Logique propositionnelle et preuves

📋 Plan du Cours

1. Évaluation des formules propositionnelles
2. Transitivité de l’implication
3. Transformations et table de vérité

📖 1. Évaluation des formules propositionnelles

★ À maîtriser

• 🔄 La vérification suit plusieurs étapes:

  1. Réécrire les implications avec des disjonctions
  2. Appliquer les transformations logiques
  3. Constater que les deux composantes sont vraies

• La formule $(R\Rightarrow S)\Rightarrow[(S\Rightarrow T)\Rightarrow(R\Rightarrow T)]$ est vraie.

Compléments

• La formule $(\neg R\lor T\lor S\lor R)\land(\neg R\lor T\lor S\lor\neg S)$ est vraie.

💡 Astuce mémo

Remplacer les implications, distribuer, puis constater les valeurs vraies.

📖 2. Transitivité de l’implication

★ À maîtriser

• Pour démontrer la transitivité, on suppose que R ⇒ S et S ⇒ T sont vraies, que R est vraie et que T est fausse ; comme S ⇒ T est vraie alors que T est fausse, S est fausse, puis comme R ⇒ S est vraie alors que S est fausse, R est fausse, ce qui contredit R vraie.

📌 Dans la démonstration par contradiction, R vraie et R fausse sont simultanément obtenues, ce qui rend l’hypothèse contradictoire.

Compléments