Sa longueur, égale à la distance entre ses extrémités
Explication
La norme d’un vecteur est sa longueur, donc la distance entre son origine et son extrémité. Les autres propositions confondent la norme avec des notions de coordonnées ou d’angle.
Il vaut 0
Explication
Dès qu’un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire vaut 0. On n’utilise donc pas la formule avec le cosinus dans ce cas.
La commutativité
Explication
Cette égalité montre que l’ordre des vecteurs peut être inversé sans changer la valeur du produit scalaire. C’est la commutativité.
\(\vec u^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\vec v^2\)
Explication
Le carré de la somme fait apparaître les deux carrés et un terme croisé doublé. Le signe du terme central est positif dans le cas de \((\vec u+\vec v)^2\).
À \(\|\vec u\|^2\)
Explication
Le produit scalaire d’un vecteur avec lui-même est égal au carré de sa norme. C’est une identité fondamentale du lien entre produit scalaire et norme.
\(\dfrac12\big(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2-\|\vec u-\vec v\|^2\big)\)
Explication
La relation donnée exprime le produit scalaire avec les carrés des normes et la norme de la différence. C’est l’une des identités clés du chapitre.
Lorsque leur produit scalaire est nul
Explication
Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est égal à 0. L’angle nul, au contraire, correspond à des vecteurs de même direction.
À \(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OH}\)
Explication
Quand \(\widehat{AOH}=0\), le produit scalaire avec \(OB\) se lit avec le projeté \(OH\) sans changement de signe. Le signe opposé apparaît seulement lorsque le sens est contraire.
\(xx'+yy'\)
Explication
Dans un repère orthonormé, on multiplie les abscisses entre elles puis les ordonnées entre elles, avant d’additionner. C’est la formule directe du produit scalaire en coordonnées.
On échange les abscisses et les ordonnées
Explication
La bonne formule est \(xx'+yy'\), et non \(xy'+yx'\). Intervertir abscisses et ordonnées conduit donc à un résultat faux.
Isoler le cosinus dans la formule du produit scalaire
Explication
On part de la relation entre produit scalaire, normes et cosinus, puis on isole le cosinus pour obtenir la mesure de l’angle. Les autres propositions ne donnent pas directement l’angle entre deux vecteurs.
La somme des carrés des deux côtés vaut deux fois le carré de la médiane plus la moitié du carré du côté opposé
Explication
Le cours donne l’égalité de la médiane avec un facteur 2 et un terme en côté opposé : MA² + MB² = 2MI² + AB²/2. Les autres propositions ne correspondent pas à cette relation.
a² = b² + c² - 2bc cos Â
Explication
Le théorème d’Al Kashi relie le carré d’un côté aux carrés des deux autres côtés et au cosinus de l’angle compris : a² = b² + c² - 2bc cos Â. Le signe « moins » devant le terme en cosinus est essentiel.
Environ 41°
Explication
Le calcul présenté conduit à cos(BAC) = 3/4, puis à une mesure d’environ 41° au degré près. Les autres valeurs ne correspondent pas à cet exemple.
Mémorisez les réponses avec 14 flashcards sur Maîtrise du produit scalaire en géométrie.
Norme d’un vecteur — définition ?
Longueur du vecteur, distance entre ses extrémités.
Produit scalaire — propriété de commutativité ?
Égalité $oldsymbol u oldsymbol v = oldsymbol v oldsymbol u$.
Produit scalaire — relation avec norme ?
$oldsymbol u oldsymbol u = orme{oldsymbol u}^2$.
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