QCM : Principe des tests statistiques (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant la problématique du test statistique, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La décision statistique repose sur le comportement théorique après exclusion des données observées.
Un test statistique mesure l’écart entre deux échantillons sans modèle théorique préalable.
Un test statistique établit directement la cause certaine de toute différence observée.
L’écart observé est interprété en tenant compte des fluctuations d’échantillonnage.
Un test statistique confronte un comportement théorique attendu à un comportement observé.

L’écart observé est interprété en tenant compte des fluctuations d’échantillonnage. · Un test statistique confronte un comportement théorique attendu à un comportement observé.

Explication

Un test statistique compare bien un comportement attendu à un comportement effectivement observé. Il cherche à déterminer si l’écart peut s’expliquer par les fluctuations d’échantillonnage, sans établir une cause certaine ni ignorer les données.

2. Parmi les propositions suivantes concernant les risques liés au test d’une pièce, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Les deux erreurs conduisent principalement à une perte identique pour le joueur.
Déclarer à tort la pièce équilibrée peut conduire le joueur à poursuivre une stratégie déficitaire.
Déclarer à tort la pièce déséquilibrée peut réduire les mises proposées par l’adversaire.
Déclarer à tort la pièce équilibrée peut entraîner une perte d’argent.
Déclarer à tort la pièce déséquilibrée peut faire perdre la confiance de l’adversaire.

Déclarer à tort la pièce équilibrée peut entraîner une perte d’argent. · Déclarer à tort la pièce déséquilibrée peut faire perdre la confiance de l’adversaire.

Explication

Les erreurs de décision n’ont pas les mêmes conséquences. Déclarer à tort la pièce équilibrée peut entraîner une perte d’argent, notamment en poursuivant une stratégie déficitaire. Déclarer à tort la pièce déséquilibrée peut faire perdre la confiance de l’adversaire, tandis qu’une réduction de ses mises n’est pas la conséquence décrite ici.

3. À propos de la variable aléatoire associée à un lancer, quelles sont les propositions exacte(s) ?

La variable XX représente directement la fréquence de Pile sur plusieurs lancers.
La variable XX prend la valeur 0 lorsque le résultat est Face.
La variable XX suit une loi de Bernoulli de paramètre π\pi.
La variable XX prend la valeur 1 lorsque le résultat est Pile.
La variable XX prend une valeur différente selon la proportion cumulée de Faces.

La variable $$X$$ prend la valeur 0 lorsque le résultat est Face. · La variable $$X$$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $$\pi$$. · La variable $$X$$ prend la valeur 1 lorsque le résultat est Pile.

Explication

La variable XX code Pile par 1 et Face par 0. Elle suit une loi de Bernoulli de paramètre π\pi ; elle ne représente pas une fréquence calculée sur plusieurs lancers.

4. Lorsque le nombre de lancers devient grand, concernant la moyenne observée, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La centrée réduite utilise au dénominateur σ2n\sqrt{\sigma^2 n}.
La normalité de X‾\overline X est formulée pour un nombre fixe de lancers très faible.
La moyenne arithmétique est approximativement distribuée selon N(μ,σ2n)\mathcal N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).
La moyenne arithmétique suit une loi normale de variance σ2n\sigma^2 n.
La variable Z=X‾−μσ2/nZ=\frac{\overline X-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}} suit approximativement N(0,1)\mathcal N(0,1).

La moyenne arithmétique est approximativement distribuée selon $$\mathcal N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$$. · La variable $$Z=\frac{\overline X-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}$$ suit approximativement $$\mathcal N(0,1)$$.

Explication

Lorsque nn tend vers l’infini, X‾\overline X suit approximativement une loi normale de moyenne μ\mu et de variance σ2n\frac{\sigma^2}{n}. Sa version centrée réduite utilise σ2/n\sqrt{\sigma^2/n} au dénominateur et suit approximativement N(0,1)\mathcal N(0,1).

5. Concernant les hypothèses relatives à l’équilibre d’une pièce, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

L’hypothèse alternative correspond à une égalité entre π\pi et 0,50,5.
Sous H1H_1, la probabilité de Pile est différente de 0,50,5.
Sous H0H_0, la pièce est décrite comme déséquilibrée.
Sous H0H_0, la probabilité de Pile vaut π0=0,5\pi_0=0,5.
Sous H1H_1, la probabilité de Face est fixée à 0,50,5.

Sous $$H_1$$, la probabilité de Pile est différente de $$0,5$$. · Sous $$H_0$$, la probabilité de Pile vaut $$\pi_0=0,5$$.

Explication

L’hypothèse nulle décrit une pièce équilibrée, avec π=π0=0,5\pi=\pi_0=0,5. Sous H1H_1, la probabilité de Pile est différente de 0,50,5, ce qui caractérise une pièce déséquilibrée. La probabilité de Face n’est donc pas fixée à 0,50,5 sous cette hypothèse.

6. Parmi les propositions suivantes concernant π\pi, FF et ff, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

FF est un estimateur aléatoire calculé à partir des données.
π\pi désigne la vraie valeur théorique, qui demeure inobservable.
ff représente la probabilité vraie avant toute expérience.
ff est la valeur numérique obtenue pour l’estimateur après l’expérience.
FF est la valeur numérique observée après la réalisation de l’expérience.

$$F$$ est un estimateur aléatoire calculé à partir des données. · $$\pi$$ désigne la vraie valeur théorique, qui demeure inobservable. · $$f$$ est la valeur numérique obtenue pour l’estimateur après l’expérience.

Explication

π\pi est la vraie valeur théorique inobservable. Avant l’expérience, FF est une variable aléatoire estimateur ; après l’expérience, sa réalisation numérique est notée ff.

7. Concernant la statistique de test :

L’écart-type et l’erreur-type désignent la même mesure de variabilité.
La statistique de test suit sous H0H_0 une loi normale de moyenne 11 et d’écart-type nul.
Sous H0H_0, la statistique de test suit approximativement une loi normale centrée réduite.
La statistique de test compare une fréquence observée à une fréquence théorique.
L’erreur-type décrit la variabilité d’une statistique utilisée dans le calcul.

Sous $$H_0$$, la statistique de test suit approximativement une loi normale centrée réduite. · La statistique de test compare une fréquence observée à une fréquence théorique. · L’erreur-type décrit la variabilité d’une statistique utilisée dans le calcul.

Explication

Sous H0H_0, la statistique suit approximativement une loi normale centrée réduite et compare FF à π\pi. L’erreur-type concerne la variabilité d’une statistique, tandis que l’écart-type décrit celle d’une loi ; ces deux notions ne sont donc pas identiques.

8. Pour une fréquence observée de 0,350,35, une valeur théorique de 0,50,5 et un effectif de 100100, quelles propositions sont exactes ?

La différence absolue entre les fréquences vaut 0,150,15.
La statistique observée sous H0H_0 vaut 33.
L’écart entre les fréquences est standardisé par une erreur-type de 0,050,05.
Sous H0H_0, la statistique de test suit approximativement une loi normale de moyenne 11 et d’écart-type 11.
La statistique observée représente directement une probabilité de 33 %.

La différence absolue entre les fréquences vaut $$0,15$$. · La statistique observée sous $$H_0$$ vaut $$3$$. · L’écart entre les fréquences est standardisé par une erreur-type de $$0,05$$.

Explication

La différence absolue vaut ∣0,35−0,5∣=0,15|0,35-0,5|=0,15 et l’erreur-type indiquée vaut 0,050,05, donc sH0obs=0,15/0,05=3s_{H0}^{obs}=0,15/0,05=3. Sous H0H_0, cette statistique suit approximativement une loi normale centrée réduite : sa moyenne est donc 00, et non 11. Cette statistique est une distance standardisée, non une probabilité exprimée en pourcentage.

9. À propos du risque alpha, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

Le risque alpha mesure la probabilité de conserver H0H_0 lorsqu’elle est fausse.
Le risque alpha est la probabilité admissible de rejeter H0H_0 vraie.
Le risque alpha est aussi appelé risque de première espèce.
Le risque alpha correspond à la probabilité d’obtenir une statistique extrême sous H0H_0.
Le risque alpha désigne l’absence de décision lorsque H0H_0 est fausse.

Le risque alpha est la probabilité admissible de rejeter $$H_0$$ vraie. · Le risque alpha est aussi appelé risque de première espèce.

Explication

Le risque alpha est la probabilité admissible de rejeter H0H_0 alors qu’elle est vraie, ce qui correspond au risque de première espèce. Ne pas rejeter H0H_0 lorsqu’elle est fausse relève de l’autre erreur, et la probabilité d’une statistique extrême correspond à la p-value selon le seuil considéré.

10. Pour un test bilatéral utilisant un seuil de significativité de 0,050,05 :

Le quantile critique de la loi normale centrée réduite vaut environ 1,961,96.
Le quantile critique bilatéral correspondant vaut environ 1,6451,645.
Le quantile critique bilatéral correspondant vaut environ 2,582,58.
Le seuil de 0,050,05 conduit à un quantile critique proche de 0,50,5.
Le quantile critique est obtenu avec z1−α=1,96z_{1-\alpha}=1,96.

Le quantile critique de la loi normale centrée réduite vaut environ $$1,96$$.

Explication

Pour un test bilatéral au seuil α=0,05\alpha=0,05, le quantile utilisé est z1−α/2=z0,975≈1,96z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}\approx1,96. Les valeurs 2,582,58 et 1,6451,645 correspondent à d’autres configurations, et z1−αz_{1-\alpha} n’est pas le quantile bilatéral approprié.

11. Dans l’exemple de la pièce, la statistique observée vaut 33 et le seuil critique vaut 1,961,96. Quelle(s) proposition(s) est(sont) exacte(s) ?

La décision statistique est impossible puisque la statistique observée vaut exactement 33.
Au risque de 5 %5\,\%, le quantile bilatéral de la loi normale vaut 1,6451,645.
La comparaison 3≥1,963\geq1,96 conduit au rejet de H0H_0 au risque de 5 %5\,\%.
La décision de rejet exige une statistique observée inférieure à 1,961,96.
Le rejet de H0H_0 est prononcé au risque de première espèce égal à 50 %50\,\%.

La comparaison $$3\geq1,96$$ conduit au rejet de $$H_0$$ au risque de $$5\,\%$$.

Explication

Comme 3≥1,963\geq1,96, la statistique dépasse le seuil critique et conduit au rejet de H0H_0 au risque alpha de 5 %5\,\%. Pour un test bilatéral à ce seuil, le quantile de la loi normale centrée réduite vaut environ 1,961,96, et non 1,6451,645. Le rejet de H0H_0 alors qu’elle est vraie correspond au risque de première espèce, égal ici à 5 %5\,\%.

12. Concernant la p-value :

Elle représente la probabilité que H0H_0 soit vraie.
Elle est calculée sous l’hypothèse H0H_0.
Elle concerne une statistique au moins aussi extrême que celle observée.
Elle mesure directement la probabilité que l’hypothèse alternative soit vraie.
Elle est définie sans référence à la statistique observée.

Elle est calculée sous l’hypothèse $$H_0$$. · Elle concerne une statistique au moins aussi extrême que celle observée.

Explication

La p-value est une probabilité conditionnelle sous H0H_0 portant sur l’obtention d’une statistique au moins aussi extrême que celle observée. Elle ne donne pas la probabilité que H0H_0 ou l’hypothèse alternative soit vraie, et dépend de la statistique observée.

13. Une étude fournit une p-value égale à 0,030,03 pour un seuil α=0,05\alpha=0,05. Parmi les propositions suivantes, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

La p-value est la probabilité, sous H1H_1, d’obtenir une statistique de test au moins aussi extrême que celle observée.
La p-value étant inférieure à α\alpha, on rejette H0H_0.
La p-value étant inférieure à α\alpha, on démontre que H0H_0 est vraie.
La p-value étant égale à 0,030,03, elle prouve que l’hypothèse alternative est vraie.
La p-value étant inférieure à α\alpha, on ne peut pas prendre de décision.

La p-value étant inférieure à $$\alpha$$, on rejette $$H_0$$.

Explication

Puisque 0,03<0,050,03<0,05, on rejette H0H_0 et le résultat est statistiquement significatif. La p-value est la probabilité, sous H0H_0, d’obtenir une statistique de test au moins aussi extrême que celle observée ; elle ne se définit pas sous H1H_1. Ce résultat ne prouve ni que H0H_0 est vraie ni que l’hypothèse alternative est vraie.

14. Concernant la démarche générale d’un test d’hypothèse, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La p-value est comparée à la statistique observée plutôt qu’à α.
La démarche commence par la formulation de deux hypothèses, H0 et H1.
Le type de variables intervient dans la sélection du test statistique.
La valeur de α est fixée après le calcul de la statistique de test.
La statistique de test est calculée avant la comparaison de la p-value à α.

La démarche commence par la formulation de deux hypothèses, H0 et H1. · Le type de variables intervient dans la sélection du test statistique. · La statistique de test est calculée avant la comparaison de la p-value à α.

Explication

La démarche comprend l’identification de H0 et H1, la fixation de α, l’identification des variables, le choix du test, le calcul de la statistique et la comparaison de la p-value à α. La valeur de α est fixée avant le calcul, et la p-value est comparée à α.

15. Parmi les propositions suivantes concernant une différence statistiquement significative, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Elle ne fournit pas à elle seule une preuve concernant toutes les séries possibles.
Elle intervient avant la comparaison de la p-value au seuil α.
Elle correspond à une conclusion issue de l’analyse statistique d’un échantillon.
Elle établit directement une conclusion valable pour toute population étudiée.
Elle constitue une information obtenue sur un échantillon après réalisation d’un test.

Elle ne fournit pas à elle seule une preuve concernant toutes les séries possibles. · Elle correspond à une conclusion issue de l’analyse statistique d’un échantillon. · Elle constitue une information obtenue sur un échantillon après réalisation d’un test.

Explication

Une différence statistiquement significative est une information obtenue sur un échantillon après un test. Elle ne constitue pas à elle seule une preuve portant sur toutes les séries possibles et correspond à une conclusion issue de l’analyse statistique. Elle intervient après la comparaison de la p-value au seuil α, et non avant.

16. Concernant le test du Chi-deux :

Le test compare les effectifs observés aux effectifs attendus sous H0.
Le test repose sur une fréquence standardisée issue d’une variable quantitative.
Les effectifs attendus sont déterminés dans le cadre de l’hypothèse nulle.
Il s’utilise notamment avec les effectifs d’une table de contingence.
Le test du Chi-deux se distingue du test normal appliqué à une fréquence standardisée.

Le test compare les effectifs observés aux effectifs attendus sous H0. · Les effectifs attendus sont déterminés dans le cadre de l’hypothèse nulle. · Il s’utilise notamment avec les effectifs d’une table de contingence. · Le test du Chi-deux se distingue du test normal appliqué à une fréquence standardisée.

Explication

Le Chi-deux compare les effectifs observés et attendus sous H0 dans une table de contingence. Il utilise des effectifs de table, contrairement au test normal de la pièce, qui utilise une fréquence standardisée.

17. La statistique du test du Chi-deux est définie par :

Elle additionne les écarts quadratiques entre effectifs observés et attendus, pondérés par les effectifs attendus.
Elle associe Oij aux effectifs attendus et Eij aux effectifs observés.
Elle note généralement Oij l’effectif observé dans la cellule i,j.
Elle utilise les effectifs attendus au numérateur de chaque terme.
Elle suit une loi du Chi-deux dont les degrés de liberté valent (I−1)(J−1)(I-1)(J-1).

Elle additionne les écarts quadratiques entre effectifs observés et attendus, pondérés par les effectifs attendus. · Elle note généralement Oij l’effectif observé dans la cellule i,j. · Elle suit une loi du Chi-deux dont les degrés de liberté valent $$(I-1)(J-1)$$.

Explication

La statistique est S=∑i=1I∑j=1J(Oij−Eij)2EijS=\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}} : Oij désigne l’effectif observé et Eij l’effectif attendu. Elle suit une loi du Chi-deux à (I−1)(J−1)(I-1)(J-1) degrés de liberté, tandis que les effectifs attendus figurent au dénominateur.

18. Un test du Chi-deux est envisagé pour une table de contingence. Quelles sont les réponses exactes au sujet de sa condition d’application ?

Les effectifs attendus sont les effectifs concernés par le seuil d’application.
Un effectif attendu inférieur à cinq ne respecte pas la règle donnée.
La condition d’application dépend directement de la valeur de la statistique calculée.
Chaque effectif attendu doit vérifier la condition Eij≥5E_{ij}\geq 5.
La condition porte sur les effectifs observés de chaque cellule.

Les effectifs attendus sont les effectifs concernés par le seuil d’application. · Un effectif attendu inférieur à cinq ne respecte pas la règle donnée. · Chaque effectif attendu doit vérifier la condition $$E_{ij}\geq 5$$.

Explication

Le test du Chi-deux s’applique lorsque chaque effectif attendu vérifie Eij≥5E_{ij}\geq 5. La règle concerne les effectifs attendus, non les effectifs observés ni la valeur finale de la statistique.

19. Pour la comparaison des fumeurs hommes et femmes, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La comparaison conduit à rejeter H0.
La valeur seuil est d’environ 3,84 pour un degré de liberté et α=0,05.
Le seuil à un degré de liberté et α=0,05 vaut environ 3,74.
La statistique observée vaut 3,74.
Le seuil du Chi-deux est inférieur à la statistique observée.

La valeur seuil est d’environ 3,84 pour un degré de liberté et α=0,05. · La statistique observée vaut 3,74.

Explication

Dans cet exemple, la statistique observée vaut 3,74 et le seuil vaut environ 3,84 pour un degré de liberté et α=0,05. Comme 3,74 est inférieur à 3,84, H0 n’est pas rejetée.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 40 flashcards sur Principe des tests statistiques.

Que compare un test statistique pour décider de l'écart observé ?

Un comportement théorique attendu et un comportement effectivement observé.

Quel est le but d'un test statistique face à un écart observé ?

Décider si l'écart peut être attribué aux fluctuations d’échantillonnage.

Quelles valeurs prend une variable de Bernoulli selon le résultat du lancer ?

Elle vaut 1 pour Pile et 0 pour Face.

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