Fiche de révision : Dénombrement et théorie des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Probabilité et choix avec ou sans remise
2. Arrangements, permutations et combinaisons
3. Propriétés des coefficients binomiaux
4. Applications du dénombrement
5. Ensembles et événements
6. Opérations et lois sur les ensembles
7. Cardinaux et dénombrement des unions

📖 1. Probabilité et choix avec ou sans remise

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Une probabilité évalue le caractère aléatoire d’une hypothèse et prend une valeur comprise entre 0 et 1 ; une hypothèse certaine a une probabilité de 1 et une hypothèse sans chance de se réaliser a une probabilité de 0.
• Arrangement avec répétition : Un arrangement avec répétition de p éléments parmi n compte les suites de p choix parmi n possibilités, avec répétition autorisée.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour trois tirages successifs sans remise parmi 30 balles, le nombre de possibilités est $30\times29\times28 = 24\,360$.

💡 Astuce mémo

Avec remise, 30 possibilités restent à chaque tirage ; sans remise, elles diminuent.

📖 2. Arrangements, permutations et combinaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrangement sans répétition : Un arrangement sans répétition de p éléments parmi n compte les choix ordonnés de p éléments distincts parmi n.
• Combinaison : Une combinaison de p éléments parmi n est un choix de p objets parmi n sans tenir compte de l’ordre ; elle est aussi appelée coefficient binomial.
• Factorielle : La factorielle de n, notée n!, est le produit $n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times1$ ; par convention, 0! = 1 et 1! = 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour n ≥ p, le nombre d’arrangements sans répétition est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ ; si n < p, il vaut 0.

Compléments

📐 Formule - Pour n ≥ p, le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ ; si n < p, il vaut 0.

• Un tiercé ordonné parmi 10 chevaux numérotés peut donner 720 résultats.

💡 Astuce mémo

L’arrangement garde l’ordre ; la combinaison l’ignore.

📖 3. Propriétés des coefficients binomiaux

★ À maîtriser

📐 Formule - La symétrie des coefficients binomiaux s’écrit $C_n^k=C_n^{n-k}$.

📐 Formule - La formule du triangle de Pascal est $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$.

📐 Formule - La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$.

Compléments

📐 Formule - Les coefficients binomiaux vérifient $C_n^0=C_n^n=1$ et $C_n^1=C_n^{n-1}=n$.

📐 Formule - La relation entre coefficients binomiaux consécutifs est $kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$.

📐 Formule - La somme des coefficients binomiaux d’ordre n vaut $\sum_{k=0}^{n}C_n^k=2^n$.

📖 4. Applications du dénombrement

📝 Points essentiels

• Parmi six cartons dont deux rouges et quatre verts indiscernables par couleur, il existe $\frac{6!}{2!4!}=15$ séries différentes.

• Parmi six ingénieurs et cinq gestionnaires volontaires, former une équipe de quatre ingénieurs et trois gestionnaires donne 150 équipes avant exclusion des conflits ; en excluant les 60 équipes conflictuelles, il reste 90 équipes non conflictuelles.

• Le tirage successif sans remise de cinq billets parmi sept vrais et six faux, tous de montants différents, donne 25 200 résultats comportant quatre vrais billets et un faux.

• Les anciennes plaques d’immatriculation décrites comportaient quatre chiffres, dont le premier non nul, puis deux lettres distinctes différentes de I et O ; avec 24 lettres admissibles, cela donne 4 968 000 possibilités par département.

• Dans un jeu de 32 cartes, le nombre de mains de huit cartes comportant au moins une dame est 7 410 195.

📖 5. Ensembles et événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Un ensemble est une collection d’éléments considérée dans sa totalité ; les ensembles sont nommés par des lettres majuscules et leurs éléments par des lettres minuscules.
• Système complet d’événements : Un système d’événements est complet lorsque ses événements sont incompatibles deux à deux et que leur union couvre toutes les issues possibles de l’expérience.
• Bijection : Une bijection entre deux ensembles met leurs éléments en correspondance parfaite ; deux ensembles finis ont le même cardinal si et seulement s’il existe une bijection entre eux.
• Événement contraire : L’événement contraire de A, noté \bar A, est l’événement qui s’oppose à A ; le contraire du contraire de A est A.

📝 Points essentiels

📌 Un ensemble fini permet de répertorier ses éléments, tandis qu’un ensemble infini est décrit par une propriété que ses éléments vérifient.

💡 Astuce mémo

Dans un système complet, incompatibilité deux à deux et couverture de toutes les issues vont ensemble.

📖 6. Opérations et lois sur les ensembles

★ À maîtriser

📐 Formule - Les lois de De Morgan sont $\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B$ et $\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B$.

Compléments

📐 Formule - Les opérations sur un ensemble et son contraire vérifient $A\cup\bar A=E$ et $A\cap\bar A=\varnothing$.

📐 Formule - Pour tout ensemble A, on a $A\cup A=A$ et $A\cap A=A$, ainsi que $A\cup\varnothing=A$ et $A\cap\varnothing=\varnothing$.

📐 Formule - Si $A\subset B$, alors $A\cup B=B$ et $A\cap B=A$.

📐 Formule - L’union et l’intersection sont commutatives : $A\cup B=B\cup A$ et $A\cap B=B\cap A$.

📐 Formule - Les opérations distributives vérifient $A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C)$ et $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$.

📖 7. Cardinaux et dénombrement des unions

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Le cardinal d’un ensemble E, noté card(E), est son nombre d’éléments ; dénombrer un ensemble fini consiste à déterminer son cardinal.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si A et B sont disjoints, alors $\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)$.

📐 Formule - Pour deux ensembles finis quelconques, $\operatorname{card}(A\cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A\cap B)$.

Compléments

📐 Formule - Le cardinal de l’ensemble vide est $\operatorname{card}(\varnothing)=0$.

📐 Formule - S’il existe une injection de A dans B, alors $\operatorname{card}(A)\leq\operatorname{card}(B)$.

📐 Formule - Si A est inclus dans un ensemble fini E, alors son complémentaire vérifie $\operatorname{card}(C_E(A))=\operatorname{card}(E)-\operatorname{card}(A)$.

📐 Formule - Le cardinal d’un produit cartésien de deux ensembles finis vérifie $\operatorname{card}(A\times B)=\operatorname{card}(A)\times\operatorname{card}(B)$.

📐 Formule - Pour des ensembles finis deux à deux disjoints, le cardinal de leur union est la somme de leurs cardinaux : $\operatorname{card}(A_1\cup\cdots\cup A_n)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{card}(A_i)$.

📐 Formule - La formule du crible pour trois ensembles finis est $\operatorname{card}(A\cup B\cup C)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)+\operatorname{card}(C)-\operatorname{card}(A\cap B)-\operatorname{card}(A\cap C)-\operatorname{card}(B\cap C)+\operatorname{card}(A\cap B\cap C)$.

📐 Formule - Pour n ensembles finis, le cardinal de leur produit cartésien est $\operatorname{card}(A_1\times\cdots\times A_n)=\prod_{i=1}^{n}\operatorname{card}(A_i)$.

💡 Astuce mémo

Union disjointe : on additionne ; union avec intersection : on soustrait le chevauchement.