Fiche de révision : Mathématiques élémentaires

📋 Plan du Cours

1. Nombres réels et propriétés fondamentales
2. Suites numériques et convergence
3. Nombres complexes et opérations
4. Module, arguments et racines complexes
5. Fonctions usuelles
6. Limites et continuité
7. Dérivation et théorèmes généraux
8. Primitives et intégration
9. Règle de l’Hôpital et convexité
10. Primitives usuelles et techniques
11. Primitives des fonctions rationnelles
12. Primitives trigonométriques
13. Intégrale et sommes de Riemann
14. Développements limités fondamentaux
15. Calcul et applications des développements
16. Équations différentielles du premier ordre

📖 1. Nombres réels et propriétés fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Les nombres qui s’écrivent $\frac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{N}^*$.
• Borne supérieure : Le plus petit majorant d’une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$, noté $\sup A$.

📝 Points essentiels

• Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel, car il représente la diagonale d’un carré de côté unité et n’appartient pas à $\mathbb{Q}$.

• Les nombres rationnels sont denses dans les nombres réels : pour tout réel $x$ et tout $\varepsilon>0$, il existe un rationnel $\frac pq$ tel que $\left|x-\frac pq\right|<\varepsilon$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Suites numériques et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une famille de nombres réels numérotés, identifiée à une application de $\mathbb{N}$ vers $\mathbb{R}$.
• Convergence d’une suite : Si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que $n>N$ implique $|u_n-\ell|\leq\varepsilon$.
• Suites équivalentes : Deux suites vérifiant $u_n\sim v_n$ ont la même nature de convergence et, lorsqu’elles convergent ou tendent vers $\pm\infty$, la même limite.

📝 Points essentiels

📌 Si $u_n\leq v_n\leq w_n$ à partir d’un certain rang et si $u_n$ et $w_n$ ont la même limite $\ell\in\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$, alors $v_n$ converge vers $\ell$.

📌 Toute suite croissante et majorée converge, tandis qu’une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

💡 Astuce mémo

Convergente = limite finie, bornée ≠ convergente

📖 3. Nombres complexes et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Un nombre qui s’écrit sous la forme $z=a+ib$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$ et $i^2=-1$.
• Conjugué d’un complexe : Le complexe $\overline z=a-ib$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$, on a $z+z'=(a+a')+i(b+b')$ et $zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout complexe $z$, sa partie réelle vaut $\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline z}{2}$ et sa partie imaginaire vaut $\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}$.

💡 Astuce mémo

Le complexe a une partie réelle horizontale et une partie imaginaire verticale

📖 4. Module, arguments et racines complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Module d’un complexe : Le réel positif ou nul $|z|=\sqrt{z\overline z}=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Argument d’un complexe : Tout complexe non nul s’écrit $z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)=|z|e^{i\theta}$, où $\theta$ est un argument de $z$ défini modulo $2\pi$.

📝 Points essentiels

📌 Pour deux complexes non nuls, $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')\ [2\pi]$ et $\arg\left(\frac z{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')\ [2\pi]$.

• Tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées.

📐 Formule — Si $z\in\mathbb{C}^*$ et $n\in\mathbb{N}^*$, ses racines n-ièmes sont $Z_k=|z|^{1/n}e^{i(\arg(z)/n+2k\pi/n)}$ pour $0\leq k\leq n-1$.

💡 Astuce mémo

Module → argument → forme trigonométrique → racines

📖 5. Fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Une application définie sur une partie de $\mathbb{R}$ à valeurs dans $\mathbb{R}$.
• Bijection : Si tout élément de $J$ possède un unique antécédent dans $I$.
• Fonction convexe : Une fonction est convexe sur un intervalle si son graphe est situé en dessous de toute corde reliant deux points du graphe.
• Logarithme : La fonction logarithme $\ln$ est définie sur $]0,+\infty[$ et réalise une bijection croissante de cet intervalle sur $\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

📌 La fonction exponentielle est la réciproque de $\ln$ et vérifie $e^{x+y}=e^xe^y$ ainsi que $e^{-x}=1/e^x$.

Compléments

• Les fonctions sinus, cosinus et tangente réalisent respectivement des bijections croissantes de $[-\pi/2,\pi/2]$ sur $[-1{,}1]$, décroissantes de $[0,\pi]$ sur $[-1{,}1]$ et croissantes de $]-\pi/2,\pi/2[$ sur $\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Sinus et cosinus sont bornés, exponentielle et logarithme s’opposent par réciprocité

📖 6. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite en un point : Si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $\eta>0$ tel que $|x-x_0|<\eta$ implique $|f(x)-\ell|<\varepsilon$ pour $x\neq x_0$.
• Continuité : Lorsque $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$.

📝 Points essentiels

📌 Le théorème des encadrements affirme que si $f_1(x)\leq f(x)\leq f_2(x)$ et si $f_1$ et $f_2$ tendent vers la même limite $\ell$, alors $f$ tend aussi vers $\ell$.

📐 Formule — Les limites classiques en zéro sont $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$.

📌 Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ atteint un minimum et un maximum.

💡 Astuce mémo

Continuité = limite en un point égale à la valeur

📖 7. Dérivation et théorèmes généraux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : La limite finie du taux d’accroissement $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ lorsque $h$ tend vers zéro.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La tangente au graphe de $f$ au point $\left(x_0,f(x_0)\right)$ a pour équation $y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

📐 Formule — La dérivée d’une composée vérifie $(g\circ f)'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0)$.

📐 Formule — La dérivée d’un produit vérifie $(fg)'=f'g+fg'$ et celle d’un quotient vérifie $\left(\frac fg\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$ lorsque $g\neq0$.

📌 Le théorème des accroissements finis affirme que, sous ses hypothèses, il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$.

📌 Si une fonction dérivable admet un extremum local en $x_0$, alors $f'(x_0)=0$; si de plus $f''(x_0)<0$, c’est un maximum local, et si $f''(x_0)>0$, c’est un minimum local.

💡 Astuce mémo

Dérivée nulle → fonction constante ; dérivée croissante → fonction convexe

📖 8. Primitives et intégration

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une fonction dérivable $F$ sur $I$ telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$.

📝 Points essentiels

📌 Toutes les primitives d’une même fonction sur un intervalle sont de la forme $F(x)+C$ avec $C\in\mathbb{R}$.

📐 Formule — L’intégration par parties vérifie $\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$.

📐 Formule — Le changement de variable vérifie $\int f(u(x))u'(x)\,dx=F(u(x))+C$ lorsque $F$ est une primitive de $f$.

💡 Astuce mémo

Dériver descend, intégrer remonte

📖 9. Règle de l’Hôpital et convexité

★ À maîtriser

📌 Une fonction dérivable est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante, et, lorsqu’elle est deux fois dérivable, cela équivaut à f′′ positive.

Compléments

📌 Si f et g sont dérivables sur un ouvert I, si f(x₀)=g(x₀)=0 et si la limite de f′(x)/g′(x) existe dans ℝ, alors la limite de f(x)/g(x) lorsque x tend vers x₀ lui est égale.

💡 Astuce mémo

Dérivée croissante → fonction convexe

📖 10. Primitives usuelles et techniques

📝 Points essentiels

• Si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f s’écrivent F(x)+C avec C∈ℝ.

📐 Formule — La linéarité des primitives donne $\int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$ et $\int\lambda f(x)\,dx=\lambda\int f(x)\,dx$.

💡 Astuce mémo

Primitive connue → linéarité → IPP ou changement de variable

📖 11. Primitives des fonctions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction rationnelle : Expression R(x)=P(x)/Q(x), où P et Q sont des polynômes réels et Q n’est pas identiquement nul.

★ À maîtriser

• L’intégration d’une fonction rationnelle se fait en divisant d’abord si deg P≥deg Q, puis en factorisant Q et enfin en décomposant la fraction en éléments simples.

• Tout polynôme réel non constant se factorise en facteurs linéaires réels et facteurs quadratiques réels irréductibles, ces derniers ayant un discriminant strictement négatif.

Compléments

• Pour une fraction rationnelle P/Q avec deg P<deg Q, la décomposition en éléments simples utilise des puissances des facteurs linéaires et des numérateurs affines sur les puissances des facteurs quadratiques irréductibles.

💡 Astuce mémo

Division euclidienne → factorisation → éléments simples

📖 12. Primitives trigonométriques

★ À maîtriser

• Pour intégrer sinᵐx cosⁿx, on isole une puissance impaire de sin ou de cos pour effectuer un changement de variable, et lorsque les deux puissances sont paires, on transforme les puissances en sommes de cosinus.

📐 Formule — Le changement de variable t=tan(x/2) donne $\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}$.

Compléments

• On obtient $\int\sin^2x\cos^3x\,dx=\frac{\sin^3x}{3}-\frac{\sin^5x}{5}+C$ en posant u=sin x.

💡 Astuce mémo

Puissance impaire de sin ou cos : changer la variable correspondante

📖 13. Intégrale et sommes de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale : Si f admet une primitive F sur I et si a,b∈I, son intégrale entre a et b est le nombre F(b)−F(a), noté $\int_a^b f(x)\,dx$.

📝 Points essentiels

📌 La relation de Chasles donne $\int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx$ et $\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$.

• Une somme de Riemann subdivise [a,b], choisit un point dans chaque sous-intervalle et additionne f(x̃ⱼ)(xⱼ₊₁−xⱼ), puis l’intégrale est la limite lorsque la norme de la subdivision tend vers zéro.

• Si f est continue sur un intervalle I et a∈I, la fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt$ est dérivable et sa dérivée vaut f(x).

💡 Astuce mémo

Maillage plus fin → somme de Riemann plus précise → intégrale

📖 14. Développements limités fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Écriture $f(x)=a_0+a_1(x-a)+\cdots+a_n(x-a)^n+(x-a)^n\varepsilon(x)$ avec limₓ→ₐ ε(x)=0.

★ À maîtriser

• Un développement limité en un point est unique et son coefficient constant vaut f(a).

📌 Une fonction possède un développement limité d’ordre 1 en a si et seulement si elle est dérivable en a, auquel cas $f(x)=f(a)+f′(a)(x-a)+(x-a)\varepsilon(x)$.

📐 Formule — Si f est de classe Cⁿ, la formule de Taylor-Young donne $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+(x-a)^n\varepsilon(x)$ avec limₓ→ₐ ε(x)=0.

Compléments

• Pour une fonction paire, le polynôme de son DL est pair, tandis que pour une fonction impaire, ce polynôme est impair.

💡 Astuce mémo

Polynôme de Taylor + reste négligeable

📖 15. Calcul et applications des développements

📝 Points essentiels

📌 Le DL d’une somme s’obtient en additionnant les polynômes, celui d’un multiple en multipliant le polynôme par le scalaire, et celui d’un produit en tronquant le produit des polynômes à l’ordre demandé.

📌 Le DL d’une composée f∘g s’obtient en composant les polynômes des DL puis en tronquant à l’ordre demandé.

• Les développements usuels en zéro comprennent $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)$ et $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+x^{2n+1}\varepsilon(x)$.

• Deux fonctions non nulles sont équivalentes en zéro lorsque leur quotient tend vers 1, ce qui permet de remplacer l’une par l’autre dans le calcul de limites adaptées.

📌 Si le premier terme non linéaire du DL au point a est cₙ(x−a)ⁿ avec cₙ non nul et n pair, la courbe reste d’un même côté de sa tangente, tandis que si n est impair, la tangente traverse la courbe et le point est un point d’inflexion.

💡 Astuce mémo

Tronquer → composer ou multiplier → comparer les équivalents

📖 16. Équations différentielles du premier ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation caractéristique : Pour l’équation différentielle $ay′′+by′+cy=0$ avec a≠0, équation $aX^2+bX+c=0$.
• Équation différentielle : Relation entre une fonction inconnue et ses dérivées successives sur un intervalle réel.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les solutions de l’équation homogène $y′+a(x)y=0$ sont $y(x)=Ce^{-A(x)}$, où A est une primitive de a et C∈ℝ.

📐 Formule — La solution de l’équation homogène vérifiant y(x₀)=c₀ est $y(x)=c_0e^{-\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt}$.

📌 Toute solution de $y′+a(x)y=b(x)$ est la somme d’une solution particulière y₀ et d’une solution générale de l’équation homogène associée.

• Par variation de la constante, on pose y(x)=C(x)e^{-A(x)} avec A′=a, puis on obtient C′(x)=e^{A(x)}b(x) et une solution particulière y₀(x)=(∫b(x)e^{A(x)}dx)e^{-A(x)}.

📌 Si le discriminant est positif, les solutions sont $C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$ ; s’il est nul, elles sont $(C_1x+C_2)e^{\lambda x}$ ; s’il est négatif, elles sont $(C_1\cos(\beta x)+C_2\sin(\beta x))e^{\alpha x}$.

📌 Les constantes C₁ et C₂ de la solution générale se déterminent avec deux conditions initiales de Cauchy, y(x₀)=c₀ et y′(x₀)=c₁.

💡 Astuce mémo

Homogène : constante C ; non homogène : solution particulière + homogène

📊 Tableaux de synthèse

Types de nombres

Régimes de l’équation caractéristique