Fiche de révision : Principe des tests statistiques

📋 Plan du Cours

1. Problématique du test statistique
2. Modélisation du lancer
3. Hypothèses et estimateurs
4. Statistique de test
5. Risque alpha et décision
6. Interprétation et p-value
7. Démarche générale du test
8. Test du Chi-deux

📖 1. Problématique du test statistique

★ À maîtriser

📌 Un test statistique compare un comportement théorique attendu à un comportement effectivement observé afin de décider si l’écart peut être attribué aux fluctuations d’échantillonnage.

Compléments

• Dans l’exemple de la pièce, les deux risques sont de déclarer à tort la pièce équilibrée et de déclarer à tort la pièce déséquilibrée.

💡 Astuce mémo

Pièce équilibrée attendue contre pièce effectivement observée

📖 2. Modélisation du lancer

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable de Bernoulli : Variable aléatoire X valant 1 lorsque le lancer donne Pile et 0 lorsqu’il donne Face, et suivant une loi de Bernoulli de paramètre π.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un lancer de Bernoulli, $E(X)=\pi$ et $Var(X)=\pi(1-\pi)$.

📐 Formule — Lorsque n tend vers l’infini, la moyenne arithmétique vérifie $\overline X\sim\mathcal N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$ et sa version centrée réduite vérifie $Z=\frac{\overline X-\mu}{\sqrt{\sigma^2/n}}\sim\mathcal N(0{,}1)$.

💡 Astuce mémo

Lancer → variable X → moyenne → loi normale

📖 3. Hypothèses et estimateurs

★ À maîtriser

📌 Sous l’hypothèse nulle H0, la pièce est équilibrée avec π=π0=0,5, tandis que l’hypothèse alternative H1 correspond à une pièce déséquilibrée avec π≠0,5.

📌 π désigne la vraie valeur théorique inobservable, F l’estimateur aléatoire calculé à partir des données, et f la valeur numérique observée de cet estimateur.

Compléments

📐 Formule — La fréquence observée est calculée par $f=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$, soit $f=\frac{35}{100}=0{,}35$ pour 35 Piles sur 100 lancers.

💡 Astuce mémo

π est la valeur vraie, F l’estimateur, f l’estimation

📖 4. Statistique de test

📝 Points essentiels

📐 Formule — La statistique de test est $S=\frac{|F-\pi|}{\sqrt{\pi(1-\pi)/n}}=\frac{|F-E(F)|}{ET(F)}$ et suit approximativement une loi normale centrée réduite sous H0.

• Pour f=0,35, π0=0,5 et n=100, la statistique observée sous H0 vaut $s_{H0}^{obs}=\frac{|0{,}35-0{,}5|}{0{,}05}=3$.

💡 Astuce mémo

Écart observé plus grand → statistique S plus grande

📖 5. Risque alpha et décision

🔑 Notions clés & Définitions

• Risque alpha : Probabilité admissible de rejeter H0 alors qu’elle est vraie, appelée aussi risque de première espèce ou seuil de significativité.

📝 Points essentiels

• Pour un test bilatéral au seuil α=0,05, le quantile de la loi normale centrée réduite vaut environ z1−α/2=1,96.

📌 Dans l’exemple de la pièce, comme $s_{H0}^{obs}=3\geq1{,}96$, on rejette H0 au risque α=5 %.

💡 Astuce mémo

Centre probable contre extrémités improbables

📖 6. Interprétation et p-value

🔑 Notions clés & Définitions

• p-value : Probabilité, sous H0, d’obtenir une statistique de test au moins aussi extrême que celle observée.

★ À maîtriser

📌 Si la p-value est inférieure à α, on rejette H0 et le résultat est statistiquement significatif ; si elle est supérieure à α, on ne peut pas conclure.

Compléments

• Dans l’exemple de la pièce, la p-value vaut 0,0026, ce qui est inférieur à α=0,05 et conduit au rejet de H0.

💡 Astuce mémo

p < α → résultat incompatible avec H0 → rejet de H0

📖 7. Démarche générale du test

📝 Points essentiels

• 🔄 La réalisation d’un test d’hypothèse suit ces étapes:
  1. Identifier H0 et H1
  2. Fixer le risque α
  3. Identifier le type de variables
  4. Sélectionner le test adéquat
  5. Calculer la statistique de test
  6. Comparer la p-value à α

📌 Une différence statistiquement significative est une information obtenue sur un échantillon après un test, mais elle ne constitue pas à elle seule une preuve portant sur toutes les séries possibles.

💡 Astuce mémo

Hypothèses → α → test → statistique → p-value → conclusion

📖 8. Test du Chi-deux

🔑 Notions clés & Définitions

• Test du Chi-deux : Test comparant les effectifs observés et les effectifs attendus sous H0 dans une table de contingence.

★ À maîtriser

📐 Formule — La statistique du Chi-deux est $S=\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}\sim\chi^2_{(I-1)(J-1)}$.

📌 Le test du Chi-deux s’applique lorsque chaque effectif attendu vérifie Eij≥5.

• Pour une table comportant I modalités pour la première variable et J modalités pour la seconde, le nombre de degrés de liberté vaut (I−1)(J−1).

• Pour la comparaison des fumeurs hommes et femmes, la statistique observée vaut 3,74 et le seuil du Chi-deux à 1 degré de liberté et α=0,05 vaut environ 3,84 ; on ne rejette donc pas H0.

• Pour 100 lancers donnant 35 Piles et 65 Faces, la statistique du Chi-deux vaut 9 contre un seuil de 3,84 à 1 degré de liberté et α=0,05, donc H0 est rejetée.

Compléments

• Dans la comparaison de 2 modalités de traitement et de 4 évolutions du cancer, le test du Chi-deux possède (2−1)(4−1)=3 degrés de liberté.

💡 Astuce mémo

Effectifs observés contre effectifs attendus sous H0

📊 Tableaux de synthèse

Décision d’un test d’hypothèse

Comparaison des lois utilisées