Fiche de révision : Mathématiques des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Intervalles et fonctions
2. Symétries et transformations fonctionnelles
3. Dérivation et approximation affine
4. Polynômes et factorisation
5. Logarithme népérien
6. Exponentielles et puissances réelles
7. Fonctions puissances réelles
8. Limites et limites unilatérales
9. Calcul des limites et asymptotes
10. Étude globale d’une fonction
11. Fonctions de deux variables
12. Dérivées partielles et gradient
13. Gradient et fonctions implicites
14. Intégrale et propriétés fondamentales
15. Primitives et calcul des intégrales
16. Intégrales généralisées et convergence

📖 1. Intervalles et fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de ℝ : Sous-ensemble I de ℝ tel que, pour tous a et b de I, tout réel x vérifiant a ≤ x ≤ b appartient aussi à I.
• Fonction numérique : Procédé qui associe à tout réel x de E au plus un réel y, noté f(x).
• Ensemble de définition : Ensemble des éléments de son ensemble de départ qui possèdent une image par f.
• Quantificateurs : Le quantificateur ∃ signifie « il existe au moins un », ∃! signifie « il existe un unique » et ∀ signifie « pour tout ».

★ À maîtriser

📌 Un quotient A(x)/B(x) est défini lorsque A et B sont définies et que B(x) ≠ 0 ; √A(x) exige A(x) ≥ 0 ; A(x)/√B(x) exige B(x) > 0 ; ln(A(x)) exige A(x) > 0.

Compléments

• Les notations ℝ⁺ = [0; +∞[, ℝ⁻ = ]−∞; 0], ℝ*⁺ = ]0; +∞[ et ℝ*⁻ = ]−∞; 0[ distinguent les réels positifs ou négatifs, zéro compris ou exclu selon la notation.

📖 2. Symétries et transformations fonctionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f est paire si son domaine est centré en zéro et si, pour tout x de ce domaine, f(−x) = f(x).
• Fonction impaire : Une fonction f est impaire si son domaine est centré en zéro et si, pour tout x de ce domaine, f(−x) = −f(x).
• Fonction croissante : Une fonction f est croissante sur un intervalle I si, pour tous x₀ < x₁ de I, f(x₀) ≤ f(x₁) ; elle est strictement croissante si f(x₀) < f(x₁).
• Composition de fonctions : Si f(Df) est inclus dans Dg, la composée de f suivie de g est g ∘ f, définie par (g ∘ f)(x) = g(f(x)).
• Fonction réciproque : Si chaque élément de l’ensemble d’arrivée Af possède un unique antécédent dans Df, la fonction réciproque f⁻¹ est définie sur Af et associe à y son unique antécédent x.

★ À maîtriser

📌 Si f est dérivable sur I et si f′(x) ≥ 0 sur I, alors f est croissante ; si f′(x) ≤ 0, elle est décroissante ; si f′(x) = 0 partout sur I, elle est constante.

Compléments

• Dans un repère orthogonal, la courbe d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

• Dans un repère orthonormé, la courbe d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine du repère.

• Les courbes représentatives d’une fonction bijective et de sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

💡 Astuce mémo

Paire : symétrie autour de l’axe des ordonnées ; impaire : symétrie autour de l’origine.

📖 3. Dérivation et approximation affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Une fonction f est dérivable en x₀ si le taux d’accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ admet une limite finie lorsque x tend vers x₀ ; cette limite est f′(x₀).

★ À maîtriser

📐 Formule - La tangente à la courbe de f au point d’abscisse x₀ a pour équation $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$

📐 Formule - Pour des fonctions dérivables f et g, les règles usuelles sont $(f+g)'=f'+g',\quad (fg)'=f'g+fg',\quad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},$ avec g non nulle pour le quotient.

📐 Formule - Si f et g sont dérivables et que la composée g ∘ f est définie, alors $(g\circ f)'(x)=f'(x)g'(f(x)).$

📐 Formule - Au voisinage de x₀, une fonction dérivable vérifie l’approximation affine $f(x_0+h)\approx f(x_0)+h f'(x_0),$ dont la précision augmente lorsque h se rapproche de zéro.

Compléments

📐 Formule - Pour f(x)=x², le nombre dérivé en 1 vaut f′(1)=2 et la tangente en (1,1) a pour équation $y=2x-1.$

• Une hausse de 0,4 % pendant trois mois consécutifs correspond à une hausse globale d’environ 1,2 %, car les pourcentages ne s’additionnent pas exactement.

📖 4. Polynômes et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme : Une fonction polynôme est définie sur ℝ par une expression $P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ où les coefficients a₀,…,aₙ sont réels.
• Division euclidienne : Pour des polynômes P₀ ≠ 0 et P₁ avec deg P₀ ≤ deg P₁, il existe un unique couple (Q,R) tel que P₁ = P₀Q + R, où R est nul ou de degré strictement inférieur à celui de P₀.

★ À maîtriser

• Le produit de deux polynômes de degrés n et m est un polynôme de degré n + m ; la somme de deux polynômes non nuls est de degré au plus égal au maximum de leurs degrés.

📌 Un polynôme P est divisible par (x − α) si et seulement si α est une racine de P, c’est-à-dire si P(α) = 0.

Compléments

• Les méthodes de factorisation présentées sont : reconnaître une identité remarquable, repérer un facteur commun, utiliser le discriminant d’un trinôme du second degré, chercher une racine évidente puis effectuer une division euclidienne

💡 Astuce mémo

Pour factoriser : identité remarquable, facteur commun, discriminant, puis racine évidente.

📖 5. Logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien ln est l’unique fonction dérivable sur ℝ*⁺ dont la dérivée est 1/x et qui vérifie ln(1)=0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous x,y > 0, $\ln(xy)=\ln x+\ln y,\quad \ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y,\quad \ln(x^n)=n\ln x$ pour tout entier naturel n.

• La fonction ln est strictement croissante sur ℝ*⁺ et vérifie $\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty.$

📌 Comme ln est strictement croissante sur les réels positifs, 0 < x < y équivaut à ln x < ln y ; en particulier, 0 < x < 1 équivaut à ln x < 0.

Compléments

• Le nombre e est l’unique réel strictement positif tel que ln(e)=1, et e est approximativement égal à 2,7182818.

📖 6. Exponentielles et puissances réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle exp est la réciproque du logarithme népérien ; pour tout réel x, exp(x) est l’unique réel positif y tel que ln(y)=x.
• Exponentielle de base a : Pour a > 0, la fonction exponentielle de base a est définie sur ℝ par $a^x=e^{x\ln a}.$

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels x et y, $e^{x+y}=e^x e^y,\qquad \frac{e^x}{e^y}=e^{x-y},\qquad e^{-x}=\frac{1}{e^x}.$

• La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ et sa dérivée est exp′(x)=exp(x).

• La fonction x ↦ aˣ est strictement croissante si a > 1 et strictement décroissante si 0 < a < 1.

Compléments

• Pour x,y > 0 et r,r′ réels, les puissances vérifient $x^r x^{r'}=x^{r+r'},\quad (x^r)^{r'}=x^{rr'},\quad x^r y^r=(xy)^r,\quad \left(\frac{x}{y}\right)^r=\frac{x^r}{y^r},\quad x^{-r}=\frac1{x^r}.$

💡 Astuce mémo

Base a : croissance si a > 1, décroissance si 0 < a < 1 ; exposant r : croissance si r > 0, décroissance si r < 0.

📖 7. Fonctions puissances réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction puissance réelle : Pour tout réel r, la fonction puissance réelle est définie sur les réels strictement positifs par $f_r(x)=e^{r\ln x}$.

★ À maîtriser

📌 Pour x,y>0 et r,r' réels, les puissances vérifient $x^rx^{r'}=x^{r+r'}$, $(x^r)^{r'}=x^{rr'}$, $x^ry^r=(xy)^r$, $\left(\frac{x}{y}\right)^r=\frac{x^r}{y^r}$ et $x^{-r}=\frac{1}{x^r}$.

• Sur les réels strictement positifs, la fonction x↦x^r est strictement croissante si r>0 et strictement décroissante si r<0.

Compléments

• Si r=0, la fonction puissance est constante et vaut 1.

• Pour n entier naturel strictement positif, x↦x^n est définie sur R ; si 0<x<1, alors x>x^2>x^3>…>x^n>x^{n+1}>0, tandis que si x>1, alors 0<x<x^2<x^3<…<x^n<x^{n+1}.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : la puissance croît ; exposant négatif : elle décroît.

📖 8. Limites et limites unilatérales

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie en l’infini : f(x) peut être rendu aussi proche de ℓ que souhaité lorsque x est suffisamment grand.
• Limite infinie en l’infini : f(x) peut être rendu aussi grand que souhaité en prenant x suffisamment grand.

★ À maîtriser

📌 Une limite en x₀ existe si et seulement si les limites à gauche et à droite en x₀ existent et sont égales.

Compléments

📌 Une fonction peut avoir une limite en x₀ sans y être définie ; si elle est définie en x₀ et y admet une limite, cette limite est f(x₀).

• Si une fonction admet une limite en x₀, cette limite est unique.

💡 Astuce mémo

À gauche et à droite : mêmes limites pour une limite bilatérale.

📖 9. Calcul des limites et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote horizontale : La droite d’équation y=ℓ est une asymptote horizontale à la courbe de f en +∞ si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$.
• Asymptote verticale : La droite d’équation x=a est une asymptote verticale à la courbe de f si $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$ ou $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$.

★ À maîtriser

• Pour un polynôme, la limite à l’infini est celle de son monôme de plus haut degré ; pour une fonction rationnelle, elle est celle du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

• Le théorème des gendarmes affirme que si f(x)≤g(x)≤h(x) au voisinage de x₀ et si f et h ont la même limite ℓ en x₀, alors g a aussi pour limite ℓ en x₀.

• Si f tend vers ℓ en x₀ et g tend vers L lorsque son argument tend vers ℓ, alors la composée g∘f tend vers L en x₀.

Compléments

• Les croissances comparées données dans le cours sont $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0^+$, $\lim_{x\to0^+}x\ln x=0^-$, $\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$ et $\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$.

💡 Astuce mémo

Limite infinie en un réel → asymptote verticale.

📖 10. Étude globale d’une fonction

★ À maîtriser

• L’étude générale d’une fonction consiste à déterminer son domaine, calculer les limites aux bords de ce domaine, rechercher les asymptotes, étudier la dérivée et les variations, puis tracer la courbe en commençant par les asymptotes.

Compléments

📌 Si une fonction admet une limite infinie en un réel interdit de son domaine, sa courbe admet en ce réel une asymptote verticale.

💡 Astuce mémo

Domaine → limites → asymptotes → dérivée → courbe.

📖 11. Fonctions de deux variables

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de deux variables : Une fonction de deux variables associe à chaque couple (x,y) de son domaine un unique réel f(x,y).
• Graphe d’une fonction : L’ensemble des points (x,y,z) tels que (x,y) appartient à son domaine et z=f(x,y) ; il constitue une surface de R³.
• Fonction homogène : Une fonction f est telle que, pour tout t>0 et tout (x,y) de son domaine, (tx,ty) appartient aussi au domaine et $f(tx,ty)=t^kf(x,y)$.
• Courbe de niveau : L’ensemble des points (x,y) de son domaine tels que f(x,y)=k ; elle est la projection sur le plan xOy de la section du graphe par le plan z=k.
• Courbe plane : L’ensemble des points (x,y) de R² dont les coordonnées vérifient une relation F(x,y)=0, appelée équation cartésienne de la courbe.

📝 Points essentiels

📌 En théorie de la production, une courbe de niveau Q₀ est une isoquante représentant les couples de capital et de travail qui produisent Q₀ ; en théorie de la consommation, une courbe de niveau U₀ est une courbe d’indifférence représentant les couples de biens procurant le même niveau de satisfaction U₀.

💡 Astuce mémo

Une surface en trois dimensions, découpée horizontalement par les plans z = k.

📖 12. Dérivées partielles et gradient

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : La dérivée partielle de f par rapport à x en (x₀,y₀) est la dérivée de la fonction x↦f(x,y₀) en x₀, où y est fixé ; celle par rapport à y est la dérivée de y↦f(x₀,y) en y₀, où x est fixé.
• Gradient : Le vecteur $\operatorname{grad}f(x₀,y₀)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x₀,y₀),\frac{\partial f}{\partial y}(x₀,y₀)\right)$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les dérivées partielles en (x₀,y₀), lorsqu’elles existent, sont $\frac{\partial f}{\partial x}(x₀,y₀)=\lim_{h\to0}\frac{f(x₀+h,y₀)-f(x₀,y₀)}{h}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x₀,y₀)=\lim_{h\to0}\frac{f(x₀,y₀+h)-f(x₀,y₀)}{h}$.

💡 Astuce mémo

Dériver selon x : y reste fixe ; dériver selon y : x reste fixe.

📖 13. Gradient et fonctions implicites

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Vecteur formé de ses dérivées partielles en ce point, $\operatorname{grad} f(M_0)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\right).$
• Fonction de classe C1 : Fonction dérivable dont les dérivées partielles premières sont continues sur l’ouvert considéré.

★ À maîtriser

📌 Si Ω est ouvert, f est de classe C1, f(x₀,y₀)=0 et $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\ne 0,$ alors l’équation f(x,y)=0 définit localement y comme fonction de x au voisinage de (x₀,y₀).

📐 Formule - Pour une fonction implicite y=ϕ(x) définie par f(x,y)=0, sa dérivée vérifie $\phi'(x)=-\frac{\partial f/\partial x}{\partial f/\partial y}$ lorsque le dénominateur est non nul.

Compléments

• Pour le cercle x²+y²−2=0 au voisinage de (1,1), la branche définie implicitement est y=√(2−x²), et sa dérivée en 1 vaut 1.

💡 Astuce mémo

Dérivée partielle en y : exprime y(x) ; dérivée partielle en x : exprime x(y).

📖 14. Intégrale et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale d’une fonction positive : Aire, en unités d’aire, limitée par sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x=a et x=b, lorsque cette aire est finie.

★ À maîtriser

• Pour une fonction de signe quelconque, son intégrale sur [a,b] est l’aire algébrique : les aires au-dessus de l’axe sont positives et celles au-dessous sont négatives.

• La relation de Chasles donne $\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^c f(t)\,dt+\int_c^b f(t)\,dt$ pour tout c appartenant à [a,b].

• La linéarité de l’intégrale donne $\int_a^b(\alpha f(t)+\beta g(t))\,dt=\alpha\int_a^b f(t)\,dt+\beta\int_a^b g(t)\,dt$ pour des fonctions intégrables et des réels α et β.

Compléments

📌 Si f≤g sur [a,b], alors $\int_a^b f(t)\,dt\le\int_a^b g(t)\,dt.$

• Pour une fonction intégrable f, $\int_a^a f(t)\,dt=0$ et inverser les bornes change le signe de l’intégrale.

💡 Astuce mémo

L’aire sous la courbe se découpe en tranches qui s’additionnent.

📖 15. Primitives et calcul des intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Fonction définie et dérivable sur I telle que F′(x)=f(x) pour tout x de I.

★ À maîtriser

• Deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante, et il existe une unique primitive prenant une valeur fixée en un point donné.

📐 Formule - Si f est continue et F est une primitive de f sur un intervalle contenant a et b, alors $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).$

📐 Formule - Pour u et v de classe C1 sur [a,b], l’intégration par parties donne $\int_a^b u'(x)v(x)\,dx=[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u(x)v'(x)\,dx.$

Compléments

• Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives, mais certaines primitives, comme celles de x↦e^(−x²), ne s’expriment pas avec les fonctions de référence et les opérations usuelles.

💡 Astuce mémo

Reconnaître une primitive, appliquer les bornes, puis soustraire F(a) de F(b).

📖 16. Intégrales généralisées et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale généralisée : Limite finie d’intégrales sur des intervalles bornés lorsque la fonction devient infinie à une borne ou que l’intervalle d’intégration est non borné.

★ À maîtriser

📌 Pour $\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha},$ l’intégrale converge si α<1 et diverge si α≥1.

Compléments

📌 Si f devient infinie seulement en b, l’intégrale impropre sur [a,b] existe lorsque $\lim_{t\to b^-}\int_a^t f(x)\,dx$ existe et est finie, et elle est égale à cette limite.

📌 Sur [a,+∞[, l’intégrale impropre de f converge si $\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,dx$ existe et est finie.

💡 Astuce mémo

Près de zéro, α < 1 ; à l’infini, α > 1.