QCM : Mathématiques des fonctions (11 questions)

Question 1

1. Un ensemble réel contient les nombres $2$ et $7$ . Quelle condition supplémentaire garantit qu’il s’agit d’un intervalle ?

Il contient les nombres opposés de

2

et

7

.

Il contient chaque réel compris entre

2

et

7

.

Il contient uniquement des nombres entiers entre

2

et

7

.

Il contient au moins un nombre entre

2

et

7

.

Explication

Un intervalle contient tout réel situé entre deux de ses éléments, donc il doit contenir chaque réel entre $2$ et $7$ . Contenir seulement un nombre intermédiaire ne suffit pas à garantir cette propriété.

Answer

Il contient chaque réel compris entre $$2$$ et $$7$$.

Question 2

2. Pour quelles valeurs de $x$ l’expression $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{5-x}}$ est-elle définie ?

Pour

x < 5

.

Pour

1 \leq x < 5

.

Pour

x > 1

.

Pour

1 \leq x \leq 5

.

Explication

Le radicande du numérateur impose $x-1 \geq 0$ , tandis que le dénominateur sous la racine impose $5-x > 0$ . La condition $x \leq 5$ serait insuffisante, car elle inclurait des valeurs pour lesquelles le numérateur n’est pas défini.

Answer

Pour $$1 \leq x < 5$$.

Question 3

3. Le domaine d’une fonction est centré en zéro et $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de ce domaine. Quelle symétrie caractérise son graphe ?

Une symétrie par rapport à la droite

y=x

.

Une symétrie par rapport à l’origine du repère.

Une symétrie par rapport à l’axe des abscisses.

Une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Explication

L’égalité $f(-x)=f(x)$ signifie que les points d’abscisses opposées ont la même ordonnée, ce qui donne une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées. La symétrie par rapport à l’origine correspond plutôt à une fonction impaire.

Answer

Une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Question 4

4. Une fonction dérivable sur un intervalle vérifie $f'(x) \leq 0$ sur cet intervalle. Quelle conclusion peut-on tirer ?

La fonction est constante sur cet intervalle.

La fonction est croissante sur cet intervalle.

La fonction est strictement décroissante sur cet intervalle.

La fonction est décroissante sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée non positive sur tout l’intervalle permet de conclure que la fonction y est décroissante. Une dérivée non positive ne garantit pas une décroissance stricte, car elle peut être nulle en certains points.

Answer

La fonction est décroissante sur cet intervalle.

Question 5

5. Que signifie qu’une fonction est dérivable en un point $x_0$ ?

La fonction est continue et strictement croissante au voisinage de

x_0

.

La tangente à sa courbe en

x_0

passe par l’origine du repère.

Le taux d’accroissement admet une limite finie lorsque

x

tend vers

x_0

.

La fonction admet une limite finie lorsque

x

tend vers

x_0

.

Explication

La dérivabilité en $x_0$ signifie que le taux d’accroissement $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ possède une limite finie, laquelle est le nombre dérivé. L’existence d’une limite finie pour la fonction elle-même ne suffit pas à établir cette propriété.

Answer

Le taux d’accroissement admet une limite finie lorsque $$x$$ tend vers $$x_0$$.

Question 6

6. Parmi les méthodes proposées pour factoriser un polynôme, laquelle consiste à vérifier si une valeur simple annule le polynôme avant de le diviser ?

Calculer le discriminant d’un trinôme du second degré

Repérer un facteur commun dans les différents termes

Chercher une racine évidente puis effectuer une division euclidienne

Reconnaître une identité remarquable dans l’expression

Explication

Une racine évidente fournit un facteur linéaire, puis la division euclidienne permet d’obtenir le quotient. Le discriminant est une autre méthode, mais elle s’applique aux trinômes du second degré.

Answer

Chercher une racine évidente puis effectuer une division euclidienne

Question 7

7. Quel rôle joue la stricte croissance du logarithme népérien lorsqu’on compare deux nombres positifs ?

Elle permet de comparer leurs logarithmes en additionnant les deux nombres.

Elle permet de comparer leurs logarithmes dans le même ordre que les nombres.

Elle transforme leur comparaison en une comparaison dans l’ordre inverse.

Elle garantit que leurs logarithmes sont tous deux positifs.

Explication

Comme le logarithme népérien est strictement croissant sur les réels positifs, il conserve l’ordre : si $0<x<y$ , alors $\ln x<\ln y$ . La comparaison ne s’inverse pas, et des nombres positifs inférieurs à $1$ ont même un logarithme négatif.

Answer

Elle permet de comparer leurs logarithmes dans le même ordre que les nombres.

Question 8

8. Comment se distingue la variation de la fonction exponentielle de celle de la fonction exponentielle de base $a$ lorsque $0<a<1$ ?

La fonction exponentielle est strictement décroissante, tandis que celle de base

a

est strictement croissante.

La fonction exponentielle est strictement croissante, tandis que la fonction de base

a

est strictement décroissante.

Les deux fonctions sont strictement décroissantes, car leur exposant peut être négatif.

Les deux fonctions sont strictement croissantes, car leurs valeurs restent positives.

Explication

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ , alors que $x\mapsto a^x$ est strictement décroissante lorsque $0<a<1$ . La positivité des valeurs ne détermine pas le sens de variation, contrairement à la base.

Answer

La fonction exponentielle est strictement croissante, tandis que la fonction de base $$a$$ est strictement décroissante.

Question 9

9. Pour un exposant réel négatif, quelle conséquence observe-t-on sur la variation de la fonction puissance $x\mapsto x^r$ lorsque $x>0$ ?

Elle est constante et vaut

1

sur les réels positifs.

Elle est strictement croissante sur les réels positifs.

Elle est strictement décroissante sur les réels positifs.

Elle est croissante jusqu’à

1

, puis décroissante.

Explication

Un exposant négatif rend la fonction puissance strictement décroissante sur les réels strictement positifs. À l’inverse, un exposant positif entraîne une croissance stricte, et non une décroissance.

Answer

Elle est strictement décroissante sur les réels positifs.

Question 10

10. Pour vérifier si une limite bilatérale existe en un point $x_0$ , quelles limites faut-il comparer ?

Les limites en deux points voisins de

x_0

, qui doivent être finies.

La limite à gauche en

x_0

et la limite à l’infini, qui doivent coïncider.

Les limites à gauche et à droite en

x_0

, qui doivent exister et être égales.

La limite en

x_0

et la valeur de la fonction, qui doivent être égales.

Explication

Une limite bilatérale en $x_0$ existe lorsque les limites à gauche et à droite existent et ont la même valeur. La valeur de la fonction en $x_0$ n’a pas besoin d’être définie ni égale à cette limite.

Answer

Les limites à gauche et à droite en $$x_0$$, qui doivent exister et être égales.

Question 11

11. Quelle propriété permet de déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle à partir de ses polynômes ?

Elle est donnée par la limite du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Elle est donnée par la différence des limites des deux polynômes pris séparément.

Elle est déterminée par le terme constant du dénominateur et le degré du numérateur.

Elle est obtenue en remplaçant chaque polynôme par son monôme de plus bas degré.

Explication

À l’infini, les termes de plus haut degré dominent dans chaque polynôme, ce qui ramène l’étude au quotient de ces monômes dominants. Examiner séparément les limites des polynômes ne donne pas directement celle de leur quotient.

Answer

Elle est donnée par la limite du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

QCM : Mathématiques des fonctions (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un ensemble réel contient les nombres $2$ et $7$ . Quelle condition supplémentaire garantit qu’il s’agit d’un intervalle ?

2. Pour quelles valeurs de $x$ l’expression $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{5-x}}$ est-elle définie ?

3. Le domaine d’une fonction est centré en zéro et $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de ce domaine. Quelle symétrie caractérise son graphe ?

4. Une fonction dérivable sur un intervalle vérifie $f'(x) \leq 0$ sur cet intervalle. Quelle conclusion peut-on tirer ?

5. Que signifie qu’une fonction est dérivable en un point $x_0$ ?

6. Parmi les méthodes proposées pour factoriser un polynôme, laquelle consiste à vérifier si une valeur simple annule le polynôme avant de le diviser ?

7. Quel rôle joue la stricte croissance du logarithme népérien lorsqu’on compare deux nombres positifs ?

8. Comment se distingue la variation de la fonction exponentielle de celle de la fonction exponentielle de base $a$ lorsque $0<a<1$ ?

9. Pour un exposant réel négatif, quelle conséquence observe-t-on sur la variation de la fonction puissance $x\mapsto x^r$ lorsque $x>0$ ?

10. Pour vérifier si une limite bilatérale existe en un point $x_0$ , quelles limites faut-il comparer ?

11. Quelle propriété permet de déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle à partir de ses polynômes ?

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QCM : Mathématiques des fonctions (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un ensemble réel contient les nombres 222 et 777. Quelle condition supplémentaire garantit qu’il s’agit d’un intervalle ?

2. Pour quelles valeurs de xxx l’expression x−15−x\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{5-x}}5−x​x−1​​ est-elle définie ?

3. Le domaine d’une fonction est centré en zéro et f(−x)=f(x)f(-x)=f(x)f(−x)=f(x) pour tout xxx de ce domaine. Quelle symétrie caractérise son graphe ?

4. Une fonction dérivable sur un intervalle vérifie f′(x)≤0f'(x) \leq 0f′(x)≤0 sur cet intervalle. Quelle conclusion peut-on tirer ?

5. Que signifie qu’une fonction est dérivable en un point x0x_0x0​ ?

6. Parmi les méthodes proposées pour factoriser un polynôme, laquelle consiste à vérifier si une valeur simple annule le polynôme avant de le diviser ?

7. Quel rôle joue la stricte croissance du logarithme népérien lorsqu’on compare deux nombres positifs ?

8. Comment se distingue la variation de la fonction exponentielle de celle de la fonction exponentielle de base aaa lorsque 0<a<10<a<10<a<1 ?

9. Pour un exposant réel négatif, quelle conséquence observe-t-on sur la variation de la fonction puissance x↦xrx\mapsto x^rx↦xr lorsque x>0x>0x>0 ?

10. Pour vérifier si une limite bilatérale existe en un point x0x_0x0​, quelles limites faut-il comparer ?

11. Quelle propriété permet de déterminer la limite à l’infini d’une fonction rationnelle à partir de ses polynômes ?

Révisez avec les flashcards

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1. Un ensemble réel contient les nombres $2$ et $7$ . Quelle condition supplémentaire garantit qu’il s’agit d’un intervalle ?

2. Pour quelles valeurs de $x$ l’expression $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{5-x}}$ est-elle définie ?

3. Le domaine d’une fonction est centré en zéro et $f(-x)=f(x)$ pour tout $x$ de ce domaine. Quelle symétrie caractérise son graphe ?

4. Une fonction dérivable sur un intervalle vérifie $f'(x) \leq 0$ sur cet intervalle. Quelle conclusion peut-on tirer ?

5. Que signifie qu’une fonction est dérivable en un point $x_0$ ?

8. Comment se distingue la variation de la fonction exponentielle de celle de la fonction exponentielle de base $a$ lorsque $0<a<1$ ?

9. Pour un exposant réel négatif, quelle conséquence observe-t-on sur la variation de la fonction puissance $x\mapsto x^r$ lorsque $x>0$ ?

10. Pour vérifier si une limite bilatérale existe en un point $x_0$ , quelles limites faut-il comparer ?