QCM : Dénombrement et théorie des ensembles (17 questions)

Explication

Une hypothèse certaine a une probabilité de 1, tandis qu’une hypothèse sans chance de se réaliser a une probabilité de 0. La valeur 0 correspond donc à l’impossibilité, et 0,5 à une probabilité intermédiaire.

Explication

Sans remise, le nombre de choix diminue à chaque tirage : $12 \times 11 \times 10 = 1\,320$. Le résultat 1 728 maintient 12 possibilités à chaque tirage, tandis que 220 ne tient pas compte de l’ordre.

Explication

Les postes étant distincts, l’ordre des personnes choisies compte, et chaque personne ne peut recevoir qu’un poste : il s’agit d’un arrangement sans répétition. Une combinaison ignore l’ordre, tandis qu’un arrangement avec répétition permettrait de réutiliser une personne.

Explication

La formule des arrangements donne $A_7^2 = \frac{7!}{(7-2)!} = 7 \times 6 = 42$. Le résultat 21 divise par $2!$ comme pour une combinaison, tandis que 49 maintient sept choix à la seconde place.

Explication

Pour former le comité, seul le groupe de quatre personnes importe, pas l’ordre dans lequel elles sont choisies : c’est une combinaison. Un arrangement tient compte de l’ordre, et une permutation dénombre le rangement de l’ensemble des personnes.

Explication

La symétrie donne $C_n^k=C_n^{n-k}$ ; ici, $C_9^7=C_9^2=36$. La valeur 84 correspond à $C_9^3$, 28 à un coefficient d’une autre ligne, et 9 à un coefficient de bord.

Explication

La relation de Pascal est $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$ ; pour $n=8$ et $k=3$, elle donne $C_8^3=C_7^2+C_7^3$. Les autres expressions utilisent la mauvaise ligne, les mauvais indices ou une soustraction.

Explication

Dans la formule du binôme, le terme en $a^3b^2$ correspond à $k=2$ et vaut $C_5^2a^3b^2=10a^3b^2$. L’expression $10a^2b^3$ inverse les exposants, tandis que les autres propositions donnent des exposants ou un coefficient incorrects.

Explication

On exclut les équipes conflictuelles du total : $150-60=90$ équipes non conflictuelles. 210 résulte d’une addition, 60 est le nombre à exclure et −90 vient d’une soustraction inversée.

Explication

Le nombre de plaques est $9\times10\times10\times10\times24\times23=4\,968\,000$ : le premier chiffre a 9 choix et les lettres distinctes, ordonnées, en ont 24 puis 23. Les autres nombres correspondent à autoriser un premier zéro, à répéter une lettre ou à ignorer l’ordre des lettres.

Explication

Un ensemble est une collection d’éléments considérée dans sa totalité ; on le nomme par une lettre majuscule et ses éléments par des lettres minuscules. La minuscule pour l’ensemble inverse la convention, tandis que les chiffres ne sont pas la notation indiquée.

Explication

Un système complet exige à la fois l’incompatibilité deux à deux et une union qui couvre toutes les issues possibles. L’incompatibilité seule ou une couverture partielle ne suffit pas, et il n’est pas nécessaire d’avoir un événement par issue.

Explication

La loi de De Morgan transforme le complément d’une union en intersection des complémentaires : les issues recherchées sont hors de $A$ et hors de $B$. L’expression portant sur $A\cap B$ change l’opération complémentée, tandis que l’union des complémentaires décrit une condition différente.

Explication

Quand $A\subset B$, l’union contient tous les éléments de $B$, donc vaut $B$, tandis que les éléments communs aux deux ensembles sont ceux de $A$. Inverser ces résultats confond union et intersection ; l’inclusion ne signifie ni disjonction ni égalité.

Explication

Le cardinal est le nombre d’éléments d’un ensemble, et dénombrer un ensemble fini consiste à déterminer ce nombre. Le nombre de sous-ensembles correspond à une autre quantité, tandis que l’ensemble des éléments et leur réunion ne désignent pas le cardinal.

Explication

Comme les groupes sont disjoints, le cardinal de leur réunion est la somme de leurs cardinaux : $7+5=12$. La différence inverse l’opération, le produit relève du produit cartésien, et retrancher un membre commun suppose un chevauchement absent.

Explication

Pour deux ensembles quelconques, on additionne les effectifs puis on soustrait l’intersection comptée deux fois : $18+14-6=26$. Le total de 32 oublie le chevauchement, tandis que 10 correspond à soustraire l’intersection des effectifs.