Fiche de révision : Combinatoire et dénombrement

📋 Plan du Cours

1. Cardinal et dénombrement
2. Principes additif et multiplicatif
3. k-uplets avec répétition
4. Arrangements et factorielle
5. Permutations et placements
6. Combinaisons sans ordre
7. Coefficients et triangle de Pascal
8. Parties et choix de méthode

📖 1. Cardinal et dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble fini : Ensemble qui possède un nombre fini d’éléments.
• Cardinal : Nombre d’éléments, noté $\operatorname{Card}(E)$ ou $|E|$.
• Dénombrement : Compter les éléments d’un ensemble fini afin d’en déterminer le cardinal.
• Ensembles disjoints : Ensembles qui n’ont aucun élément en commun.

📖 2. Principes additif et multiplicatif

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Le produit cartésien de plusieurs ensembles est l’ensemble des couples, triplets ou k-uplets formés en choisissant un élément dans chaque ensemble.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour des ensembles finis deux à deux disjoints, $\operatorname{Card}(E_1\cup\cdots\cup E_k)=\operatorname{Card}(E_1)+\cdots+\operatorname{Card}(E_k)$.

📐 Formule - Pour des ensembles finis, $\operatorname{Card}(E_1\times\cdots\times E_k)=\operatorname{Card}(E_1)\times\cdots\times\operatorname{Card}(E_k)$.

• Pour dénombrer une classe avec 16 élèves en latin, 14 en théâtre, 5 dans les deux options et 8 dans aucune, on sépare les quatre zones du diagramme puis on additionne $11+5+9+8=33$.

💡 Astuce mémo

Additif = choix entre ensembles disjoints ; multiplicatif = choix successifs.

📖 3. k-uplets avec répétition

★ À maîtriser

• Si un ensemble possède $n$ éléments, le nombre de k-uplets d’éléments de cet ensemble est $n^k$.

📌 Dans un k-uplet, l’ordre des éléments compte et les éléments peuvent se répéter.

Compléments

• Le nombre de couples obtenus en lançant deux dés à six faces est $6^2=36$, et les couples (1,2) et (2,1) sont différents.

• Un code composé de 2 lettres parmi 26 suivies de 10 chiffres possède $26^2\times10^{10}=6\,760\,000\,000\,000$ possibilités.

📖 4. Arrangements et factorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrangement : k-uplet d’éléments distincts choisi dans un ensemble de n éléments, avec ordre des éléments pris en compte.
• Factorielle : La factorielle de n est le produit des entiers de 1 à n, noté $n!=1\times2\times\cdots\times n$, avec $0!=1$ par convention.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre d’arrangements de k éléments parmi n est $n(n-1)\cdots(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$.

Compléments

• Le nombre de branchements possibles pour 3 prises distinctes dans 12 positions est $12\times11\times10=1320$.

💡 Astuce mémo

Pour un arrangement : n choix, puis n−1, puis n−2…

📖 5. Permutations et placements

🔑 Notions clés & Définitions

• Permutation : n-uplet d’éléments distincts utilisant tous les éléments de l’ensemble.

★ À maîtriser

• Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est $n!$.

Compléments

• Le nombre de façons d’asseoir 12 scientifiques sur 12 places est $12!=479\,001\,600$.

• Si 3 physiciens doivent rester côte à côte parmi 12 scientifiques, le nombre de placements est $10\times3!\times9!=21\,772\,800$.

📖 6. Combinaisons sans ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : Sous-ensemble de k éléments choisi dans un ensemble de n éléments, sans tenir compte de l’ordre et sans répétition.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n est $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Compléments

• Les cas particuliers sont $\binom n0=1$, $\binom nn=1$ et $\binom n1=n$.

• Le nombre de façons d’élire 4 délégués parmi 34 élèves est $\binom{34}{4}=46\,376$.

💡 Astuce mémo

Arrangement : l’ordre compte ; combinaison : l’ordre ne compte pas.

📖 7. Coefficients et triangle de Pascal

★ À maîtriser

📐 Formule - La propriété de symétrie des coefficients binomiaux est $\binom nk=\binom n{n-k}$.

📐 Formule - La relation du triangle de Pascal est $\binom nk+\binom n{k+1}=\binom{n+1}{k+1}$.

Compléments

• Par symétrie, $\binom{25}{24}=\binom{25}{1}=25$.

💡 Astuce mémo

Chaque terme intérieur se construit par addition des deux termes situés au-dessus.

📖 8. Parties et choix de méthode

★ À maîtriser

📐 Formule - Un ensemble fini à n éléments possède $\sum_{k=0}^{n}\binom nk=2^n$ sous-ensembles.

📌 Pour choisir k éléments parmi n, on utilise les k-uplets si l’ordre compte avec répétition, les arrangements si l’ordre compte sans répétition, les permutations si k=n, et les combinaisons si l’ordre ne compte pas sans répétition.

Compléments

• L’ensemble {1,2,3} possède 8 sous-ensembles, car $2^3=8$.

• Le nombre de mots de 3 lettres avec répétition est $26^3$, celui de mots de 3 lettres différentes est $26\times25\times24$, celui des anagrammes de « MDR » est $3!$, et celui des tirages simultanés de 3 jetons parmi 6 est $\binom63$.

💡 Astuce mémo

Ordre oui/non et répétition oui/non déterminent la formule.

📊 Tableaux de synthèse

Choisir la bonne formule