le carré d’un nombre impair est impair.

📌 Une fraction a/b, avec a et b entiers relatifs et b ≠ 0, est irréductible si et seulement si a et b sont premiers entre eux.

Compléments

📌 Un entier naturel est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, et il est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.

📌 Un entier naturel est divisible par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9, et il est divisible par 4 lorsque le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.

📌 Tout entier supérieur ou égal à 2 se décompose de manière unique, à l’ordre près des facteurs, en produit de facteurs premiers.

💡 Astuce mémo

Pair = 2k ; impair = 2k + 1

📖 3. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre qui s’écrit avec un nombre fini de chiffres non nuls après la virgule, et l’ensemble de ces nombres se note D.
• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme a/b, avec a et b entiers relatifs et b ≠ 0, et l’ensemble de ces nombres se note Q.

📝 Points essentiels

📌 Tout nombre décimal peut s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10, par exemple 7,543 = 7543/1000 = 7543/10³.

📖 4. Droite réelle et encadrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Abscisse réelle : À tout point d’une droite graduée est associé un unique nombre réel appelé son abscisse, et réciproquement à tout nombre réel est associé un unique point de cette droite numérique.
• Amplitude d’encadrement : Tout nombre réel x peut être encadré par deux nombres décimaux m et M tels que m ≤ x ≤ M, et la différence M − m est l’amplitude de l’encadrement.

💡 Astuce mémo

Chaque réel se place comme une abscisse sur la droite graduée

📖 5. Ensemble vide

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble vide : Ensemble ne contenant aucun élément et se note ∅ ou {}.

📝 Points essentiels

📌 Pour tout ensemble A, ∅ ⊂ A, ∅ ∪ A = A, ∅ ∩ A = ∅ et A ⊂ ∅ si et seulement si A = ∅.

💡 Astuce mémo

Neutre pour ∪, absorbant pour ∩

📖 6. Intervalles de réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle réel : Pour a < b, un intervalle réel est un ensemble de nombres compris entre deux bornes a et b, dont l’appartenance des bornes est indiquée par des crochets ouverts ou fermés.

★ À maîtriser

📌 L’intervalle [a ; b] correspond à a ≤ x ≤ b, tandis que ]a ; b[ correspond à a < x < b.

Compléments

• Les intervalles semi-ouverts sont:

  • ]a ; b]
  • [a ; b[
  • [a ; +∞[
  • ]−∞ ; b]

• Les notations −∞ et +∞ ne désignent pas des nombres réels, les crochets sont toujours ouverts de leur côté, et R = ]−∞ ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé = borne incluse ; crochet ouvert = borne exclue

📖 7. Réunion et intersection

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B, et se note A ∩ B.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à A, à B ou aux deux, et se note A ∪ B.

📝 Points essentiels

• Si I = [1 ; 5] et J = [2 ; 6[, alors I ∪ J = [1 ; 6[ et I ∩ J = [2 ; 5].

• Si I = [2 ; 5] et J = [7 ; 11], alors I ∩ J = ∅ car les deux intervalles n’ont aucun réel commun.

💡 Astuce mémo

Réunion = ou ; intersection = et

📖 8. Valeur absolue et racine

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour tout réel x, |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0.
• Intervalle centré : Pour a réel et r réel positif, l’intervalle [a − r ; a + r] est caractérisé par |x − a| ≤ r ; a est son centre et r son rayon.

★ À maîtriser

• La condition |x − a| ≤ r équivaut successivement à une distance entre x et a inférieure ou égale à r, puis à a − r ≤ x ≤ a + r, donc à x ∈ [a − r ; a + r].

📐 Formule — Pour tout réel x, $\sqrt{x^2}=|x|$.

Compléments

• On a √((-3)²) = |-3| = 3, car √9 = 3.

💡 Astuce mémo

Le carré efface le signe, donc la racine restitue |x|

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles de nombres