Lois binomiale et géométrique

📋 Plan du Cours

1. Loi binomiale et ses paramètres
2. Intervalles de fluctuation binomiale
3. Loi géométrique et absence de mémoire

📖 1. Loi binomiale et ses paramètres

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Loi qui modélise le nombre de succès obtenus lors de n répétitions identiques et indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour X suivant une loi ℬ(n ; p), la probabilité d’obtenir k succès, pour tout entier k compris entre 0 et n, est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

📐 Formule - Si X suit une loi ℬ(n ; p), son espérance est $E(X)=np$, sa variance est $V(X)=np(1-p)$ et son écart-type est $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.

Compléments

• Pour deux lancers indépendants d’une pièce dont la probabilité d’obtenir pile est 0,4, le nombre de piles suit ℬ(2 ; 0,4) et la probabilité d’obtenir exactement un pile est 0,48.

📖 2. Intervalles de fluctuation binomiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de fluctuation : Intervalle [a ; b] tel que P(a≤X≤b)≥1−α pour une variable X suivant ℬ(n ; p), avec α∈]0 ; 1[.

📝 Points essentiels

• L’intervalle de fluctuation à gauche est [0 ; b], où b est le plus petit entier tel que P(X≤b)≥1−α.