QCM : Combinatoire et dénombrement (20 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces descriptions caractérise un ensemble fini ?

Il est défini par une règle sans éléments.
Il possède un nombre infini d’éléments.
Il possède un nombre fini d’éléments.
Il contient tous les entiers naturels.

Il possède un nombre fini d’éléments.

Explication

Un ensemble fini possède un nombre limité d’éléments et son cardinal est donc fini. L’ensemble des entiers naturels constitue au contraire un exemple d’ensemble infini.

2. Que représente le cardinal d’un ensemble fini EE ?

Le plus grand élément de EE
Le nombre d’éléments de EE
La propriété commune aux éléments de EE
La liste ordonnée des éléments de EE

Le nombre d’éléments de $$E$$

Explication

Le cardinal indique combien d’éléments contient l’ensemble et se note Card⁡(E)\operatorname{Card}(E) ou ∣E∣|E|. Il ne désigne pas les éléments eux-mêmes, mais leur quantité.

3. Une personne compte chaque objet d’une collection finie afin de connaître combien elle en contient : quelle opération réalise-t-elle ?

Elle ordonne les objets par taille.
Elle forme un produit cartésien.
Elle dénombre la collection.
Elle construit une intersection.

Elle dénombre la collection.

Explication

Dénombrer consiste à compter les éléments d’un ensemble fini pour en déterminer le cardinal. Les autres opérations concernent des relations ou des structures différentes.

4. Dans quelle situation peut-on additionner directement les cardinaux de plusieurs ensembles pour obtenir le cardinal de leur réunion ?

Lorsque les ensembles sont deux à deux disjoints
Lorsque chaque ensemble contient les mêmes éléments
Lorsque les ensembles sont tous infinis
Lorsque les ensembles possèdent une intersection commune

Lorsque les ensembles sont deux à deux disjoints

Explication

Le principe additif donne la somme des cardinaux lorsque les ensembles ne partagent aucun élément. En présence de recouvrements, certains éléments seraient comptés plusieurs fois.

5. Dans une classe, 16 élèves étudient le latin, 14 le théâtre, 5 suivent les deux options et 8 ne suivent aucune option : combien y a-t-il d’élèves ?

35 élèves
33 élèves
43 élèves
38 élèves

33 élèves

Explication

Les quatre zones du diagramme donnent 11 élèves en latin seulement, 5 dans les deux options, 9 en théâtre seulement et 8 dans aucune, soit 11+5+9+8=3311+5+9+8=33. Additionner directement 16 et 14 compterait les 5 élèves communs deux fois.

6. Que contient le produit cartésien de plusieurs ensembles ?

Des k-uplets formés en choisissant un élément dans chaque ensemble
Des éléments communs à tous les ensembles considérés
Des ensembles classés selon leur cardinal croissant
Des sous-ensembles constitués par réunion successive

Des k-uplets formés en choisissant un élément dans chaque ensemble

Explication

Le produit cartésien rassemble les couples, triplets ou k-uplets obtenus par un choix dans chaque ensemble. Il ne correspond donc ni à une intersection ni à une simple réunion.

7. Si Card⁡(E1)=3\operatorname{Card}(E_1)=3 et Card⁡(E2)=5\operatorname{Card}(E_2)=5, quel est le cardinal de E1×E2E_1\times E_2 ?

3535
22
88
1515

$$15$$

Explication

Le cardinal d’un produit cartésien se calcule en multipliant les cardinaux des ensembles : Card⁡(E1×E2)=3×5=15\operatorname{Card}(E_1\times E_2)=3\times5=15. L’addition des cardinaux correspondrait à une autre situation de dénombrement.

8. Quelle propriété distingue un k-uplet d’un arrangement d’éléments distincts ?

L’ordre compte et les répétitions sont autorisées.
L’ordre ne compte pas et chaque élément doit être distinct.
L’ordre compte et chaque élément doit être distinct.
L’ordre ne compte pas et les répétitions sont autorisées.

L’ordre compte et les répétitions sont autorisées.

Explication

Dans un k-uplet, la position de chaque élément est importante et un même élément peut apparaître plusieurs fois. L’arrangement d’éléments distincts impose au contraire l’absence de répétition.

9. Un ensemble contient 44 éléments. Combien de k-uplets de longueur 33 peut-on former en autorisant les répétitions ?

2424
8181
6464
1212

$$64$$

Explication

Avec répétition, chacun des trois rangs offre 44 choix indépendants, donc le nombre de k-uplets est nk=43=64n^k=4^3=64. La formule des arrangements ne s’applique pas lorsque les répétitions sont permises.

10. Quelle caractéristique définit un arrangement de kk éléments parmi nn ?

Il forme un sous-ensemble d’éléments distincts où l’ordre est ignoré.
Il forme un kk-uplet d’éléments distincts où l’ordre est pris en compte.
Il forme un kk-uplet d’éléments éventuellement répétés où l’ordre est pris en compte.
Il utilise tous les éléments de l’ensemble dans un ordre déterminé.

Il forme un $$k$$-uplet d’éléments distincts où l’ordre est pris en compte.

Explication

Un arrangement sélectionne des éléments distincts et distingue les ordres possibles. Un sous-ensemble sans ordre correspond plutôt à une combinaison.

11. Quelle expression donne le nombre d’arrangements de kk éléments parmi nn ?

k!k!
n!k!(n−k)!\frac{n!}{k!(n-k)!}
nkn^k
n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!}

$$\frac{n!}{(n-k)!}$$

Explication

Le nombre d’arrangements est le produit de kk facteurs décroissants, soit n(n−1)⋯(n−k+1)=n!(n−k)!n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}. L’expression n!k!(n−k)!\frac{n!}{k!(n-k)!} compte des choix sans tenir compte de l’ordre.

12. Comment définit-on la factorielle d’un entier naturel nn ?

Comme la somme 1+2+⋯+n1+2+\cdots+n, avec 0!=00!=0 par convention.
Comme le produit 1×2×⋯×n1\times2\times\cdots\times n, avec 0!=10!=1 par convention.
Comme le produit 0×1×⋯×n0\times1\times\cdots\times n, avec 0!=00!=0 par convention.
Comme le carré de nn, avec 0!=10!=1 par convention.

Comme le produit $$1\times2\times\cdots\times n$$, avec $$0!=1$$ par convention.

Explication

La factorielle multiplie tous les entiers de 11 à nn et la valeur de 0!0! est fixée à 11. Une somme ou un produit commençant par zéro ne définit pas la factorielle.

13. Quelle situation décrit une permutation d’un ensemble à nn éléments ?

Former un nn-uplet où certains éléments peuvent être répétés.
Former un nn-uplet d’éléments distincts en utilisant chaque élément de l’ensemble.
Former un kk-uplet d’éléments distincts avec k<nk<n.
Choisir un sous-ensemble de kk éléments sans distinguer leur ordre.

Former un $$n$$-uplet d’éléments distincts en utilisant chaque élément de l’ensemble.

Explication

Une permutation ordonne tous les éléments distincts d’un ensemble à nn éléments. Un choix de moins de nn éléments correspond plutôt à un arrangement ou à une combinaison selon que l’ordre compte.

14. Combien de permutations possède un ensemble de nn éléments ?

n!n!
n!(n−1)!\frac{n!}{(n-1)!}
n2n^2
n!2!\frac{n!}{2!}

$$n!$$

Explication

Chaque permutation utilise tous les éléments et leur nombre est n!n!. L’expression n!(n−1)!\frac{n!}{(n-1)!} se réduit à nn et ne compte pas toutes les mises en ordre possibles.

15. Quelle différence distingue une combinaison de kk éléments parmi nn d’un arrangement ?

Une combinaison utilise tous les éléments de l’ensemble dans un ordre fixé.
Une combinaison choisit un sous-ensemble sans tenir compte de l’ordre et sans répétition.
Une combinaison forme un kk-uplet où l’ordre des éléments détermine des choix différents.
Une combinaison autorise la répétition des éléments sélectionnés sans modifier le choix.

Une combinaison choisit un sous-ensemble sans tenir compte de l’ordre et sans répétition.

Explication

Dans une combinaison, les mêmes éléments constituent le même choix quel que soit leur ordre, et aucun élément n’est répété. La distinction entre les ordres caractérise l’arrangement.

16. Quelle formule permet de calculer le nombre de combinaisons de kk éléments parmi nn ?

(nk)=k!\binom{n}{k}=k!
(nk)=nk\binom{n}{k}=n^k
(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
(nk)=n!(n−k)!\binom{n}{k}=\frac{n!}{(n-k)!}

$$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Explication

Le nombre de combinaisons est n!k!(n−k)!\frac{n!}{k!(n-k)!}, car les arrangements sont regroupés selon les k!k! ordres possibles. La formule n!(n−k)!\frac{n!}{(n-k)!} compte des arrangements, où l’ordre est pris en compte.

17. Quelle égalité exprime la symétrie des coefficients binomiaux ?

(nk)=(n+1k+1)\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k+1}
(nk)=(nk+1)\binom{n}{k}=\binom{n}{k+1}
(nk)=(nn−k)\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}
(nk)=(kn−k)\binom{n}{k}=\binom{k}{n-k}

$$\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$$

Explication

La symétrie associe à chaque choix de kk éléments son complément, qui comporte n−kn-k éléments, d’où cette égalité. La relation de Pascal, elle, additionne deux coefficients pour obtenir un coefficient de la ligne suivante.

18. Quelle expression permet de calculer (n+1k+1)\binom{n+1}{k+1} grâce à la relation du triangle de Pascal ?

(nk)+(n+1k)\binom{n}{k}+\binom{n+1}{k}
(nk)×(nk+1)\binom{n}{k}\times\binom{n}{k+1}
(nk)+(nk+1)\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}
(nn−k)+(nk)\binom{n}{n-k}+\binom{n}{k}

$$\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}$$

Explication

La relation de Pascal donne (nk)+(nk+1)=(n+1k+1)\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}. L’échange entre kk et n−kn-k relève de la symétrie, et non de cette addition.

19. Combien de sous-ensembles possède un ensemble fini de nn éléments ?

2n2^n
n2n^2
n!n!
(nn)\binom{n}{n}

$$2^n$$

Explication

Chaque élément peut être inclus ou exclu, ce qui donne 2n2^n sous-ensembles. Le coefficient (nk)\binom{n}{k} ne compte que les sous-ensembles ayant précisément kk éléments.

20. Pour choisir trois éléments parmi dix lorsque l’ordre ne compte pas et qu’aucun élément ne peut être répété, quelle méthode convient ?

Les permutations
Les arrangements
Les k-uplets
Les combinaisons

Les combinaisons

Explication

Les combinaisons conviennent lorsque l’ordre ne compte pas et que le choix s’effectue sans répétition. Les arrangements prennent en compte l’ordre, tandis que les permutations correspondent au cas où tous les éléments sont utilisés.

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Qu'est-ce qu'un ensemble fini ?

Un ensemble avec un nombre fini d'éléments.

Comment appelle-t-on le nombre d'éléments d'un ensemble fini ?

Le cardinal de l'ensemble.

Comment note-t-on le cardinal d'un ensemble fini ?

Par Card⁡(E)\operatorname{Card}(E) ou ∣E∣|E|.

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