Fiche de révision : Mathématiques et réseaux cristallins

📋 Plan du Cours

1. Modèle géométrique des cristaux
2. Empilement maximal des sphères
3. Réseau cubique simple
4. Réseau cubique à faces centrées
5. Empilements plans et compacité
6. Empilement tétraédrique et réseau CFC
7. Réseaux cubique centré et hexagonal compact

📅 Repères chronologiques

1. 1831Karl Friedrich Gauss prouve la conjecture de Kepler dans le cas particulier des empilements dont les centres des sphères forment un réseau de Bravais.
2. 1900Au congrès international de mathématiques de Paris, David Hilbert présente une liste de 23 problèmes mathématiques majeurs, dont le 18e consiste à démontrer la conjecture de Kepler dans le cas général.
3. 1998Thomas C. Hales apporte une preuve de la conjecture de Kepler assistée par ordinateur.
4. 2014La preuve de Thomas C. Hales est certifiée.

📖 1. Modèle géométrique des cristaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Maille : Unité de base parallélépipédique qui permet d’engendrer tout le cristal uniquement par translations.
• Compacité : Rapport du volume occupé par les sphères au volume de la maille.

★ À maîtriser

• Le modèle étudié assimile les atomes ou les ions à des sphères dures tangentes, de même rayon et réparties périodiquement dans l’espace.

Compléments

• Le modèle de sphères dures tangentes rend compte de la non-pénétrabilité des nuages électroniques.

• Dans la réalité, le diamètre des sphères représentant les entités chimiques est de l’ordre de l’ångström.

• L’étude des réseaux cristallins mobilise la géométrie du cube et de la sphère, les calculs de volumes et de proportions, le repérage cartésien, la perspective cavalière et le théorème de Pythagore.

📖 2. Empilement maximal des sphères

📝 Points essentiels

• En 1611, Johannes Kepler conjecture que la compacité maximale d’un empilement de sphères identiques est atteinte par l’empilement tétraédrique, correspondant au réseau cubique à faces centrées.

📖 3. Réseau cubique simple

★ À maîtriser

• Dans un réseau cubique simple, les sphères sont centrées aux nœuds du réseau et la maille est un cube défini par une origine et trois vecteurs de base.

• Dans le réseau cubique simple, les sphères centrées aux nœuds sont tangentes lorsque leur rayon vaut la moitié de la longueur d’une arête de la maille.

• Une maille cubique simple contient huit huitièmes de sphère, soit l’équivalent d’une sphère entière.

Compléments

• La compacité du réseau cubique simple ne dépend pas de la taille de la maille.

• Le choix de la maille n’est pas unique : le cube dont les sommets sont les centres des sphères peut être remplacé par le cube circonscrit à l’une de ces sphères.

📖 4. Réseau cubique à faces centrées

★ À maîtriser

• Une maille cubique à faces centrées contient six hémisphères et huit huitièmes de sphère, soit un volume équivalent à celui de quatre sphères de même rayon.

• Dans une face du cube à faces centrées, la sphère centrée au centre de la face est tangente aux sphères centrées aux sommets.

• Une maille cubique à faces centrées contient quatre sphères équivalentes : une sphère provenant des huit huitièmes situés aux sommets et trois provenant des six hémisphères situés sur les faces.

• La compacité de la structure cubique à faces centrées est d’environ 74 %.

Compléments

• Pour déterminer la relation entre le rayon des sphères et l’arête du cube à faces centrées, on applique le théorème de Pythagore à un triangle isocèle rectangle dont l’hypoténuse est la diagonale de la face carrée.

• Dans une coupe médiane du cube, le triangle isocèle rectangle est une réduction du triangle de la face ; son hypoténuse correspond à la somme des rayons des sphères, ce qui vérifie la tangence des sphères centrées sur les faces.

📖 5. Empilements plans et compacité

★ À maîtriser

• La compacité du réseau plan hexagonal est d’environ 90,7 %, ce qui en fait le plus compact des deux empilements plans comparés.

Compléments

• La compacité du réseau plan carré est d’environ 78,5 %.

• Dans le maillage en losanges, les quatre portions de disque contenues dans une maille ont une aire totale égale à celle d’un disque.

📌 À côté du losange de maille, le côté OA reste fixe tandis que la hauteur varie ; l’aire de la maille est minimale lorsque cette hauteur est minimale.

• Le réseau plan hexagonal est obtenu lorsque le triangle AOB est équilatéral.

💡 Astuce mémo

Le carré laisse plus d’interstices que l’hexagone.

📖 6. Empilement tétraédrique et réseau CFC

★ À maîtriser

• Dans une pile tétraédrique de sphères organisées en couches hexagonales, la séquence de couches A-B-C conduit à un empilement correspondant au réseau cubique à faces centrées.

Compléments

• L’ajout de trois sphères à la couche C d’une pile tétraédrique fait apparaître une maille cubique à faces centrées.

📖 7. Réseaux cubique centré et hexagonal compact

★ À maîtriser

📌 Dans l’empilement cubique à faces centrées, la troisième couche hexagonale est décalée par rapport à la première, tandis que dans l’empilement hexagonal compact elle se trouve à la verticale de la première.

• Les réseaux cubique à faces centrées et hexagonal compact réalisent tous deux la compacité maximale.

Compléments

• Le réseau cubique centré est plus fréquent dans la nature que le réseau cubique simple.

• Pour étudier le réseau cubique centré, on coupe la maille par un plan perpendiculaire à une face et suivant une diagonale ; cette section passe par les centres des sphères et fait apparaître un triangle rectangle.

📊 Tableaux de synthèse

Compacité des empilements plans