Fiche de révision : Logique et raisonnements mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Négation des propositions logiques
2. Implication et réciproque
3. Équivalence et contraposée
4. Démonstration par récurrence
5. Méthodes de raisonnement

📖 1. Négation des propositions logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : La négation « non P » est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

★ À maîtriser

• Pour nier une phrase logique, on remplace « pour tout » par « il existe » ou inversement, puis on nie l’assertion restante.

📌 La négation de l’inégalité stricte « x < a » est « x ≥ a », tandis que la négation de « x ≥ a » est « x < a ».

Compléments

• La négation de « pour tout x ∈ [1 ; +∞[, x² ≤ 1 » est « il existe x ∈ [1 ; +∞[ tel que x² > 1 ».

💡 Astuce mémo

« Pour tout » s’oppose à « il existe », et « < » s’oppose à « ≥ ».

📖 2. Implication et réciproque

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : L’implication « P ⇒ Q » signifie que si P est vraie, alors Q est vraie.
• Réciproque : La réciproque de l’implication « P ⇒ Q » est l’implication « Q ⇒ P ».

📝 Points essentiels

• L’implication « 0 ≤ x ≤ 25 ⇒ √x ≤ 5 » est vraie.

• L’implication « sin(θ) = 0 ⇒ θ = 0 » est fausse, car θ = 2π vérifie sin(θ) = 0 sans être égal à 0.

💡 Astuce mémo

P ⇒ Q va de P vers Q ; la réciproque inverse le sens : Q ⇒ P.

📖 3. Équivalence et contraposée

🔑 Notions clés & Définitions

• Équivalence : L’équivalence « P ⇔ Q » signifie que les deux implications « P ⇒ Q » et « Q ⇒ P » sont vraies.
• Contraposée : Proposition « non Q ⇒ non P », équivalente à « P ⇒ Q ».

★ À maîtriser

• L’équivalence P ⇔ Q est vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies ou toutes deux fausses.

Compléments

• Le théorème de Pythagore s’écrit « ABC est rectangle en A ⇔ BC² = AB² + AC² ».

💡 Astuce mémo

P ⇒ Q équivaut à non Q ⇒ non P ; deux sens vrais donnent P ⇔ Q.

📖 4. Démonstration par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Récurrence forte : La récurrence forte consiste à supposer simultanément vraies P(n₀), P(n₀ + 1), jusqu’à P(k), puis à démontrer P(k + 1).
• Récurrence double : La récurrence double consiste à initialiser P(n₀) et P(n₀ + 1), puis à supposer P(k) et P(k + 1) vraies pour démontrer P(k + 2).

★ À maîtriser

• Pour démontrer par récurrence qu’une propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀, on vérifie l’initialisation, démontre l’hérédité, puis conclut.

Compléments

• La suite définie par u₀ = 0 et $u_{n+1}=2u_n+1$ vérifie $u_n=2^n-1$ pour tout entier naturel n.

💡 Astuce mémo

Initialisation → hérédité → conclusion.

📖 5. Méthodes de raisonnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Raisonnement absurde : Le raisonnement par l’absurde suppose P vraie et Q fausse, puis cherche une contradiction afin d’établir P ⇒ Q.
• Contre-exemple : Pour réfuter une assertion « pour tout x ∈ E, P(x) », il suffit de trouver un élément x ∈ E pour lequel P(x) est fausse.
• Cas par cas : Le raisonnement par cas consiste à diviser l’ensemble E en parties, puis à démontrer P(x) dans chacune d’elles.

★ À maîtriser

• Le raisonnement direct consiste à supposer P vraie et à démontrer directement que Q est vraie.

Compléments

• L’entier 7 est un contre-exemple à l’affirmation « Tout entier pair est somme de trois carrés », car les carrés inférieurs à 7 sont 0, 1 et 4 et trois de ces nombres ne permettent pas d’obtenir 7.