QCM : Mathématiques élémentaires — 55 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition caractérise un nombre rationnel ?

Il possède une écriture décimale infinie sans période
Il s’écrit comme la racine carrée d’un entier positif
Il est nécessairement représenté par la diagonale d’un carré
Il s’écrit pq\frac{p}{q} avec p∈Zp\in\mathbb{Z} et q∈N∗q\in\mathbb{N}^*

Il s’écrit $$\frac{p}{q}$$ avec $$p\in\mathbb{Z}$$ et $$q\in\mathbb{N}^*$$

Explication

Un rationnel est un quotient de deux entiers, avec un dénominateur entier naturel non nul. Une écriture décimale infinie non périodique caractérise plutôt un irrationnel.

2. Pourquoi 2\sqrt{2} est-il irrationnel ?

Il n’appartient pas à Q\mathbb{Q}, bien qu’il représente la diagonale d’un carré unité
Il correspond au carré d’un nombre rationnel strictement positif
Il s’écrit comme le quotient de deux entiers non nuls
Il possède une écriture décimale finie représentant une longueur entière

Il n’appartient pas à $$\mathbb{Q}$$, bien qu’il représente la diagonale d’un carré unité

Explication

2\sqrt{2} représente la diagonale d’un carré de côté unité et n’est pas un quotient de deux entiers, donc il n’appartient pas à Q\mathbb{Q}. Un quotient d’entiers serait au contraire rationnel.

3. Comment définit-on la borne supérieure d’une partie non vide et majorée AA de R\mathbb{R} ?

Comme le plus grand élément de AA, noté inf⁡A\inf A
Comme le plus petit élément de AA, noté sup⁡A\sup A
Comme le plus petit des majorants de AA, noté sup⁡A\sup A
Comme un élément quelconque situé au-dessus de tous ceux de AA

Comme le plus petit des majorants de $$A$$, noté $$\sup A$$

Explication

La borne supérieure est le plus petit majorant de l’ensemble et se note sup⁡A\sup A. Elle n’est pas forcément un élément de AA, contrairement à un maximum.

4. Que signifie la densité des nombres rationnels dans R\mathbb{R} ?

Tout intervalle réel contient un plus grand nombre rationnel
Chaque réel possède une écriture rationnelle exacte avec un dénominateur fixé
Les rationnels et les irrationnels sont séparés par une distance positive
Pour tout x∈Rx\in\mathbb{R} et tout ε>0\varepsilon>0, un rationnel vérifie ∣x−pq∣<ε\left|x-\frac pq\right|<\varepsilon

Pour tout $$x\in\mathbb{R}$$ et tout $$\varepsilon>0$$, un rationnel vérifie $$\left|x-\frac pq\right|<\varepsilon$$

Explication

La densité signifie qu’un rationnel peut être trouvé arbitrairement près de tout réel, selon l’inégalité donnée. Elle ne garantit ni une représentation exacte de chaque réel ni l’existence d’un plus grand rationnel dans un intervalle.

5. Comment peut-on définir une suite numérique réelle ?

Comme une application de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R} qui associe un réel à chaque indice
Comme une fonction dont la variable parcourt nécessairement un intervalle réel
Comme une application de R\mathbb{R} vers N\mathbb{N} qui code les nombres réels
Comme un ensemble non ordonné de nombres réels sans indice associé

Comme une application de $$\mathbb{N}$$ vers $$\mathbb{R}$$ qui associe un réel à chaque indice

Explication

Une suite numérique est une famille de réels numérotés, donc une application de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R}. Une fonction réelle peut avoir un intervalle réel comme domaine, ce qui correspond à une structure différente.

6. Quelle condition exprime la convergence de (un)\left(u_n\right) vers ℓ∈R\ell\in\mathbb{R} ?

Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe N∈NN\in\mathbb{N} tel que n>Nn>N entraîne ∣un−ℓ∣≤ε|u_n-\ell|\leq\varepsilon
Pour tout indice nn, on a exactement un=ℓu_n=\ell dès que la suite est définie
Il existe un ε>0\varepsilon>0 tel que tout terme vérifie ∣un−ℓ∣≤ε|u_n-\ell|\leq\varepsilon
Il existe un rang fixe tel que les termes précédents soient tous égaux à ℓ\ell

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$N\in\mathbb{N}$$ tel que $$n>N$$ entraîne $$|u_n-\ell|\leq\varepsilon$$

Explication

La convergence impose que, pour chaque précision positive, tous les termes suffisamment éloignés de l’origine soient à cette distance ou moins de ℓ\ell. L’égalité exacte des termes n’est pas requise.

7. Si un≤vn≤wnu_n\leq v_n\leq w_n à partir d’un certain rang et si unu_n et wnw_n convergent vers la même limite ℓ\ell, vers quoi converge vnv_n ?

Vers zéro, quelle que soit la valeur de ℓ\ell
Vers une limite choisie entre les limites éventuelles de unu_n et wnw_n
Vers +∞+\infty, car elle est majorée par une suite convergente
Vers ℓ\ell, d’après le théorème d’encadrement

Vers $$\ell$$, d’après le théorème d’encadrement

Explication

Le théorème d’encadrement force la suite intermédiaire à avoir la même limite que les deux suites qui la bornent. Une simple majoration ne suffirait pas à déterminer sa limite.

8. Quel comportement possède une suite croissante selon qu’elle est majorée ou non majorée ?

Elle converge si elle est majorée et tend vers +∞+\infty si elle est non majorée
Elle tend vers −∞-\infty lorsqu’elle est majorée et converge sinon
Elle converge dans les deux cas vers sa borne supérieure réelle
Elle oscille entre deux valeurs dès qu’elle est croissante

Elle converge si elle est majorée et tend vers $$+\infty$$ si elle est non majorée

Explication

Une suite croissante et majorée converge, tandis qu’une suite croissante non majorée tend vers +∞+\infty. La croissance exclut ici une oscillation entre deux valeurs distinctes.

9. Quelle écriture définit un nombre complexe ?

z=a+ibz=a+ib avec (a,b)∈R2(a,b)\in\mathbb{R}^2 et i2=−1i^2=-1
z=ab+iz=ab+i avec a,b∈Ca,b\in\mathbb{C} et i2=0i^2=0
z=a+bz=a+b avec (a,b)∈R2(a,b)\in\mathbb{R}^2 et i2=1i^2=1
z=ab+iz=\frac{a}{b}+i avec a,b∈N∗a,b\in\mathbb{N}^* et i2=−1i^2=-1

$$z=a+ib$$ avec $$(a,b)\in\mathbb{R}^2$$ et $$i^2=-1$$

Explication

La forme algébrique d’un complexe est a+iba+ib, où les coefficients sont réels et où i2=−1i^2=-1. Les autres écritures modifient soit la structure algébrique, soit les conditions imposées aux coefficients.

10. Pour z=a+ibz=a+ib et z′=a′+ib′z'=a'+ib', quelle est l’expression correcte de leur produit ?

zz′=(aa′−bb′)+i(ab′+a′b)zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)
zz′=(aa′)+i(bb′)zz'=(aa')+i(bb')
zz′=(a+a′)+i(b+b′)zz'=(a+a')+i(b+b')
zz′=(aa′+bb′)+i(ab′−a′b)zz'=(aa'+bb')+i(ab'-a'b)

$$zz'=(aa'-bb')+i(ab'+a'b)$$

Explication

En développant le produit et en utilisant i2=−1i^2=-1, la partie réelle devient aa′−bb′aa'-bb' et la partie imaginaire devient ab′+a′bab'+a'b. Une multiplication composante par composante ne donne pas le produit complexe.

11. Quel est le conjugué de z=a+ibz=a+ib ?

z‾=1a+ib\overline z=\frac{1}{a+ib}
z‾=a−ib\overline z=a-ib
z‾=−a+ib\overline z=-a+ib
z‾=a+ib\overline z=a+ib

$$\overline z=a-ib$$

Explication

Le conjugué conserve la partie réelle et change le signe de la partie imaginaire, d’où z‾=a−ib\overline z=a-ib. Le module est une autre notion : c’est un réel positif ou nul, et non un complexe obtenu par changement de signe.

12. Pour le complexe z=3+4iz=3+4i, quelle est la valeur de son module ?

55
7\sqrt{7}
11
77

$$5$$

Explication

Le module se calcule par ∣z∣=32+42=5|z|=\sqrt{3^2+4^2}=5. La somme des coordonnées ou leur différence ne donne pas le module complexe.

13. Quelle représentation décrit correctement tout complexe non nul zz à l’aide d’un argument θ\theta ?

z=∣z∣+eiθz=|z|+e^{i\theta}
z=∣z∣(cos⁡θ+isin⁡θ)=∣z∣eiθz=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)=|z|e^{i\theta}
z=cos⁡θ+i∣z∣sin⁡θz=\cos\theta+i|z|\sin\theta
z=θ(cos⁡∣z∣+isin⁡∣z∣)z=\theta(\cos|z|+i\sin|z|)

$$z=|z|(\cos\theta+i\sin\theta)=|z|e^{i\theta}$$

Explication

Tout complexe non nul possède une forme trigonométrique et exponentielle utilisant son module et un argument. Cet argument peut être remplacé par θ+2kπ\theta+2k\pi, alors que le module reste fixé.

14. Si arg⁡(z)=π3\arg(z)=\frac{\pi}{3} et arg⁡(z′)=π4\arg(z')=\frac{\pi}{4}, quelle valeur représente un argument de zz′zz' ?

7π12\frac{7\pi}{12}
π12\frac{\pi}{12}
π7\frac{\pi}{7}
π3−π4\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}

$$\frac{7\pi}{12}$$

Explication

L’argument d’un produit est la somme des arguments modulo 2π2\pi, donc arg⁡(zz′)=π3+π4=7π12\arg(zz')=\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12}. La différence correspond à la règle du quotient, et non à celle du produit.

15. Combien de racines carrées distinctes possède tout complexe non nul ?

Deux, et elles sont opposées
Quatre, réparties sur un cercle
Une seule, dont le module est positif
Aucune si son argument est négatif

Deux, et elles sont opposées

Explication

Tout complexe non nul admet exactement deux racines carrées, qui sont opposées l’une de l’autre. Le signe de l’argument n’empêche pas l’existence de ces racines.

16. Pour une fonction réelle, que représentent respectivement le domaine de définition et l’image ?

Les coefficients et les racines de la fonction
Les valeurs obtenues et les antécédents admissibles
Les antécédents admissibles et les valeurs obtenues
Les limites et les variations de la fonction

Les antécédents admissibles et les valeurs obtenues

Explication

Le domaine de définition regroupe les nombres pouvant être utilisés comme antécédents, tandis que l’image regroupe les valeurs produites par la fonction. Ces deux ensembles n’ont donc pas le même rôle.

17. Quelle condition caractérise une bijection f:I→Jf:I\to J ?

Chaque élément de JJ possède au moins un antécédent dans II
Un seul élément de II possède un antécédent dans JJ
Chaque élément de JJ possède un unique antécédent dans II
Chaque élément de II possède plusieurs images dans JJ

Chaque élément de $$J$$ possède un unique antécédent dans $$I$$

Explication

Une bijection garantit à la fois l’existence et l’unicité de l’antécédent de chaque élément de l’ensemble d’arrivée. La simple surjection garantit l’existence, mais pas nécessairement l’unicité.

18. Comment reconnaît-on géométriquement qu’une fonction est convexe sur un intervalle ?

Son graphe coupe chaque corde reliant deux points du graphe
Son graphe est situé au-dessus de toute corde reliant deux points du graphe
Son graphe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées
Son graphe est situé en dessous de toute corde reliant deux points du graphe

Son graphe est situé en dessous de toute corde reliant deux points du graphe

Explication

La convexité signifie que le graphe reste en dessous de chaque segment joignant deux de ses points. Être au-dessus des cordes correspond à la propriété géométrique de la concavité.

19. Sur quel ensemble la fonction ln⁡\ln est-elle définie et quelle propriété possède-t-elle sur cet ensemble ?

Sur ]0,+∞[]0,+\infty[, elle est une fonction périodique vers R\mathbb{R}
Sur ]0,+∞[]0,+\infty[, elle est une bijection croissante vers R\mathbb{R}
Sur [−1,+∞[[-1,+\infty[, elle est une fonction constante vers R\mathbb{R}
Sur R\mathbb{R}, elle est une bijection décroissante vers ]0,+∞[]0,+\infty[

Sur $$]0,+\infty[$$, elle est une bijection croissante vers $$\mathbb{R}$$

Explication

Le logarithme est défini pour les réels strictement positifs et établit une bijection croissante de cet intervalle sur R\mathbb{R}. Il n’est pas défini sur les réels négatifs ni sur zéro.

20. Quelle affirmation correspond à la définition de la limite de ff en x0x_0 ?

La fonction est définie en x0x_0 et possède une dérivée en ce point
La valeur f(x0)f(x_0) est nécessairement égale à ℓ\ell
Les valeurs de f(x)f(x) se rapprochent de ℓ\ell lorsque xx se rapproche de x0x_0 avec x≠x0x\neq x_0
La fonction prend la valeur ℓ\ell pour tout xx proche de x0x_0

Les valeurs de $$f(x)$$ se rapprochent de $$\ell$$ lorsque $$x$$ se rapproche de $$x_0$$ avec $$x\neq x_0$$

Explication

La définition de la limite porte sur les valeurs prises au voisinage de x0x_0, en excluant éventuellement le point lui-même. L’égalité avec f(x0)f(x_0) est une condition supplémentaire liée à la continuité.

21. Si f1(x)≤f(x)≤f2(x)f_1(x)\leq f(x)\leq f_2(x) près de x0x_0 et si f1f_1 et f2f_2 tendent toutes deux vers ℓ\ell, que peut-on conclure ?

ff tend vers l’une des deux fonctions bornes
ff tend vers ℓ\ell en x0x_0
ff tend vers zéro en x0x_0
Aucune limite ne peut être déduite des inégalités

$$f$$ tend vers $$\ell$$ en $$x_0$$

Explication

Le théorème des encadrements impose à la fonction intermédiaire la même limite que ses deux bornes lorsqu’elles convergent vers une valeur commune. Une seule comparaison ne suffirait pas à établir cette conclusion.

22. Quelle limite classique vaut 11 lorsque xx tend vers zéro ?

lim⁡x→0ex−1x+1\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x+1}
lim⁡x→0xln⁡(1+x)+1\lim_{x\to0}\frac{x}{\ln(1+x)}+1
lim⁡x→0sin⁡xx+1\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x+1}
lim⁡x→0ln⁡(1+x)x\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}

$$\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}$$

Explication

La limite lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 fait partie des limites classiques en zéro, comme celles de sin⁡xx\frac{\sin x}{x} et de ex−1x\frac{e^x-1}{x}. Les autres expressions ne correspondent pas à ces formes classiques.

23. Quelle égalité caractérise la continuité d’une fonction ff en x0x_0 ?

lim⁡x→x0f(x)=+∞\lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty
lim⁡x→x0f(x)=0\lim_{x\to x_0}f(x)=0
f(x0)=x0f(x_0)=x_0
lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$

Explication

Une fonction est continue en x0x_0 lorsque sa limite en ce point existe et coïncide avec sa valeur au point. La continuité ne demande pas que cette valeur soit zéro, égale à x0x_0 ou infinie.

24. Comment définit-on le nombre dérivé de ff en x0x_0 ?

Comme la limite de f(x0+h)+f(x0)h\frac{f(x_0+h)+f(x_0)}{h} lorsque hh tend vers zéro
Comme la limite de f(x0)−f(x0−h)h2\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h^2} lorsque hh tend vers zéro
Comme la limite de f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} lorsque hh tend vers zéro
Comme la valeur de f(x0+h)−f(x0)h\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} pour un seul hh non nul

Comme la limite de $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$ lorsque $$h$$ tend vers zéro

Explication

Le nombre dérivé est la limite finie du taux d’accroissement lorsque l’incrément tend vers zéro. La continuité seule ne suffit pas à garantir l’existence de cette limite.

25. Quelle est l’équation de la tangente au graphe de ff au point (x0,f(x0))\left(x_0,f(x_0)\right) ?

y=f(x0)x+f′(x0)x0y=f(x_0)x+f'(x_0)x_0
y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)
y=f′(x0)x+f(x0)y=f'(x_0)x+f(x_0)
y=f(x0)(x−x0)+f′(x0)y=f(x_0)(x-x_0)+f'(x_0)

$$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$$

Explication

La tangente passe par (x0,f(x0))\left(x_0,f(x_0)\right) et possède la pente f′(x0)f'(x_0), ce qui donne cette équation. La pente n’est pas déterminée par f(x0)f(x_0).

26. Si h(x)=g(f(x))h(x)=g(f(x)), quelle expression donne sa dérivée en x0x_0 ?

h′(x0)=g(f(x0))+f′(x0)h'(x_0)=g(f(x_0))+f'(x_0)
h′(x0)=g(f′(x0))g′(f(x0))h'(x_0)=g(f'(x_0))g'(f(x_0))
h′(x0)=g′(f(x0))f′(x0)h'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0)
h′(x0)=g′(x0)f′(x0)h'(x_0)=g'(x_0)f'(x_0)

$$h'(x_0)=g'(f(x_0))f'(x_0)$$

Explication

La règle de la chaîne multiplie la dérivée extérieure évaluée en f(x0)f(x_0) par la dérivée intérieure évaluée en x0x_0. Évaluer g′g' en x0x_0 confond les variables des deux fonctions.

27. Quelle formule est correcte lorsque g≠0g\neq0 pour dériver un quotient fg\frac{f}{g} ?

(fg)′=f′g+fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g+fg'}{g^2}
(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}
(fg)′=f′g−fg′g\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g}
(fg)′=f′g′g2\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g'}{g^2}

$$\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2}$$

Explication

La dérivée d’un quotient utilise un numérateur égal à f′g−fg′f'g-fg' et un dénominateur égal à g2g^2. Le signe moins distingue cette règle de celle du produit.

28. Quelle propriété caractérise une primitive FF de ff sur un intervalle II ?

FF est dérivable sur II et vérifie F′(x)=f(x)F'(x)=f(x) pour tout x∈Ix\in I
FF est continue sur II et vérifie F(x)=f′(x)F(x)=f'(x) pour tout x∈Ix\in I
FF est définie sur II et vérifie F(x)=∫f′(x) dxF(x)=\int f'(x)\,dx
FF est dérivable sur II et vérifie F′(x)=f′(x)F'(x)=f'(x) pour tout x∈Ix\in I

$$F$$ est dérivable sur $$I$$ et vérifie $$F'(x)=f(x)$$ pour tout $$x\in I$$

Explication

Une primitive de ff est une fonction dont la dérivée est ff sur tout l’intervalle considéré. La continuité seule ou l’égalité avec f′f' ne constitue pas cette définition.

29. Comment s’écrivent deux primitives quelconques d’une même fonction sur un intervalle ?

Elles sont de la forme F(x)+CF(x)+C, avec C∈RC\in\mathbb{R}
Elles sont de la forme F(x)+C(x)F(x)+C(x), avec CC dérivable
Elles sont de la forme F(x)CF(x)C, avec C∈RC\in\mathbb{R}
Elles sont de la forme F(x)+f(x)F(x)+f(x), avec ff la fonction intégrée

Elles sont de la forme $$F(x)+C$$, avec $$C\in\mathbb{R}$$

Explication

Deux primitives d’une même fonction ont des dérivées égales, donc leur différence est constante sur l’intervalle. Cette différence ne peut pas être une fonction quelconque.

30. Quelle identité correspond à l’intégration par parties ?

∫u(x)v′(x) dx=u′(x)v(x)+∫u(x)v′(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u'(x)v(x)+\int u(x)v'(x)\,dx
∫u(x)v′(x) dx=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx
∫u(x)v′(x) dx=u′(x)v′(x)−∫u(x)v(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u'(x)v'(x)-\int u(x)v(x)\,dx
∫u(x)v′(x) dx=u(x)v′(x)+∫u′(x)v′(x) dx\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v'(x)+\int u'(x)v'(x)\,dx

$$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$$

Explication

L’intégration par parties transforme le produit d’une fonction par une dérivée en un terme produit et une nouvelle intégrale. Le signe devant cette nouvelle intégrale est négatif.

31. Quelle forme prend une intégrale traitée par changement de variable lorsque FF est une primitive de ff ?

∫f(u(x))u′(x) dx=f(F(u(x)))+C\int f(u(x))u'(x)\,dx=f(F(u(x)))+C
∫f(u(x))u′(x) dx=F(u′(x))+C\int f(u(x))u'(x)\,dx=F(u'(x))+C
∫f(u(x))u′(x) dx=F(x)u′(x)+C\int f(u(x))u'(x)\,dx=F(x)u'(x)+C
∫f(u(x))u′(x) dx=F(u(x))+C\int f(u(x))u'(x)\,dx=F(u(x))+C

$$\int f(u(x))u'(x)\,dx=F(u(x))+C$$

Explication

Le facteur u′(x)u'(x) permet de reconnaître la dérivée de la composée F(u(x))F(u(x)). Il faut donc évaluer la primitive de ff en u(x)u(x), et non en xx ou en u′(x)u'(x).

32. Quelle caractérisation de la convexité est correcte pour une fonction dérivable ?

La fonction est convexe si et seulement si sa dérivée est décroissante
La fonction est convexe si et seulement si sa fonction elle-même est croissante
La fonction est convexe si et seulement si sa dérivée est constante
La fonction est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante

La fonction est convexe si et seulement si sa dérivée est croissante

Explication

Pour une fonction dérivable, la convexité équivaut à la croissance de sa dérivée. L’égalité avec la positivité de la dérivée seconde demande en plus que la fonction soit deux fois dérivable.

33. Dans les hypothèses de la règle de l’Hôpital données ici, quelle limite peut-on remplacer par celle de f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)} lorsque xx tend vers x0x_0 ?

La limite de f(x)g(x)f(x)g(x) lorsque xx tend vers x0x_0
La limite de f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} lorsque xx tend vers x0x_0
La limite de f′(x)g(x)\frac{f'(x)}{g(x)} lorsque xx tend vers x0x_0
La limite de f(x)g′(x)\frac{f(x)}{g'(x)} lorsque xx tend vers x0x_0

La limite de $$\frac{f(x)}{g(x)}$$ lorsque $$x$$ tend vers $$x_0$$

Explication

Si f(x0)=g(x0)=0f(x_0)=g(x_0)=0 et que la limite du quotient des dérivées existe, elle donne la limite du quotient des fonctions. Les autres expressions ne correspondent pas à la règle énoncée.

34. Si FF est une primitive de ff sur un intervalle II, quelle forme prennent toutes les primitives de ff sur II ?

F(x)+CF(x)+C, où CC est une constante réelle
F(x)CF(x)C, où CC est une constante réelle
F′(x)+CF'(x)+C, où CC est une constante réelle
F(x)+H(x)F(x)+H(x), où HH est une fonction quelconque

$$F(x)+C$$, où $$C$$ est une constante réelle

Explication

Deux primitives d’une même fonction ont des dérivées identiques, donc leur différence est constante sur l’intervalle. Ajouter une fonction quelconque ne conserve pas nécessairement la même dérivée, contrairement à l’ajout d’une constante réelle.

35. Quelle propriété permet de calculer une primitive de f(x)+g(x)f(x)+g(x) à partir de primitives de ff et de gg ?

La primitive est la différence entre les dérivées de ff et de gg
La primitive est la somme d’une primitive de ff et d’une primitive de gg
La primitive est la composée des primitives de ff et de gg
La primitive est le produit d’une primitive de ff par une primitive de gg

La primitive est la somme d’une primitive de $$f$$ et d’une primitive de $$g$$

Explication

La linéarité donne ∫(f(x)+g(x)) dx=∫f(x) dx+∫g(x) dx\int(f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx, à une constante additive près. Le produit, la différence des dérivées et la composition ne constituent pas la règle générale applicable ici.

36. Laquelle des expressions suivantes définit une fonction rationnelle réelle ?

R(x)=P(x)+Q(x)R(x)=P(x)+\sqrt{Q(x)}, avec PP et QQ polynômes réels
R(x)=P(x)Q(x)R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, avec PP et QQ polynômes réels et QQ non nul identiquement
R(x)=P(x)Q(x)R(x)=P(x)Q(x), avec PP et QQ fonctions réelles quelconques
R(x)=P(x)Q(x)R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}, avec PP une fonction trigonométrique et QQ un polynôme réel

$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$, avec $$P$$ et $$Q$$ polynômes réels et $$Q$$ non nul identiquement

Explication

Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes réels, le dénominateur n’étant pas le polynôme nul. Une racine, une fonction trigonométrique ou deux fonctions quelconques ne correspondent pas à cette définition.

37. Lorsqu’on cherche une primitive d’une fonction rationnelle avec deg⁡P≥deg⁡Q\deg P\geq\deg Q, quelle étape faut-il effectuer en premier ?

Factoriser immédiatement les numérateurs en facteurs quadratiques
Effectuer la division polynomiale de PP par QQ
Remplacer la variable par une fonction trigonométrique adaptée
Décomposer directement la fraction en éléments simples

Effectuer la division polynomiale de $$P$$ par $$Q$$

Explication

Lorsque le degré du numérateur est au moins égal à celui du dénominateur, on commence par la division polynomiale. La factorisation du dénominateur et la décomposition en éléments simples interviennent ensuite dans la procédure.

38. Quelle caractéristique possède un facteur quadratique réel irréductible apparaissant dans la factorisation d’un polynôme réel ?

Son discriminant est strictement négatif et il n’a pas de racine réelle
Son discriminant est strictement positif et il possède deux racines réelles
Son discriminant est nul et il possède une racine réelle double
Son discriminant est égal à celui de tout facteur linéaire associé

Son discriminant est strictement négatif et il n’a pas de racine réelle

Explication

Un facteur quadratique réel irréductible a un discriminant strictement négatif, ce qui signifie qu’il ne possède aucune racine réelle. Un discriminant nul ou positif correspond respectivement à une racine réelle double ou à deux racines réelles.

39. Pour intégrer un produit sin⁡mxcos⁡nx\sin^m x\cos^n x lorsqu’une des puissances est impaire, quelle méthode est généralement adaptée ?

Isoler une puissance impaire puis effectuer un changement de variable
Remplacer simultanément sin⁡x\sin x et cos⁡x\cos x par des polynômes
Transformer immédiatement les deux puissances en sommes de cosinus
Décomposer l’intégrande rationnelle avant toute identité trigonométrique

Isoler une puissance impaire puis effectuer un changement de variable

Explication

Une puissance impaire de sinus ou de cosinus peut être isolée afin de conserver le facteur différentiel nécessaire à un changement de variable. La transformation en sommes de cosinus est plutôt utilisée lorsque les deux puissances sont paires.

40. Avec le changement de variable t=tan⁡(x2)t=\tan\left(\frac{x}{2}\right), quelles expressions obtient-on pour sin⁡x\sin x, cos⁡x\cos x et dxdx ?

sin⁡x=2t1+t2,cos⁡x=1−t21+t2,dx=2 dt1+t2\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}
sin⁡x=1−t21+t2,cos⁡x=2t1+t2,dx=dt1+t2\sin x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\cos x=\frac{2t}{1+t^2},\quad dx=\frac{dt}{1+t^2}
sin⁡x=2t1−t2,cos⁡x=1+t21−t2,dx=dt2(1+t2)\sin x=\frac{2t}{1-t^2},\quad\cos x=\frac{1+t^2}{1-t^2},\quad dx=\frac{dt}{2(1+t^2)}
sin⁡x=t1+t2,cos⁡x=1−t1+t,dx=2t dt1+t2\sin x=\frac{t}{1+t^2},\quad\cos x=\frac{1-t}{1+t},\quad dx=\frac{2t\,dt}{1+t^2}

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\frac{2\,dt}{1+t^2}$$

Explication

Ce changement transforme simultanément les deux fonctions trigonométriques et le différentiel selon les trois formules indiquées. Les autres ensembles échangent sinus et cosinus ou modifient incorrectement les dénominateurs et le facteur différentiel.

41. Quelle relation décrit correctement le changement de signe lorsqu’on inverse les bornes d’une intégrale ?

∫abf(x) dx=∫aaf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^a f(x)\,dx
∫abf(x) dx=∫baf(x) dx+f(a)\int_a^b f(x)\,dx=\int_b^a f(x)\,dx+f(a)
∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx
∫abf(x) dx=∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx=\int_b^a f(x)\,dx

$$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$$

Explication

L’inversion des bornes change le signe de l’intégrale, ce qui donne la relation indiquée. Conserver les mêmes bornes ne produit pas cette inversion et ne transforme donc pas l’intégrale en une intégrale identique de sens opposé.

42. Dans une somme de Riemann sur [a,b][a,b], quelle opération permet d’approcher l’intégrale lorsque la subdivision devient de plus en plus fine ?

Multiplier les longueurs des sous-intervalles, puis faire tendre leur produit vers zéro
Additionner les seules valeurs de ff aux extrémités, puis conserver la subdivision initiale
Additionner les valeurs de ff multipliées par les longueurs des sous-intervalles, puis faire tendre la maille vers zéro
Évaluer une primitive aux points choisis, puis additionner ses valeurs sans pondération

Additionner les valeurs de $$f$$ multipliées par les longueurs des sous-intervalles, puis faire tendre la maille vers zéro

Explication

Une somme de Riemann additionne f(x~j)(xj+1−xj)f(\tilde{x}_j)(x_{j+1}-x_j) sur les sous-intervalles, puis l’intégrale est obtenue comme limite lorsque la norme de la subdivision tend vers zéro. Une somme fixée reste une approximation dépendant de la subdivision et ne constitue pas encore cette limite.

43. Si ff est continue et G(x)=∫axf(t) dtG(x)=\int_a^x f(t)\,dt, quelle est la dérivée de GG ?

G′(x)=∫axf(t) dtG'(x)=\int_a^x f(t)\,dt
G′(x)=f(a)G'(x)=f(a)
G′(x)=f′(x)G'(x)=f'(x)
G′(x)=f(x)G'(x)=f(x)

$$G'(x)=f(x)$$

Explication

Le théorème fondamental du calcul intégral affirme que la dérivée de la fonction définie par cette intégrale vaut l’intégrande au point xx. La valeur f(a)f(a) est une constante liée à la borne de départ et ne donne pas la dérivée générale.

44. Dans un développement limité d’ordre nn en aa, comment se comporte le terme d’erreur lorsque xx tend vers aa ?

Il s’écrit (x−a)nε(x)(x-a)^n\varepsilon(x) avec ε(x)→0\varepsilon(x)\to0
Il s’écrit n(x−a)ε(x)n(x-a)\varepsilon(x) avec ε(x)→a\varepsilon(x)\to a
Il s’écrit ε(x)\varepsilon(x) avec ε(x)→∞\varepsilon(x)\to\infty
Il s’écrit (x−a)n+1ε(x)(x-a)^{n+1}\varepsilon(x) avec ε(x)→1\varepsilon(x)\to1

Il s’écrit $$(x-a)^n\varepsilon(x)$$ avec $$\varepsilon(x)\to0$$

Explication

Le reste d’un développement limité d’ordre nn est de la forme (x−a)nε(x)(x-a)^n\varepsilon(x), où ε(x)\varepsilon(x) tend vers zéro en aa. Le polynôme, lui, contient les puissances jusqu’à l’ordre nn et ne doit pas être confondu avec ce terme d’erreur.

45. Quel est le coefficient constant du développement limité d’une fonction ff au point aa ?

f(a+1)−f(a)f(a+1)-f(a)
La limite de f′(x)f'(x) quand xx tend vers aa
f′(a)f'(a)
f(a)f(a)

$$f(a)$$

Explication

L’unicité du développement limité impose que son terme constant soit la valeur de la fonction au point de développement, soit f(a)f(a). Le coefficient f′(a)f'(a) intervient dans le terme de degré un lorsqu’il existe, mais ne constitue pas le terme constant.

46. Quelle condition caractérise l’existence d’un développement limité d’ordre 11 en aa ?

La fonction possède une dérivée seconde nulle en aa
La fonction est dérivable en aa
La fonction est bornée sur un voisinage de aa
La fonction est seulement continue en aa

La fonction est dérivable en $$a$$

Explication

Une fonction admet un développement limité d’ordre un en aa si et seulement si elle est dérivable en ce point. La simple continuité ne fournit pas, à elle seule, le terme linéaire nécessaire au développement.

47. Si ff est de classe CnC^n au voisinage de aa, quelle expression fournit son développement limité d’ordre nn ?

∑k=1nf(k)(x)(x−a)k+(x−a)ε(x)\sum_{k=1}^{n}f^{(k)}(x)(x-a)^k+(x-a)\varepsilon(x)
∑k=0nf(k)(a)k!(x−a)k+(x−a)nε(x)\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+(x-a)^n\varepsilon(x)
f(a)+f′(x)(x−a)+(x−a)n+1ε(x)f(a)+f'(x)(x-a)+(x-a)^{n+1}\varepsilon(x)
∑k=0nf(k)(a)(x−a)k+n!ε(x)\sum_{k=0}^{n}f^{(k)}(a)(x-a)^k+n!\varepsilon(x)

$$\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+(x-a)^n\varepsilon(x)$$

Explication

La formule de Taylor-Young utilise les dérivées évaluées en aa et les divise par les factorielles correspondantes, avec un reste de la forme (x−a)nε(x)(x-a)^n\varepsilon(x). Les autres expressions évaluent certaines dérivées au mauvais point ou omettent les facteurs factoriels.

48. Pour obtenir le développement limité d’un produit à un ordre donné, quelle opération faut-il effectuer ?

Multiplier les coefficients correspondants sans tenir compte des degrés obtenus
Multiplier les polynômes des deux développements puis supprimer les termes d’ordre trop élevé
Additionner les polynômes puis conserver le terme de degré maximal
Composer les deux polynômes puis remplacer chaque puissance par sa dérivée

Multiplier les polynômes des deux développements puis supprimer les termes d’ordre trop élevé

Explication

Le produit des développements limités se calcule par multiplication des polynômes, suivie d’une troncature à l’ordre demandé. Cette troncature est nécessaire car les puissances trop élevées ne contribuent pas au développement recherché.

49. Pour calculer le développement limité de f∘gf\circ g, quelle méthode est correcte ?

Additionner les développements de ff et de gg sans modifier leurs variables
Dériver séparément les deux développements, puis additionner leurs dérivées
Composer les polynômes des développements de ff et de gg, puis tronquer à l’ordre voulu
Multiplier les deux polynômes, puis conserver tous les termes obtenus

Composer les polynômes des développements de $$f$$ et de $$g$$, puis tronquer à l’ordre voulu

Explication

La composition de fonctions se traduit par la composition de leurs polynômes de développement, suivie d’une troncature à l’ordre demandé. La multiplication des polynômes correspond à la règle du produit et non à celle de la composée.

50. Quel développement limité en zéro est correct pour l’exponentielle à l’ordre deux ?

ex=1−x+x22+x2ε(x)e^x=1-x+\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon(x)
ex=x+x22+x3ε(x)e^x=x+\frac{x^2}{2}+x^3\varepsilon(x)
ex=1+x22+x2ε(x)e^x=1+\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon(x)
ex=1+x+x22+x2ε(x)e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon(x)

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+x^2\varepsilon(x)$$

Explication

Le développement usuel de exe^x commence par 1+x+x22!1+x+\frac{x^2}{2!}, avec un reste de la forme x2ε(x)x^2\varepsilon(x) dans cette convention d’ordre. Le terme linéaire ne peut donc pas être supprimé ni changé de signe.

51. Deux fonctions non nulles sont-elles équivalentes en zéro lorsque leur quotient tend vers quelle valeur ?

−1-1
L’infini
11
00

$$1$$

Explication

L’équivalence en zéro est définie par la condition selon laquelle le quotient des deux fonctions tend vers 11. Une limite nulle signifierait que le numérateur est négligeable devant le dénominateur, et non que les deux fonctions sont équivalentes.

52. Pour l’équation homogène y′+a(x)y=0y' + a(x)y = 0, quelle forme générale prennent les solutions si AA est une primitive de aa ?

y(x)=C A(x)e−xy(x)=C\,A(x)e^{-x}
y(x)=A(x)+Cy(x)=A(x)+C
y(x)=Ce−A(x)y(x)=Ce^{-A(x)}
y(x)=CeA(x)y(x)=Ce^{A(x)}

$$y(x)=Ce^{-A(x)}$$

Explication

La résolution de l’équation homogène conduit à une solution proportionnelle à e−A(x)e^{-A(x)}, d’où la forme Ce−A(x)Ce^{-A(x)}. La forme CeA(x)Ce^{A(x)} inverse le signe imposé par l’intégration de y′/y=−a(x)y'/y=-a(x).

53. Quelle expression satisfait la condition initiale y(x0)=c0y(x_0)=c_0 pour l’équation homogène y′+a(x)y=0y' + a(x)y = 0 ?

y(x)=c0−∫x0xa(t) dty(x)=c_0-\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt
y(x)=c0e−∫x0xa(t) dty(x)=c_0e^{-\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt}
y(x)=c0e∫x0xa(t) dty(x)=c_0e^{\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt}
y(x)=e−c0∫x0xa(t) dty(x)=e^{-c_0\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt}

$$y(x)=c_0e^{-\int_{x_0}^{x}a(t)\,dt}$$

Explication

L’intégration entre x0x_0 et xx fixe la constante grâce à la condition initiale et donne l’exponentielle de l’opposé de l’intégrale de aa. L’expression avec un exposant positif correspondrait à un signe erroné dans l’équation différentielle.

54. Comment s’écrit la solution générale de y′+a(x)y=b(x)y' + a(x)y = b(x) à partir d’une solution particulière y0y_0 ?

y=y0+yhy=y_0+y_h, où yhy_h résout une équation de second ordre
y=y0b+yhy=y_0b+y_h, où yhy_h résout l’équation homogène associée
y=y0+yhy=y_0+y_h, où yhy_h résout l’équation homogène associée
y=y0−yhy=y_0-y_h, où yhy_h résout l’équation homogène associée

$$y=y_0+y_h$$, où $$y_h$$ résout l’équation homogène associée

Explication

Toute solution de l’équation non homogène s’obtient en ajoutant à une solution particulière une solution de l’équation homogène associée. La multiplication par bb ou le recours à une équation de second ordre ne fait pas partie de cette décomposition.

55. Dans la méthode de variation de la constante appliquée à y′+a(x)y=b(x)y' + a(x)y=b(x), quelle relation obtient-on après avoir posé y(x)=C(x)e−A(x)y(x)=C(x)e^{-A(x)} avec A′=aA'=a ?

C′(x)=a(x)eA(x)+b(x)C'(x)=a(x)e^{A(x)}+b(x)
C′(x)=e−A(x)b(x)C'(x)=e^{-A(x)}b(x)
C′(x)=eA(x)a(x)b(x)C'(x)=e^{A(x)}a(x)b(x)
C′(x)=eA(x)b(x)C'(x)=e^{A(x)}b(x)

$$C'(x)=e^{A(x)}b(x)$$

Explication

La substitution annule les termes contenant a(x)C(x)a(x)C(x) et conduit à C′(x)=eA(x)b(x)C'(x)=e^{A(x)}b(x). Le facteur exponentiel doit être eA(x)e^{A(x)}, car il provient du déplacement de e−A(x)e^{-A(x)} dans l’équation résultante.

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Comment s'écrit un nombre rationnel ?

Un nombre rationnel s'écrit sous la forme pq\frac{p}{q} avec p∈Zp\in\mathbb{Z} et q∈N∗q\in\mathbb{N}^*.

Pourquoi 2\sqrt{2} est-il irrationnel ?

Parce qu'il représente la diagonale d'un carré de côté unité et n'appartient pas à Q\mathbb{Q}.

Qu'est-ce que la borne supérieure d'une partie non vide et majorée de R\mathbb{R} ?

C'est son plus petit majorant, noté sup⁡A\sup A.

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