Fiche de révision : Lois de conservation en MMC

📋 Plan du Cours

1. Représentations et déformation du milieu
2. Dérivées particulaires
3. Conservation de la masse
4. Quantité de mouvement et efforts
5. Tenseur des contraintes
6. Formes locales et lois de comportement

📖 1. Représentations et déformation du milieu

★ À maîtriser

📌 La représentation lagrangienne suit chaque particule identifiée par sa position de référence, tandis que la représentation eulérienne décrit les grandeurs comme des champs dépendant de la position et du temps.

Compléments

• La déformation d’un milieu continu au voisinage d’un point s’exprime par la comparaison des produits scalaires des éléments différentiels dans les configurations actuelle et de référence, ce qui nécessite de connaître la configuration de référence.

💡 Astuce mémo

Lagrange suit la particule, Euler observe le champ

📖 2. Dérivées particulaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée particulaire : Décrit la variation temporelle d’une grandeur mécanique suivie avec une particule ou un système matériel.

📝 Points essentiels

📐 Formule — En représentation eulérienne, la dérivée particulaire d’un scalaire vérifie $\frac{dq}{dt}=\frac{\partial q}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\operatorname{grad}q$.

📐 Formule — Pour une grandeur intégrée sur un volume matériel, la dérivée particulaire vérifie $\frac{dG}{dt}=\int_{\Omega}\left(\frac{dq}{dt}+q\,\operatorname{div}\mathbf{v}\right)d\Omega$.

💡 Astuce mémo

Mouvement du domaine → variation locale et advection

📖 3. Conservation de la masse

🔑 Notions clés & Définitions

• Conservation de la masse : Impose que la masse d’un système matériel reste constante au cours de son mouvement.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La masse d’un système matériel est définie par $M(t)=\int_{\Omega}\rho(\mathbf{x},t)d\Omega$ et sa conservation s’écrit $\frac{dM}{dt}=0$.

📐 Formule — La forme locale de l’équation de conservation de la masse est $\frac{d\rho}{dt}+\rho\,\operatorname{div}\mathbf{v}=0$, soit $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\mathbf{v})=0$.

💡 Astuce mémo

Masse conservée → densité et divergence de vitesse se compensent

📖 4. Quantité de mouvement et efforts

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’un domaine matériel est le vecteur $\mathbf{P}=\int_{\Omega}\rho\mathbf{v}\,d\Omega$.
• Moment cinétique : Le moment de quantité de mouvement au point A est le vecteur $\boldsymbol{\sigma}_A=\int_{\Omega}\overrightarrow{AM}\wedge\rho\mathbf{v}\,d\Omega$.

📝 Points essentiels

📌 Les efforts à distance sont représentés par une densité massique de force $\mathbf{f}(\mathbf{x},t)$ appliquée dans le volume, tandis que les efforts de contact sont représentés par une densité surfacique $\mathbf{T}(\mathbf{x},t,\mathbf{n})$ appliquée sur la frontière.

📐 Formule — La forme globale de l’équation de conservation de la quantité de mouvement est $\int_{\Omega}\rho\frac{d\mathbf{v}}{dt}d\Omega=\int_{\Omega}\rho\mathbf{f}\,d\Omega+\int_{\Sigma}\mathbf{T}\,d\Sigma$.

💡 Astuce mémo

Efforts à distance dans le volume, efforts de contact sur la surface

📖 5. Tenseur des contraintes

🔑 Notions clés & Définitions

• Tenseur des contraintes : Tenseur du second ordre qui relie linéairement le vecteur contrainte à la normale extérieure.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le théorème de Cauchy s’écrit $\mathbf{T}(M,t,\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}(M,t)\cdot\mathbf{n}$.

📐 Formule — Le tenseur des contraintes est symétrique, ce qui s’écrit $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$ et lui laisse six composantes indépendantes.

Compléments

📌 Le principe de l’action-réaction impose $\mathbf{T}(M,t,\mathbf{n})=-\mathbf{T}(M,t,-\mathbf{n})$ pour deux normales unitaires opposées.

💡 Astuce mémo

Normale opposée → contrainte opposée ; symétrie → six composantes

📖 6. Formes locales et lois de comportement

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme locale de l’équation de conservation de la quantité de mouvement est $\rho\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\rho\mathbf{f}+\operatorname{div}\boldsymbol{\sigma}$ en tout point et à tout instant.

• La résolution d’un problème de mécanique des milieux continus nécessite une géométrie, des conditions aux limites et des lois de comportement reliant le tenseur des déformations au tenseur des contraintes.

Compléments

• La forme locale de l’équation de quantité de mouvement s’obtient en remplaçant l’intégrale de surface par une intégrale volumique grâce au théorème de Cauchy puis au théorème d’Ostrogradski.

• Le cours se limite aux solides élastiques décrits par la loi de Hooke et aux fluides newtoniens décrits par la loi de Newton.

💡 Astuce mémo

Cauchy → Ostrogradski → équation locale

📊 Tableaux de synthèse

Représentations du mouvement