Flashcards : Lois de conservation en MMC (25 cartes)

La représentation lagrangienne.

Comme des champs dépendant de la position et du temps.

La variation temporelle d’une grandeur mécanique suivie avec une particule.

$\frac{dq}{dt}=\frac{\partial q}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot\operatorname{grad}q$

$\frac{dG}{dt}=\int_{\Omega}\left(\frac{dq}{dt}+q\,\operatorname{div}\mathbf{v}\right)d\Omega$

Elle reste constante au cours de son mouvement.

$M(t)=\int_{\Omega}\rho(\mathbf{x},t)d\Omega$

$\frac{dM}{dt}=0$

$\frac{d\rho}{dt}+\rho\,\operatorname{div}\mathbf{v}=0$

$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\mathbf{v})=0$

C'est le vecteur $\mathbf{P}=\int_{\Omega}\rho\mathbf{v}\,d\Omega$.

Les efforts à distance sont une densité massique de force dans le volume, les efforts de contact une densité surfacique sur la frontière.

$\int_{\Omega}\rho\frac{d\mathbf{v}}{dt}d\Omega=\int_{\Omega}\rho\mathbf{f}\,d\Omega+\int_{\Sigma}\mathbf{T}\,d\Sigma$.

Un tenseur du second ordre reliant linéairement le vecteur contrainte à la normale extérieure.

$\mathbf{T}(M,t,\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}(M,t)\cdot\mathbf{n}$

$\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$

Six composantes indépendantes.

$\rho\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\rho\mathbf{f}+\operatorname{div}\boldsymbol{\sigma}$

Une géométrie, des conditions aux limites et des lois de comportement liant déformations et contraintes.

Par la comparaison des produits scalaires des éléments différentiels dans les configurations actuelle et de référence.

Connaître la configuration de référence.

C'est le vecteur $\boldsymbol{\sigma}_A=\int_{\Omega}\overrightarrow{AM}\wedge\rho\mathbf{v}\,d\Omega$.

$\mathbf{T}(M,t,\mathbf{n})=-\mathbf{T}(M,t,-\mathbf{n})$

En remplaçant l’intégrale de surface par une intégrale volumique via les théorèmes de Cauchy et d’Ostrogradski.

Aux solides élastiques avec la loi de Hooke et aux fluides newtoniens avec la loi de Newton.