QCM : Loi binomiale et schéma de Bernoulli — 12 questions

Question 1

1. Qu’est-ce qu’une épreuve de Bernoulli ?

Une expérience dont l’issue est déterminée par une formule

Une expérience aléatoire comportant plusieurs issues équiprobables

Une expérience aléatoire à deux issues appelées succès et échec

Une répétition d’épreuves indépendantes de même probabilité

Explication

Une épreuve de Bernoulli possède deux issues possibles, nommées succès et échec. Une répétition d’épreuves identiques et indépendantes constitue plutôt un schéma de Bernoulli.

Answer

Une expérience aléatoire à deux issues appelées succès et échec

Question 2

2. Quelle situation correspond à un schéma de Bernoulli ?

La répétition d’épreuves dont les probabilités de succès changent à chaque étape

Une suite d’expériences dépendantes comportant plusieurs issues possibles

Une seule épreuve présentant deux issues, avec des probabilités variables

La répétition de n épreuves identiques et indépendantes, avec une probabilité de succès p

Explication

Un schéma de Bernoulli répète n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec une probabilité de succès constante p. Une modification des probabilités ou une dépendance entre les épreuves ne respecte pas cette définition.

Answer

La répétition de n épreuves identiques et indépendantes, avec une probabilité de succès p

Question 3

3. Que représente la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p) ?

La probabilité d’un succès lors d’une seule épreuve de probabilité p

La répétition de n épreuves sans s’intéresser au nombre de succès

Le nombre de succès obtenus dans n épreuves identiques et indépendantes de probabilité p

Le nombre d’échecs obtenus dans une expérience comportant p épreuves

Explication

La loi binomiale donne la loi de probabilité du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de n épreuves et de probabilité de succès p. Le schéma décrit la répétition des épreuves, tandis que la loi binomiale étudie le nombre de succès.

Answer

Le nombre de succès obtenus dans n épreuves identiques et indépendantes de probabilité p

Question 4

4. Dans un schéma de Bernoulli comportant n épreuves, quelles valeurs le nombre de succès X peut-il prendre ?

Les entiers compris entre 1 et n

Les entiers compris entre 0 et n

Les entiers compris entre 0 et n-1

Tous les nombres réels compris entre 0 et n

Explication

Le nombre de succès peut aller de zéro, si aucune épreuve ne réussit, à n, si toutes réussissent. Il s’agit d’un nombre entier associé aux succès, et non d’une valeur réelle quelconque.

Answer

Les entiers compris entre 0 et n

Question 5

5. Quelle démarche permet de calculer une probabilité binomiale à l’aide d’un arbre ?

Compter les succès de chaque chemin sans calculer ni regrouper leurs probabilités

Additionner toutes les issues de l’arbre avant de sélectionner le nombre de succès

Choisir un seul chemin, puis multiplier ses probabilités sans compter les autres

Repérer les chemins favorables, calculer leurs probabilités et les additionner

Explication

La méthode consiste à identifier les chemins comportant le nombre de succès recherché, à calculer la probabilité de chacun, puis à additionner ces probabilités. Un événement comme X=k peut regrouper plusieurs chemins distincts.

Answer

Repérer les chemins favorables, calculer leurs probabilités et les additionner

Question 6

6. Pour trois épreuves de Bernoulli indépendantes, quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement deux succès ?

P(X=2)=3p^2(1-p)

P(X=2)=p^2(1-p)

P(X=2)=3p(1-p)^2

P(X=2)=p^3

Explication

Deux succès et un échec peuvent apparaître selon trois ordres différents, et chaque ordre a pour probabilité $p^2(1-p)$ . La multiplication par 3 regroupe donc les trois chemins favorables.

Answer

$$P(X=2)=3p^2(1-p)$$

Question 7

7. Quelle procédure permet de simuler informatiquement un schéma de Bernoulli comportant $n$ épreuves de probabilité de succès $p$ ?

Répéter une seule épreuve et multiplier son résultat par

n

Répéter

n

épreuves indépendantes et compter les succès obtenus

Tirer

n

valeurs sans imposer la même probabilité de succès

Additionner les probabilités de succès sans effectuer d’épreuves

Explication

La simulation consiste à réaliser $n$ épreuves indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès $p$ , puis à compter les succès. Multiplier le résultat d’une seule épreuve ne reproduit pas les réalisations aléatoires successives.

Answer

Répéter $$n$$ épreuves indépendantes et compter les succès obtenus

Question 8

8. Que renvoie la fonction binomiale après avoir simulé $n$ appels à bernoulli(p) ?

La liste des probabilités de chaque épreuve

Une valeur True ou False pour la dernière épreuve

La probabilité théorique d’un succès

Le nombre total de succès simulés

Explication

La fonction binomiale maintient un compteur, l’augmente lors de chaque succès et renvoie le total obtenu. La fonction bernoulli, elle, fournit le résultat booléen d’une épreuve individuelle.

Answer

Le nombre total de succès simulés

Question 9

9. Quelle fonction faut-il utiliser pour calculer $P(X\leq k)$ lorsque $X$ suit une loi binomiale ?

La fonction de probabilité ponctuelle

La fonction de probabilité cumulée

La fonction donnant l’espérance

La fonction donnant l’écart-type

Explication

La probabilité cumulée additionne les probabilités correspondant aux valeurs inférieures ou égales à $k$ . La probabilité ponctuelle concerne plutôt la valeur exacte $P(X=k)$ .

Answer

La fonction de probabilité cumulée

Question 10

10. Une urne contient 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes ; une boule est remise après chaque tirage. Pourquoi quatre tirages forment-ils un schéma de Bernoulli ?

La probabilité de gagner augmente après chaque tirage perdant

Chaque tirage est indépendant et la probabilité de gagner reste constante

Les quatre tirages produisent nécessairement le même résultat

Chaque tirage diminue le nombre de boules disponibles dans l’urne

Explication

La remise rétablit la composition de l’urne après chaque tirage, donc les tirages sont indépendants et la probabilité de gagner reste constante. Sans remise, la composition et donc la probabilité de succès peuvent changer.

Answer

Chaque tirage est indépendant et la probabilité de gagner reste constante

Question 11

11. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

6

20{,}3

0{,}3

\sqrt{6}

Explication

Pour une loi binomiale, l’espérance se calcule par $E(X)=n\times p$ , donc $E(X)=20\times0{,}3=6$ . La racine de 6 correspondrait à une autre expression et ne donne pas l’espérance.

Answer

$$\sqrt{12\times0{,}25\times0{,}75}$$

Question 12

12. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=0{,}25$ . Quelle expression donne son écart-type ?

\sqrt{12\times0{,}25\times0{,}75}

12\times0{,}25\times0{,}75

12\times0{,}25

\sqrt{12\times0{,}25}

Explication

L’écart-type d’une loi binomiale est $\sigma(X)=\sqrt{n\times p\times(1-p)}$ ; ici, $1-p=0{,}75$ . Le produit $n\times p$ donne l’espérance, tandis que le produit sans racine donne la variance.

QCM : Loi binomiale et schéma de Bernoulli — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qu’une épreuve de Bernoulli ?

2. Quelle situation correspond à un schéma de Bernoulli ?

3. Que représente la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p) ?

4. Dans un schéma de Bernoulli comportant n épreuves, quelles valeurs le nombre de succès X peut-il prendre ?

5. Quelle démarche permet de calculer une probabilité binomiale à l’aide d’un arbre ?

6. Pour trois épreuves de Bernoulli indépendantes, quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement deux succès ?

7. Quelle procédure permet de simuler informatiquement un schéma de Bernoulli comportant $n$ épreuves de probabilité de succès $p$ ?

8. Que renvoie la fonction binomiale après avoir simulé $n$ appels à bernoulli(p) ?

9. Quelle fonction faut-il utiliser pour calculer $P(X\leq k)$ lorsque $X$ suit une loi binomiale ?

10. Une urne contient 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes ; une boule est remise après chaque tirage. Pourquoi quatre tirages forment-ils un schéma de Bernoulli ?

11. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

12. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=0{,}25$ . Quelle expression donne son écart-type ?

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QCM : Loi binomiale et schéma de Bernoulli — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Qu’est-ce qu’une épreuve de Bernoulli ?

2. Quelle situation correspond à un schéma de Bernoulli ?

3. Que représente la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p) ?

4. Dans un schéma de Bernoulli comportant n épreuves, quelles valeurs le nombre de succès X peut-il prendre ?

5. Quelle démarche permet de calculer une probabilité binomiale à l’aide d’un arbre ?

6. Pour trois épreuves de Bernoulli indépendantes, quelle expression donne la probabilité d’obtenir exactement deux succès ?

7. Quelle procédure permet de simuler informatiquement un schéma de Bernoulli comportant nnn épreuves de probabilité de succès ppp ?

8. Que renvoie la fonction binomiale après avoir simulé nnn appels à bernoulli(p) ?

9. Quelle fonction faut-il utiliser pour calculer P(X≤k)P(X\leq k)P(X≤k) lorsque XXX suit une loi binomiale ?

10. Une urne contient 5 boules gagnantes et 7 boules perdantes ; une boule est remise après chaque tirage. Pourquoi quatre tirages forment-ils un schéma de Bernoulli ?

11. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n=20n=20n=20 et p=0,3p=0{,}3p=0,3. Quelle est son espérance ?

12. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres n=12n=12n=12 et p=0,25p=0{,}25p=0,25. Quelle expression donne son écart-type ?

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8. Que renvoie la fonction binomiale après avoir simulé $n$ appels à bernoulli(p) ?

9. Quelle fonction faut-il utiliser pour calculer $P(X\leq k)$ lorsque $X$ suit une loi binomiale ?

11. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}3$ . Quelle est son espérance ?

12. Une variable aléatoire suit une loi binomiale de paramètres $n=12$ et $p=0{,}25$ . Quelle expression donne son écart-type ?