Fiche de révision : Lois binomiale et géométrique

📋 Plan du Cours

1. Loi binomiale et ses paramètres
2. Intervalles de fluctuation binomiale
3. Loi géométrique et absence de mémoire

📖 1. Loi binomiale et ses paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Loi qui modélise le nombre de succès obtenus lors de n répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour X suivant une loi ℬ(n ; p), la probabilité d’obtenir k succès, pour tout entier k compris entre 0 et n, est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

📐 Formule - Si X suit une loi ℬ(n ; p), son espérance est $E(X)=np$, sa variance est $V(X)=np(1-p)$ et son écart-type est $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

Compléments

• Pour deux lancers indépendants d’une pièce dont la probabilité d’obtenir pile est 0,4, le nombre de piles suit ℬ(2 ; 0,4) et la probabilité d’obtenir exactement un pile est 0,48.

📖 2. Intervalles de fluctuation binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de fluctuation : Intervalle [a ; b] tel que P(a≤X≤b)≥1−α pour une variable X suivant ℬ(n ; p), avec α∈]0 ; 1[.

📝 Points essentiels

• L’intervalle de fluctuation à gauche est [0 ; b], où b est le plus petit entier tel que P(X≤b)≥1−α.

• L’intervalle de fluctuation à droite est [a ; n], où a est le plus petit entier tel que P(X≤a)≥α.

• L’intervalle de fluctuation centré est [a ; b], où a et b sont les plus petits entiers tels que P(X≤a)>α/2 et P(X≤b)≥1−α/2.

💡 Astuce mémo

À gauche, la borne est 0 ; à droite, la borne est n.

📖 3. Loi géométrique et absence de mémoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi géométrique : Loi qui modélise le nombre d’essais nécessaires pour obtenir le premier succès lors de répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour X suivant une loi géométrique de paramètre p, les probabilités associées sont $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$, $P(X\le k)=1-(1-p)^k$ et $P(X>k)=(1-p)^k$.

📐 Formule - Si X suit une loi géométrique de paramètre p, son espérance est $E(X)=\frac{1}{p}$.

Compléments

📌 Pour X suivant une loi géométrique de paramètre p et pour s,t∈ℕ*, la propriété d’absence de mémoire s’écrit $P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)$.

• Pour un dé équilibré à quatre faces numérotées de 1 à 4, le nombre de lancers nécessaires pour obtenir un 2 suit une loi géométrique de paramètre 0,25.