QCM : Lois binomiale et géométrique (7 questions)

Question 1

1. Un laboratoire répète 12 fois, dans les mêmes conditions et indépendamment, un test dont la probabilité de réussite est 0,3. Quelle loi modélise le nombre de réussites ?

La loi binomiale de paramètres 12 et 0,3

Une loi binomiale de paramètres 12 et une probabilité variable

La loi binomiale de paramètres 0,3 et 12

Une loi géométrique de paramètre 0,3

Explication

La loi binomiale modélise le nombre de succès lors d’un nombre fixé de répétitions identiques et indépendantes, avec une probabilité de succès constante. Inverser les paramètres confond le nombre d’essais avec la probabilité, supposer une probabilité variable écarte le schéma décrit, et la loi géométrique concerne le rang du premier succès.

Answer

La loi binomiale de paramètres 12 et 0,3

Question 2

2. Un appareil passe 20 contrôles indépendants, chacun avec une probabilité de réussite de 0,4. Quelle est l’espérance du nombre de contrôles réussis ?

8 réussites

4,8 réussites

\sqrt{8}

réussites

12 réussites

Explication

Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , l’espérance vaut $np$ ; ici $20\times 0,4=8$ . La valeur 4,8 vient de la variance $np(1-p)$ , 12 utilise la probabilité d’échec, et $\sqrt{8}$ correspondrait à l’écart-type.

Answer

8 réussites

Question 3

3. Pour une variable $X$ suivant une loi binomiale et un seuil $1-\alpha=0,95$ , un intervalle $[a;b]$ contient les valeurs de $X$ avec une probabilité de 0,93. Peut-il être qualifié d’intervalle de fluctuation à ce seuil ?

Non, car la probabilité doit être exactement 0,95

Non, car 0,93 est inférieur à 0,95

Oui, car toute probabilité strictement positive convient

Oui, car 0,93 est supérieur à

\alpha=0,05

Explication

Un intervalle de fluctuation au seuil $1-\alpha$ doit vérifier $P(a\le X\le b)\ge 1-\alpha$ ; ici 0,93 est inférieur à 0,95. Comparer à $\alpha$ confond le seuil et son complément, accepter toute probabilité positive oublie la condition, et l’égalité exacte n’est pas nécessaire.

Answer

Non, car 0,93 est inférieur à 0,95

Question 4

4. Pour construire un intervalle de fluctuation centré au seuil $1-\alpha$ d’une variable binomiale, quels critères doivent satisfaire ses bornes entières $a$ et $b$ ?

P(X\le a)\ge 1-\alpha

et

P(X\le b)\ge 1-\alpha

P(X\le a)>\alpha

et

P(X\le b)\ge 1-\alpha

P(X\le a)\ge 1-\alpha/2

et

P(X\le b)>\alpha/2

P(X\le a)>\alpha/2

et

P(X\le b)\ge 1-\alpha/2

Explication

L’intervalle centré utilise les seuils cumulés $\alpha/2$ à gauche et $1-\alpha/2$ à droite, avec les inégalités indiquées. Le critère de l’intervalle à gauche ne définit pas les deux bornes centrées, tandis que remplacer ou inverser les seuils répartit incorrectement les queues de probabilité.

Answer

$$P(X\le a)>\alpha/2$$ et $$P(X\le b)\ge 1-\alpha/2$$

Question 5

5. Que signifie la propriété d’absence de mémoire pour une variable aléatoire géométrique $X$ de paramètre $p$ ?

La probabilité d’obtenir le premier succès au prochain essai augmente avec le nombre d’essais déjà effectués.

Le nombre moyen d’essais restant après

t

échecs est égal à

t

fois le nombre moyen initial.

La probabilité d’attendre plus de

s+t

essais sachant que l’attente a déjà dépassé

t

essais est égale à celle d’attendre plus de

s

essais.

La probabilité d’attendre plus de

s+t

essais est le produit des probabilités d’attendre plus de

s

et de

t

essais.

Explication

La propriété d’absence de mémoire s’écrit $P(X>s+t\mid X>t)=P(X>s)$ : après une attente déjà écoulée, la durée restante conserve la même loi. Elle ne signifie pas que la probabilité de succès augmente avec le nombre d’échecs, car les essais sont identiques et indépendants.

Answer

La probabilité d’attendre plus de $$s+t$$ essais sachant que l’attente a déjà dépassé $$t$$ essais est égale à celle d’attendre plus de $$s$$ essais.

Question 6

6. Deux lancers indépendants d’une pièce donnent pile avec une probabilité de 0,4 à chaque lancer. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement un pile ?

0,64

0,48

0,24

0,40

Explication

Pour obtenir exactement un pile, il y a deux issues possibles, chacune de probabilité 0,4 × 0,6, soit une probabilité totale de 0,48. La valeur 0,24 correspond à une seule des deux issues, sans tenir compte de l’ordre inverse.

Answer

Délimiter un ensemble de valeurs dont la probabilité est au moins $$1-\alpha$$.

Question 7

7. Quelle est la fonction d’un intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale ?

Délimiter un ensemble de valeurs dont la probabilité est au moins

1-\alpha

.

Mesurer l’écart entre l’espérance et la valeur observée.

Déterminer la probabilité d’obtenir exactement une valeur donnée.

Donner les deux valeurs les plus probables de la variable aléatoire.

Explication

Un intervalle de fluctuation rassemble des valeurs de la variable dont la probabilité totale est au moins $1-\alpha$ . Il ne sert pas à identifier les deux valeurs les plus probables, mais à délimiter une plage de valeurs présentant une probabilité suffisante.

QCM : Lois binomiale et géométrique (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un laboratoire répète 12 fois, dans les mêmes conditions et indépendamment, un test dont la probabilité de réussite est 0,3. Quelle loi modélise le nombre de réussites ?

2. Un appareil passe 20 contrôles indépendants, chacun avec une probabilité de réussite de 0,4. Quelle est l’espérance du nombre de contrôles réussis ?

3. Pour une variable $X$ suivant une loi binomiale et un seuil $1-\alpha=0,95$ , un intervalle $[a;b]$ contient les valeurs de $X$ avec une probabilité de 0,93. Peut-il être qualifié d’intervalle de fluctuation à ce seuil ?

4. Pour construire un intervalle de fluctuation centré au seuil $1-\alpha$ d’une variable binomiale, quels critères doivent satisfaire ses bornes entières $a$ et $b$ ?

5. Que signifie la propriété d’absence de mémoire pour une variable aléatoire géométrique $X$ de paramètre $p$ ?

6. Deux lancers indépendants d’une pièce donnent pile avec une probabilité de 0,4 à chaque lancer. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement un pile ?

7. Quelle est la fonction d’un intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale ?

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QCM : Lois binomiale et géométrique (7 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un laboratoire répète 12 fois, dans les mêmes conditions et indépendamment, un test dont la probabilité de réussite est 0,3. Quelle loi modélise le nombre de réussites ?

2. Un appareil passe 20 contrôles indépendants, chacun avec une probabilité de réussite de 0,4. Quelle est l’espérance du nombre de contrôles réussis ?

3. Pour une variable XXX suivant une loi binomiale et un seuil 1−α=0,951-\alpha=0,951−α=0,95, un intervalle [a;b][a;b][a;b] contient les valeurs de XXX avec une probabilité de 0,93. Peut-il être qualifié d’intervalle de fluctuation à ce seuil ?

4. Pour construire un intervalle de fluctuation centré au seuil 1−α1-\alpha1−α d’une variable binomiale, quels critères doivent satisfaire ses bornes entières aaa et bbb ?

5. Que signifie la propriété d’absence de mémoire pour une variable aléatoire géométrique XXX de paramètre ppp ?

6. Deux lancers indépendants d’une pièce donnent pile avec une probabilité de 0,4 à chaque lancer. Quelle est la probabilité d’obtenir exactement un pile ?

7. Quelle est la fonction d’un intervalle de fluctuation pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale ?

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3. Pour une variable $X$ suivant une loi binomiale et un seuil $1-\alpha=0,95$ , un intervalle $[a;b]$ contient les valeurs de $X$ avec une probabilité de 0,93. Peut-il être qualifié d’intervalle de fluctuation à ce seuil ?

4. Pour construire un intervalle de fluctuation centré au seuil $1-\alpha$ d’une variable binomiale, quels critères doivent satisfaire ses bornes entières $a$ et $b$ ?

5. Que signifie la propriété d’absence de mémoire pour une variable aléatoire géométrique $X$ de paramètre $p$ ?