QCM : Logique propositionnelle et preuves (4 questions)

Question 1

1. Quelle démarche permet de vérifier une formule propositionnelle impliquant des implications ?

Réécrire les implications sous forme de disjonctions, appliquer les transformations logiques, puis vérifier la vérité des deux composantes

Évaluer chaque proposition isolément, supprimer les connecteurs, puis comparer les valeurs obtenues

Remplacer les implications par des conjonctions, conserver les parenthèses, puis vérifier la fausseté d’une composante

Transformer les disjonctions en implications, inverser les négations, puis rechercher une composante fausse

Explication

La vérification repose sur la réécriture des implications en disjonctions, suivie de transformations logiques et de la constatation que les deux composantes sont vraies. Remplacer les implications par des conjonctions modifie la formule et ne constitue pas la méthode indiquée.

Answer

Réécrire les implications sous forme de disjonctions, appliquer les transformations logiques, puis vérifier la vérité des deux composantes

Question 2

2. Quelle est la valeur de vérité de la formule $(R\Rightarrow S)\Rightarrow[(S\Rightarrow T)\Rightarrow(R\Rightarrow T)]$ ?

Elle est fausse lorsque

R

et

S

ont la même valeur

Elle dépend de la valeur attribuée à

S

Elle est vraie

Elle est fausse lorsque

R

est vraie et

T

est fausse

Explication

Cette formule est vraie : elle exprime la transitivité de l’implication, selon laquelle $R\Rightarrow S$ et $S\Rightarrow T$ entraînent $R\Rightarrow T$ . La valeur de $S$ ne rend donc pas la formule globalement fausse.

Answer

Elle est vraie

Question 3

3. Dans une démonstration par contradiction de la transitivité, que déduit-on après avoir supposé $R\Rightarrow S$ , $S\Rightarrow T$ , $R$ vraie et $T$ fausse ?

On déduit d’abord que

S

est vraie, puis que

T

est vraie

On déduit d’abord que

S

est fausse, puis que

R

est fausse

On déduit que

T

est fausse, puis que

S

et

R

sont vraies

On déduit que

R

et

S

sont vraies sans pouvoir conclure sur

T

Explication

Comme $S\Rightarrow T$ est vraie alors que $T$ est fausse, $S$ doit être fausse ; puis $R\Rightarrow S$ étant vraie avec $S$ fausse, $R$ doit être fausse. Cette conclusion contredit l’hypothèse initiale selon laquelle $R$ est vraie.

Answer

On déduit d’abord que $$S$$ est fausse, puis que $$R$$ est fausse

Question 4

4. Qu’est-ce qui caractérise la contradiction obtenue dans cette démonstration ?

La proposition

R

est simultanément établie comme vraie et comme fausse

Les propositions

R

et

S

reçoivent des valeurs identiques

Une implication est déclarée vraie alors que son antécédent est faux

La proposition

T

est supposée fausse après avoir été démontrée vraie

Explication

La contradiction provient du fait que l’hypothèse conduit à $R$ vraie et $R$ fausse en même temps. Une implication vraie avec un antécédent faux n’est pas, en elle-même, une contradiction logique.

Answer

La proposition $$R$$ est simultanément établie comme vraie et comme fausse

QCM : Logique propositionnelle et preuves (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle démarche permet de vérifier une formule propositionnelle impliquant des implications ?

2. Quelle est la valeur de vérité de la formule $(R\Rightarrow S)\Rightarrow[(S\Rightarrow T)\Rightarrow(R\Rightarrow T)]$ ?

3. Dans une démonstration par contradiction de la transitivité, que déduit-on après avoir supposé $R\Rightarrow S$ , $S\Rightarrow T$ , $R$ vraie et $T$ fausse ?

4. Qu’est-ce qui caractérise la contradiction obtenue dans cette démonstration ?

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QCM : Logique propositionnelle et preuves (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle démarche permet de vérifier une formule propositionnelle impliquant des implications ?

2. Quelle est la valeur de vérité de la formule (R⇒S)⇒[(S⇒T)⇒(R⇒T)] (R\Rightarrow S)\Rightarrow[(S\Rightarrow T)\Rightarrow(R\Rightarrow T)] (R⇒S)⇒[(S⇒T)⇒(R⇒T)] ?

3. Dans une démonstration par contradiction de la transitivité, que déduit-on après avoir supposé R⇒SR\Rightarrow SR⇒S, S⇒TS\Rightarrow TS⇒T, RRR vraie et TTT fausse ?

4. Qu’est-ce qui caractérise la contradiction obtenue dans cette démonstration ?

Révisez avec les flashcards

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2. Quelle est la valeur de vérité de la formule $(R\Rightarrow S)\Rightarrow[(S\Rightarrow T)\Rightarrow(R\Rightarrow T)]$ ?

3. Dans une démonstration par contradiction de la transitivité, que déduit-on après avoir supposé $R\Rightarrow S$ , $S\Rightarrow T$ , $R$ vraie et $T$ fausse ?