Fiche de révision : Logique mathématique et raisonnements

📋 Plan du Cours

1. Propositions et valeurs de vérité
2. Connecteurs logiques fondamentaux
3. Implication et équivalence
4. Lois logiques et tables de vérité
5. Quantificateurs et négations
6. Méthodes de raisonnement
7. Applications économiques et financières

📖 1. Propositions et valeurs de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Affirmation textuelle ou mathématique qui possède une et une seule valeur de vérité : vraie ou fausse.
• Table de vérité : Tableau récapitulatif qui permet de construire ou d’évaluer le comportement d’une proposition complexe.

💡 Astuce mémo

Vrai ou faux : une proposition possède exactement une valeur de vérité

📖 2. Connecteurs logiques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Possède la valeur de vérité opposée à celle de la proposition P.
• Conjonction : Correspond au ET logique et n’est vraie que si P et Q sont simultanément vraies.
• Disjonction : Correspond au OU inclusif et est vraie si au moins l’une des deux propositions est vraie.

💡 Astuce mémo

Visualiser ¬ comme un interrupteur, ∧ comme un ET simultané et ∨ comme un OU ouvert

📖 3. Implication et équivalence

🔑 Notions clés & Définitions

• Implication : Se lit « si P alors Q » et est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse.
• Équivalence : Se lit « P si et seulement si Q » et est vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité.
• Contraposée : Pour une implication P ⇒ Q, la contraposée est ¬Q ⇒ ¬P.
• Réciproque : Pour une implication P ⇒ Q, la proposition Q ⇒ P.

💡 Astuce mémo

L’implication échoue dans un seul cas ; l’équivalence exige deux valeurs identiques

📖 4. Lois logiques et tables de vérité

📝 Points essentiels

• Une implication peut être réécrite sous la forme $P \Rightarrow Q \Leftrightarrow \neg P \lor Q$.

• Une équivalence vérifie $P \Leftrightarrow Q \Leftrightarrow (P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)$.

• Les lois de De Morgan donnent $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P \lor \neg Q)$ et $\neg(P \lor Q) \Leftrightarrow (\neg P \land \neg Q)$.

💡 Astuce mémo

Formaliser, comparer les colonnes, conclure à l’équivalence

📖 5. Quantificateurs et négations

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Signifie que la propriété P(x) est vérifiée pour tous les éléments de E.
• Quantificateur existentiel : Signifie qu’il existe au moins un élément de E pour lequel P(x) est vraie.

📝 Points essentiels

• La négation d’un quantificateur universel vérifie $\neg(\forall x \in E, P(x)) \Leftrightarrow \exists x \in E, \neg P(x)$.

• La négation d’un quantificateur existentiel vérifie $\neg(\exists x \in E, P(x)) \Leftrightarrow \forall x \in E, \neg P(x)$.

💡 Astuce mémo

∀ exige tous les éléments, tandis que ∃ n’en exige qu’un seul

📖 6. Méthodes de raisonnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Contre-exemple : Élément x₀ ∈ E tel que P(x₀) soit fausse, suffisant pour invalider une proposition universelle.

📝 Points essentiels

• Le raisonnement déductif applique le Modus Ponens : si P est vraie et si P ⇒ Q est vraie, alors Q est nécessairement vraie.

• Pour démontrer P ⇒ Q par contraposition, il suffit de démontrer la proposition équivalente ¬Q ⇒ ¬P.

• Le raisonnement par l’absurde suppose ¬P et rejette cette hypothèse lorsqu’elle conduit à une contradiction, ce qui permet de conclure que P est vraie.

• Le raisonnement par récurrence démontre une propriété P(n) pour tout entier naturel en établissant une initialisation et une hérédité.

💡 Astuce mémo

Déduire, contraposer, supposer l’absurde, réfuter par exemple, puis récurrer

📖 7. Applications économiques et financières

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un capital placé à intérêt composé, la relation de récurrence est $V_{n+1}=(1+i)V_n$ et la valeur acquise est $V_n=V_0(1+i)^n$.

Compléments

• Dans l’exemple du marché de l’emploi, si le taux de croissance du PIB de la zone UEMOA atteint 6,5 % et si cette croissance implique des recrutements privés massifs, alors les entreprises du secteur privé recrutent massivement par Modus Ponens.

• Dans l’exemple du prix du ciment, la contraposée de « x ≠ 4500 FCFA implique que la demande n’est pas à l’équilibre » est « si la demande est à l’équilibre, alors x = 4500 FCFA ».

• Dans l’exemple du coût fixe, supposer CF ≤ 0 conduit à CF = 0, en contradiction avec la location minimale de l’entrepôt de 500 000 FCFA, donc CF > 0.

• Un chiffre d’affaires mensuel de 650 000 FCFA constitue un contre-exemple à l’affirmation selon laquelle toute entreprise de services de Cocody réalise au moins 1 000 000 FCFA par mois.

📐 Formule - Pour une épargne vérifiant $V_{n+1}=1{,}05V_n+10\,000$ avec $V_0=100\,000$ FCFA, l’expression donnée est $V_n=300\,000(1{,}05)^n-200\,000$.

💡 Astuce mémo

Formaliser une hypothèse économique → transformer la proposition → tirer une conclusion

📊 Tableaux de synthèse

Connecteurs logiques

Méthodes de raisonnement