Fiche de révision : Loi binomiale et schéma de Bernoulli

📋 Plan du Cours

1. Épreuve et schéma de Bernoulli
2. Définition de la loi binomiale
3. Calcul et représentation binomiale
4. Simulation informatique d’un schéma
5. Calculatrice et probabilités cumulées
6. Espérance et écart-type

📖 1. Épreuve et schéma de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Épreuve de Bernoulli : Expérience aléatoire à deux issues nommées succès et échec.
• Schéma de Bernoulli : Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, pour lesquelles la probabilité du succès est p.

📝 Points essentiels

• Au jeu du pile ou face, obtenir pile peut être défini comme le succès et obtenir face comme l’échec, avec une probabilité de succès égale à $p=\frac{1}{2}$.

• Lors d’un lancer de dé, obtenir un six peut être défini comme le succès et ne pas obtenir un six comme l’échec, avec une probabilité de succès égale à $p=\frac{1}{6}$.

• La répétition de 10 jeux de pile ou face constitue un schéma de Bernoulli de paramètres n=10 et $p=\frac{1}{2}$.

💡 Astuce mémo

Bernoulli oppose toujours deux issues : succès ou échec.

📖 2. Définition de la loi binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Loi de probabilité qui donne le nombre de succès obtenus au cours d’un schéma de Bernoulli composé de n épreuves identiques et indépendantes, où la probabilité du succès est p, et qui se note B(n ; p).

★ À maîtriser

• Dans un schéma de Bernoulli comportant n épreuves, le nombre de succès possible est compris entre 0 et n.

Compléments

• Pour trois épreuves de Bernoulli, l’événement X=3 a pour probabilité $P(X=3)=p^3$.

• Pour trois épreuves de Bernoulli, l’événement X=2 correspond aux trois suites (succès ; succès ; échec), (succès ; échec ; succès) et (échec ; succès ; succès), donc $P(X=2)=3p^2(1-p)$.

💡 Astuce mémo

Répéter, compter, modéliser : n épreuves donnent le nombre de succès.

📖 3. Calcul et représentation binomiale

★ À maîtriser

• 🔄 La méthode avec un arbre consiste à: représenter les issues, repérer les chemins comportant le nombre de succès recherché, compter ces chemins, calculer la probabilité de chaque chemin, additionner leurs probabilités

📐 Formule — La probabilité d’obtenir deux succès lors de trois épreuves de Bernoulli s’écrit $P(X=2)=3p^2(1-p)$.

Compléments

• Les probabilités pour X=0,1,2,3,4,5 sont respectivement:
  • 0,07776
  • 0,2592
  • 0,3456
  • 0,2304
  • 0,0768
  • 0,01024

💡 Astuce mémo

Un arbre montre les chemins, puis un diagramme en bâtons montre les probabilités.

📖 4. Simulation informatique d’un schéma

★ À maîtriser

• Pour simuler un schéma de Bernoulli, on répète n fois une épreuve indépendante de probabilité de succès p et on compte le nombre de succès obtenus.

• 🔄 La fonction binomiale:

  1. initialise le compteur à zéro
  2. répète n fois l’appel à bernoulli(p)
  3. augmente le compteur de un en cas de succès
  4. renvoie le nombre total de succès

Compléments

• La fonction bernoulli(p) renvoie True si random() est inférieur à p et False sinon.

💡 Astuce mémo

Tester p, répéter n fois, compter les succès.

📖 5. Calculatrice et probabilités cumulées

★ À maîtriser

📌 Pour calculer P(X=k), on utilise la fonction de probabilité ponctuelle de la loi binomiale, tandis que P(X≤k) se calcule avec la fonction de probabilité cumulée.

Compléments

• Dans une urne contenant 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes, avec remise après chaque tirage, quatre tirages constituent un schéma de Bernoulli dont le succès est obtenir une boule gagnante.

💡 Astuce mémo

P(X = k) vise une valeur exacte, tandis que P(X ≤ k) cumule les valeurs jusqu’à k.

📖 6. Espérance et écart-type

★ À maîtriser

📐 Formule — Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, son espérance est $E(X)=n\times p$.

📐 Formule — Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, son écart-type est $\sigma(X)=\sqrt{n\times p\times(1-p)}$.

Compléments

📌 Plus l’écart-type est grand, plus les valeurs de la variable aléatoire sont dispersées et éloignées de l’espérance ; plus il est petit, plus elles sont regroupées et proches de l’espérance.

• Pour un QCM de 8 questions comportant trois solutions dont une seule exacte par question, le nombre de bonnes réponses suit une loi binomiale car chaque question constitue une épreuve de Bernoulli.

💡 Astuce mémo

L’espérance situe le centre, l’écart-type mesure la dispersion.