QCM : Lois de conservation en MMC (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un écoulement compressible, quelle équation locale exprime la conservation de la masse sous forme eulérienne ?

∂ρ∂t+div⁡v=ρ\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}\mathbf{v}=\rho
∂ρ∂t+ρ grad⁡v=0\frac{\partial\rho}{\partial t}+\rho\,\operatorname{grad}\mathbf{v}=0
∂ρ∂t+div⁡(ρv)=0\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\mathbf{v})=0
dρdt+div⁡v=0\frac{d\rho}{dt}+\operatorname{div}\mathbf{v}=0

$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\mathbf{v})=0$$

Explication

La forme locale conservative de la conservation de la masse est ∂ρ∂t+div⁡(ρv)=0\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\mathbf{v})=0. La forme dρdt+ρ div⁡v=0\frac{d\rho}{dt}+\rho\,\operatorname{div}\mathbf{v}=0 lui est équivalente, tandis que les autres expressions omettent ou modifient des facteurs nécessaires.

2. Dans l’équation globale de conservation de la quantité de mouvement, quelles contributions représentent les actions mécaniques exercées sur le domaine ?

Les forces volumiques et les forces surfaciques exercées sur sa frontière.
Les masses volumiques et les normales extérieures à la frontière.
Les accélérations locales et les vitesses matérielles du domaine.
Les déformations internes et les contraintes normales du domaine.

Les forces volumiques et les forces surfaciques exercées sur sa frontière.

Explication

Le membre des actions mécaniques comprend l’intégrale volumique des forces à distance et l’intégrale surfacique des efforts de contact. Les accélérations figurent au membre inertiel et ne constituent pas des contributions extérieures.

3. Pourquoi la configuration de référence est-elle indispensable pour caractériser la déformation locale d’un milieu continu ?

Elle fournit la masse volumique actuelle nécessaire au calcul de chaque trajectoire matérielle
Elle permet de comparer les produits scalaires des éléments différentiels avant et après la déformation
Elle remplace les champs spatiaux par des coordonnées indépendantes du temps
Elle impose la vitesse du milieu à partir de la position instantanée de chaque particule

Elle permet de comparer les produits scalaires des éléments différentiels avant et après la déformation

Explication

La déformation locale s’obtient en comparant les produits scalaires d’éléments différentiels dans les configurations actuelle et de référence. La masse volumique actuelle ou la vitesse ne suffit pas à établir cette comparaison géométrique.

4. Pourquoi les équations de conservation ne suffisent-elles pas, à elles seules, à résoudre un problème de mécanique des milieux continus ?

Il faut connaître la masse totale sans préciser la géométrie ni les frontières.
Il faut remplacer les champs mécaniques par des valeurs constantes dans le domaine.
Il faut aussi une géométrie, des conditions aux limites et des lois de comportement.
Il faut imposer la symétrie du tenseur des déformations avant toute équation.

Il faut aussi une géométrie, des conditions aux limites et des lois de comportement.

Explication

La géométrie, les conditions aux limites et les lois de comportement complètent les équations de conservation et ferment le problème. La seule connaissance de la masse totale ne fournit ni les contraintes, ni les déformations, ni les interactions avec les frontières.

5. Pour une grandeur intégrée GG associée à une densité qq dans un volume matériel Ω\Omega, quelle relation donne sa dérivée particulaire ?

dGdt=∫Ω∂q∂t dΩ\frac{dG}{dt}=\int_{\Omega}\frac{\partial q}{\partial t}\,d\Omega
dGdt=∫Ωq grad⁡v dΩ\frac{dG}{dt}=\int_{\Omega}q\,\operatorname{grad}\mathbf{v}\,d\Omega
dGdt=∫Ω(dqdt−q div⁡v)dΩ\frac{dG}{dt}=\int_{\Omega}\left(\frac{dq}{dt}-q\,\operatorname{div}\mathbf{v}\right)d\Omega
dGdt=∫Ω(dqdt+q div⁡v)dΩ\frac{dG}{dt}=\int_{\Omega}\left(\frac{dq}{dt}+q\,\operatorname{div}\mathbf{v}\right)d\Omega

$$\frac{dG}{dt}=\int_{\Omega}\left(\frac{dq}{dt}+q\,\operatorname{div}\mathbf{v}\right)d\Omega$$

Explication

La dérivée particulaire d’une grandeur intégrée comprend la variation particulaire de sa densité et la contribution de la dilatation du volume, soit dqdt+q div⁡v\frac{dq}{dt}+q\,\operatorname{div}\mathbf{v}. Une dérivée partielle seule néglige le mouvement et la variation du volume matériel.

6. Comment le moment de quantité de mouvement au point AA se distingue-t-il de la quantité de mouvement ?

Il devient scalaire lorsque le point AA est fixé, contrairement à la quantité de mouvement.
Il dépend du point AA choisi, contrairement à la quantité de mouvement.
Il s’applique à la frontière, contrairement à la quantité de mouvement.
Il dépend de la masse totale, contrairement à la quantité de mouvement.

Il dépend du point $$A$$ choisi, contrairement à la quantité de mouvement.

Explication

Le moment de quantité de mouvement est construit avec le bras de levier AM→\overrightarrow{AM} et dépend donc du point de référence. La quantité de mouvement s’obtient par intégration de ρv\rho\mathbf{v} sans introduire de point particulier.

7. Que prévoit le principe de l’action-réaction pour les vecteurs contraintes associés à deux normales opposées ?

Ils ont des normes différentes, car chaque face reçoit une action distincte.
Ils sont perpendiculaires, car les normales ont des orientations différentes.
Ils sont identiques, car les deux surfaces appartiennent au même point matériel.
Ils sont opposés, selon T(M,t,n)=−T(M,t,−n)\mathbf{T}(M,t,\mathbf{n})=-\mathbf{T}(M,t,-\mathbf{n}).

Ils sont opposés, selon $$\mathbf{T}(M,t,\mathbf{n})=-\mathbf{T}(M,t,-\mathbf{n})$$.

Explication

L’action-réaction impose que l’inversion de la normale inverse le vecteur contrainte, ce qui donne la relation indiquée. Des normales opposées ne conduisent donc pas à des vecteurs contraintes identiques.

8. Dans un écoulement décrit en représentation eulérienne, quelle expression convient à la dérivée particulaire d’un scalaire qq ?

dqdt=∂q∂t+v⋅grad⁡q\frac{dq}{dt}=\frac{\partial q}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\operatorname{grad}q
dqdt=∂q∂t+div⁡(qv)\frac{dq}{dt}=\frac{\partial q}{\partial t}+\operatorname{div}(q\mathbf{v})
dqdt=v⋅grad⁡q\frac{dq}{dt}=\mathbf{v}\cdot\operatorname{grad}q
dqdt=∂q∂t−v⋅grad⁡q\frac{dq}{dt}=\frac{\partial q}{\partial t}-\mathbf{v}\cdot\operatorname{grad}q

$$\frac{dq}{dt}=\frac{\partial q}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\operatorname{grad}q$$

Explication

La dérivée particulaire combine la variation locale et le terme d’advection, selon dqdt=∂q∂t+v⋅grad⁡q\frac{dq}{dt}=\frac{\partial q}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\operatorname{grad}q. Le terme d’advection ne peut donc pas être omis lorsqu’une particule traverse un champ spatialement variable.

9. Un système matériel se déplace et sa masse volumique change dans certaines régions : que signifie néanmoins la conservation de la masse ?

Le volume matériel reste constant malgré toute déformation du milieu
La masse volumique conserve la même valeur en chaque point du système
La masse totale varie avec la vitesse locale du système matériel
La masse totale du système reste constante pendant son mouvement

La masse totale du système reste constante pendant son mouvement

Explication

La conservation de la masse impose que la masse totale d’un système matériel demeure constante au cours de son mouvement. La masse volumique peut toutefois varier localement, notamment lorsque le volume ou la répartition de la matière évolue.

10. Quelle formulation traduit directement la conservation de la masse d’un système matériel dont la densité est ρ(x,t)\rho(\mathbf{x},t) ?

M(t)=∫Ωρ(x,t)dΩM(t)=\int_{\Omega}\rho(\mathbf{x},t)d\Omega et dMdt=0\frac{dM}{dt}=0
M(t)=∫Ωρ(x,t)dΩM(t)=\int_{\Omega}\rho(\mathbf{x},t)d\Omega et dMdt=div⁡v\frac{dM}{dt}=\operatorname{div}\mathbf{v}
M(t)=∫Ωρ(x,t)dΩM(t)=\int_{\Omega}\rho(\mathbf{x},t)d\Omega et ∂M∂t=ρ\frac{\partial M}{\partial t}=\rho
M(t)=∫Ωρ(x,t)dΩM(t)=\int_{\Omega}\rho(\mathbf{x},t)d\Omega et M(t)=ρ div⁡vM(t)=\rho\,\operatorname{div}\mathbf{v}

$$M(t)=\int_{\Omega}\rho(\mathbf{x},t)d\Omega$$ et $$\frac{dM}{dt}=0$$

Explication

La masse est l’intégrale de la masse volumique sur le volume matériel, puis sa conservation impose une dérivée temporelle nulle. La densité locale et la divergence de la vitesse peuvent évoluer sans constituer elles-mêmes la condition globale de conservation.

11. Si la normale extérieure d’une surface change en un point matériel, quelle grandeur est directement modifiée par le théorème de Cauchy ?

Le vecteur contrainte associé à cette normale.
La position du point matériel considéré.
Le tenseur des contraintes au point matériel.
La masse volumique du domaine étudié.

Le vecteur contrainte associé à cette normale.

Explication

Le théorème de Cauchy donne T=σ⋅n\mathbf{T}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n} : le vecteur contrainte varie avec la normale. Le tenseur décrit l’état de contrainte au point et ne change pas du seul fait que l’orientation de la surface considérée change.

12. Quelle propriété distingue la quantité de mouvement de la masse d’un domaine matériel ?

La quantité de mouvement est un scalaire, tandis que la masse est un vecteur.
La quantité de mouvement est une grandeur locale, tandis que la masse est toujours globale.
La quantité de mouvement est une grandeur surfacique, tandis que la masse est volumique.
La quantité de mouvement est un vecteur, tandis que la masse est un scalaire.

La quantité de mouvement est un vecteur, tandis que la masse est un scalaire.

Explication

La quantité de mouvement possède une direction et un sens, car elle est vectorielle, alors que la masse ne possède qu’une valeur. La confusion vient d’une possible assimilation entre ces deux grandeurs, malgré leurs natures mathématiques différentes.

13. Une grandeur mécanique varie parce qu’une particule se déplace dans un champ non uniforme, même si le champ reste stationnaire : quelle dérivée décrit cette variation suivie par la particule ?

La dérivée spatiale, qui mesure la variation entre deux points voisins
La dérivée de référence, qui compare deux configurations sans mouvement
La dérivée partielle locale, évaluée à position fixe dans le champ
La dérivée particulaire, qui tient compte de l’évolution vécue par la particule

La dérivée particulaire, qui tient compte de l’évolution vécue par la particule

Explication

La dérivée particulaire décrit la variation temporelle d’une grandeur en suivant une particule ou un système matériel. La dérivée partielle à position fixe ne prend pas en compte la variation due au déplacement dans le champ.

14. Quelle conséquence mécanique est associée à la symétrie du tenseur des contraintes en trois dimensions ?

Il possède six composantes indépendantes.
Il possède douze composantes indépendantes.
Il possède trois composantes indépendantes.
Il possède neuf composantes indépendantes.

Il possède six composantes indépendantes.

Explication

La relation σij=σji\sigma_{ij}=\sigma_{ji} identifie les composantes situées de part et d’autre de la diagonale, ce qui laisse six valeurs indépendantes. Un tenseur du second ordre général comporterait neuf composantes indépendantes avant cette symétrie.

15. Quelles lois de comportement sont retenues pour les deux grandes familles de milieux étudiées ?

La loi de Newton pour les solides élastiques et la loi de Hooke pour les fluides newtoniens.
La loi de Hooke pour les solides élastiques et la loi de Newton pour les fluides newtoniens.
La loi de Fourier pour les solides élastiques et la loi de Bernoulli pour les fluides newtoniens.
La loi de Coulomb pour les solides élastiques et la loi des gaz parfaits pour les fluides newtoniens.

La loi de Hooke pour les solides élastiques et la loi de Newton pour les fluides newtoniens.

Explication

Les solides élastiques sont décrits par la loi de Hooke, tandis que les fluides newtoniens sont décrits par la loi de Newton. Les autres associations mélangent des lois relevant d’autres phénomènes ou ne correspondant pas aux comportements indiqués.

16. Un capteur fixé dans l’espace mesure la température en fonction du temps sans suivre une particule particulière : quelle représentation utilise-t-il ?

La représentation de référence, qui décrit les grandeurs sans dépendance temporelle
La représentation eulérienne, qui décrit un champ selon la position et le temps
La représentation matérielle, qui suit la trajectoire d’un seul point du milieu
La représentation lagrangienne, qui identifie chaque particule par sa position initiale

La représentation eulérienne, qui décrit un champ selon la position et le temps

Explication

La représentation eulérienne décrit les grandeurs comme des champs dépendant de la position et du temps, ce qui correspond à une mesure effectuée en un point fixe. La représentation lagrangienne suivrait une particule identifiée dans sa configuration de référence.

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Quelle représentation suit chaque particule par sa position de référence ?

La représentation lagrangienne.

Comment la représentation eulérienne décrit-elle les grandeurs ?

Comme des champs dépendant de la position et du temps.

Que décrit la dérivée particulaire en mécanique ?

La variation temporelle d’une grandeur mécanique suivie avec une particule.

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