QCM : Nombres complexes et applications géométriques (18 questions)

Question 1

1. Une calculatrice doit simplifier $i^{38}$ en utilisant la période des puissances de $i$ . Quel résultat obtient-elle ?

-i

1

-1

i

Explication

Les puissances de $i$ se répètent tous les quatre exposants, et $38=4\times 9+2$ , donc $i^{38}=i^2=-1$ . Le résultat $i$ correspond au reste 1, $1$ au reste 0 et $-i$ au reste 3.

Answer

$$\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}(2X)^{3-k}Y^k$$

Answer

$$\frac{6!}{2!\,4!}$$

Answer

L’angle orienté de l’axe réel positif vers $$\overrightarrow{OM}$$

Answer

$$\frac{7\pi}{12}$$

Answer

$$\frac{\pi}{2}$$

Answer

$$8(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})$$

Answer

$$\frac{u-u^{-1}}{2i}$$

Answer

$$\frac{16}{25}$$

Answer

Le quotient $$\frac{\dfrac{z_C-z_A}{z_C-z_B}}{\dfrac{z_D-z_A}{z_D-z_B}}$$ est réel.

Question 2

2. On additionne $z=4-3i$ et $z'=-2+5i$ . Quelle est la forme algébrique de $z+z'$ ?

6+2i

2+2i

2+15i

2-8i

Explication

Pour additionner deux complexes, on additionne séparément les parties réelles et les coefficients de $i$ : $4+(-2)=2$ et $-3+5=2$ . La réponse $2-8i$ soustrait les coefficients imaginaires, $6+2i$ additionne mal les parties réelles, et $2+15i$ les multiplie.

Question 3

3. Pour développer $(2X+Y)^3$ avec le binôme de Newton, quelle somme donne directement le développement ?

\sum_{k=0}^{3}(2X)^{3-k}Y^k

\sum_{k=0}^{2}\binom{2}{k}(2X)^{2-k}Y^k

\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}(2X)^{3-k}Y^k

\sum_{k=0}^{3}\binom{3}{k}(2X)^kY^{3-k}

Explication

Le binôme de Newton donne $(Z+Z')^m=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}Z^{m-k}(Z')^k$ ; ici $Z=2X$ , $Z'=Y$ et $m=3$ . L’expression avec les exposants inversés permute les puissances, celle sans coefficients les omet, et la dernière prend un mauvais exposant.

Question 4

4. Pour calculer le coefficient binomial $\binom{6}{2}$ à l’aide de sa formule, quelle expression faut-il évaluer ?

\frac{6!}{2!\,8!}

\frac{6!}{4!}

\frac{6!}{2!\,4!}

\frac{2!\,4!}{6!}

Explication

La formule est $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ; pour $n=6$ et $k=2$ , elle donne $\frac{6!}{2!\,4!}$ . Omettre $2!$ , utiliser $6+2$ ou inverser la fraction correspond à des erreurs distinctes d’application de la formule.

Question 5

5. Dans le plan complexe, quel nombre complexe est associé au point $M(4\,;\,-3)$ ?

-4+3i

4+3i

-3+4i

4-3i

Explication

Un point $M(a\,;\,b)$ a pour affixe $a+ib$ : ici, les coordonnées donnent $4-3i$ . L’inversion des coordonnées conduit à $-3+4i$ , l’oubli du signe à $4+3i$ , et le changement des deux signes à $-4+3i$ .

Question 6

6. Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A=-2+i$ et $z_B=3-4i$ . Quelle est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

5-5i

-5+5i

-6+3i

1-3i

Explication

L’affixe de $\overrightarrow{AB}$ se calcule par $z_B-z_A$ , soit $(3-4i)-(-2+i)=5-5i$ . La réponse $-5+5i$ inverse l’ordre de la soustraction, $1-3i$ soustrait les coefficients sans tenir compte des signes, et $-6+3i$ additionne les affixes.

Question 7

7. Les points $A$ , $B$ et $C$ ont pour affixes $z_A=1+2i$ , $z_B=4-i$ et $z_C=-2+3i$ . Quelle affixe faut-il attribuer à $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme ?

-1+4i

-5+6i

1

-7+4i

Explication

Pour un parallélogramme, $z_D=z_C+z_B-z_A$ . Le calcul donne $(-2+3i)+(4-i)-(1+2i)=1$ ; $z_A+z_B-z_C$ inverse les rôles de A et C, $z_B+z_C$ omet la soustraction de A, et $z_A+z_C-z_B$ utilise une relation différente.

Question 8

8. Quel est le conjugué du nombre complexe $z=-5+2i$ ?

5+2i

5-2i

-5-2i

-5+2i

Explication

Le conjugué de $a+ib$ est $a-ib$ : la partie réelle reste inchangée et le signe de la partie imaginaire s’inverse. $5+2i$ inverse seulement la partie réelle, $-5+2i$ ne conjugue pas, et $5-2i$ inverse les deux signes.

Question 9

9. Pour $z=2-i$ et $w=-1+3i$ , quel est le conjugué du produit $zw$ ?

-5+i

1+5i

-1-5i

1-5i

Explication

La conjugaison respecte les produits : $\overline{zw}=\bar z\bar w=(2+i)(-1-3i)=1-5i$ . $1+5i$ garde le signe imaginaire du produit initial, $-1-5i$ résulte d’une erreur de signe dans le produit, et $-5+i$ ne correspond pas à la multiplication des conjugués.

Question 10

10. Un nombre complexe a pour partie réelle $-5$ et pour partie imaginaire $12$ . Quel est son module ?

169

13

7

17

Explication

Le module de $a+ib$ vaut $\sqrt{a^2+b^2}$ , donc ici $\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ . La somme des carrés donne 169, leur différence donne 119 et la somme des valeurs absolues donne 17.

Question 11

11. Deux complexes $z$ et $z'$ ont pour modules respectifs $6$ et $4$ . Quelle borne supérieure peut-on garantir pour $|z-z'|$ ?

|z+z'|\leq |z|+|z'|

|z|+|z'|<|z-z'|

2

10

Explication

L’inégalité triangulaire donne $|z-z'|\leq |z|+|z'|=6+4=10$ . La différence des modules vaut 2, mais ce n’est pas la borne demandée; l’inégalité concernant $|z+z'|$ porte sur une somme, et le sens inversé est incorrect.

Question 12

12. Dans le plan complexe, que représente un argument d’un complexe non nul $z$ d’image $M$ ?

L’angle orienté de l’axe réel positif vers

\overrightarrow{OM}

L’abscisse du point

M

dans le plan complexe

L’angle orienté de l’axe imaginaire positif vers

\overrightarrow{OM}

La longueur du vecteur

\overrightarrow{OM}

Explication

Un argument est la mesure de l’angle orienté entre l’axe réel positif et le vecteur $\overrightarrow{OM}$ . La longueur de ce vecteur correspond au module, tandis que l’abscisse est la partie réelle.

Question 13

13. Deux complexes non nuls ont pour arguments $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{4}$ . Quel est un argument de leur produit, à $2\pi$ près ?

\frac{\pi^2}{12}

\frac{7}{12}

\frac{\pi}{12}

\frac{7\pi}{12}

Explication

L’argument d’un produit de complexes non nuls est la somme de leurs arguments, à $2\pi$ près : $\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{12}$ . La soustraction correspond au quotient; multiplier les angles ou omettre le facteur $\pi$ ne convient pas.

Question 14

14. Les arguments de deux complexes non nuls $z$ et $z'$ sont respectivement $\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{3}$ . Quel est un argument de $\frac{z}{z'}$ , à $2\pi$ près ?

-\frac{\pi}{2}

\frac{\pi}{2}

\frac{1}{2}

\frac{7\pi}{6}

Explication

L’argument d’un quotient est la différence $\arg(z)-\arg(z')$ , à $2\pi$ près : $\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$ . L’addition concerne le produit; inverser la différence donne $-\frac{\pi}{2}$ , et oublier $\pi$ donne une valeur sans l’unité angulaire correcte.

Question 15

15. On écrit $z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ . Quelle est la forme trigonométrique de $z^3$ ?

6(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})

8(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6})

8(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})

2(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2})

Explication

La formule de Moivre donne $z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$ . Ici, $2^3=8$ et $3\times\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ ; conserver le module ou l’angle, ou remplacer $2^3$ par $3\times2$ , applique mal la formule.

Question 16

16. Pour un angle réel $\theta$ , on pose $u=e^{i\theta}$ . Quelle expression donne $\sin\theta$ à partir de $u$ et de son inverse ?

\frac{u-u^{-1}}{2i}

\frac{u-u^{-1}}{2}

\frac{u^{-1}-u}{2i}

\frac{u+u^{-1}}{2}

Explication

La formule d’Euler exprime le sinus par la différence des exponentielles, divisée par $2i$ . La somme correspond au cosinus, l’absence de $i$ omet un facteur essentiel et l’ordre inversé donne l’opposé du sinus.

Question 17

17. Un angle réel $x$ vérifie $\cos x=\frac{3}{5}$ . Quelle valeur de $\sin^2 x$ découle de l’identité trigonométrique fondamentale ?

\frac{16}{25}

\frac{2}{5}

\frac{34}{25}

\frac{4}{5}

Explication

Comme $\cos^2 x+\sin^2 x=1$ , on obtient $\sin^2 x=1-(3/5)^2=1-9/25=16/25$ . La valeur $2/5$ provient de l’oubli du carré, tandis que $4/5$ correspond à une soustraction erronée.

Question 18

18. Quatre points distincts $A,B,C,D$ ont pour affixes respectives $z_A=0$ , $z_B=1$ , $z_C=2+i$ et $z_D=1+i$ . Quel critère permet de conclure qu’ils sont concycliques ?

Le quotient

\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}

est réel.

Le quotient

\frac{z_D-z_A}{z_C-z_B}

est réel.

Le quotient

\frac{\dfrac{z_C-z_A}{z_C-z_B}}{\dfrac{z_D-z_B}{z_D-z_A}}

est réel.

Le quotient

\frac{\dfrac{z_C-z_A}{z_C-z_B}}{\dfrac{z_D-z_A}{z_D-z_B}}

est réel.

Explication

Pour quatre points distincts, la cocyclicité est caractérisée par la réalité du quotient $\frac{\dfrac{z_C-z_A}{z_C-z_B}}{\dfrac{z_D-z_A}{z_D-z_B}}$ . Le quotient d’alignement concerne trois points, tandis que l’inversion des facteurs associés à D modifie le critère.

QCM : Nombres complexes et applications géométriques (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une calculatrice doit simplifier $i^{38}$ en utilisant la période des puissances de $i$ . Quel résultat obtient-elle ?

2. On additionne $z=4-3i$ et $z'=-2+5i$ . Quelle est la forme algébrique de $z+z'$ ?

3. Pour développer $(2X+Y)^3$ avec le binôme de Newton, quelle somme donne directement le développement ?

4. Pour calculer le coefficient binomial $\binom{6}{2}$ à l’aide de sa formule, quelle expression faut-il évaluer ?

5. Dans le plan complexe, quel nombre complexe est associé au point $M(4\,;\,-3)$ ?

6. Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A=-2+i$ et $z_B=3-4i$ . Quelle est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

7. Les points $A$ , $B$ et $C$ ont pour affixes $z_A=1+2i$ , $z_B=4-i$ et $z_C=-2+3i$ . Quelle affixe faut-il attribuer à $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme ?

8. Quel est le conjugué du nombre complexe $z=-5+2i$ ?

9. Pour $z=2-i$ et $w=-1+3i$ , quel est le conjugué du produit $zw$ ?

10. Un nombre complexe a pour partie réelle $-5$ et pour partie imaginaire $12$ . Quel est son module ?

11. Deux complexes $z$ et $z'$ ont pour modules respectifs $6$ et $4$ . Quelle borne supérieure peut-on garantir pour $|z-z'|$ ?

12. Dans le plan complexe, que représente un argument d’un complexe non nul $z$ d’image $M$ ?

13. Deux complexes non nuls ont pour arguments $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{4}$ . Quel est un argument de leur produit, à $2\pi$ près ?

14. Les arguments de deux complexes non nuls $z$ et $z'$ sont respectivement $\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{3}$ . Quel est un argument de $\frac{z}{z'}$ , à $2\pi$ près ?

15. On écrit $z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ . Quelle est la forme trigonométrique de $z^3$ ?

16. Pour un angle réel $\theta$ , on pose $u=e^{i\theta}$ . Quelle expression donne $\sin\theta$ à partir de $u$ et de son inverse ?

17. Un angle réel $x$ vérifie $\cos x=\frac{3}{5}$ . Quelle valeur de $\sin^2 x$ découle de l’identité trigonométrique fondamentale ?

18. Quatre points distincts $A,B,C,D$ ont pour affixes respectives $z_A=0$ , $z_B=1$ , $z_C=2+i$ et $z_D=1+i$ . Quel critère permet de conclure qu’ils sont concycliques ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Biologie animale des annélides et mollusques

Cultures in vitro végétales

Rythmes biologiques et préparation mentale

Réplication de l’ADN et PCR

Divisions cellulaires et réplication

Dénombrement et théorie des ensembles

Crée tes propres QCM

QCM : Nombres complexes et applications géométriques (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une calculatrice doit simplifier i38i^{38}i38 en utilisant la période des puissances de iii. Quel résultat obtient-elle ?

2. On additionne z=4−3iz=4-3iz=4−3i et z′=−2+5iz'=-2+5iz′=−2+5i. Quelle est la forme algébrique de z+z′z+z'z+z′ ?

3. Pour développer (2X+Y)3 (2X+Y)^3 (2X+Y)3 avec le binôme de Newton, quelle somme donne directement le développement ?

4. Pour calculer le coefficient binomial (62)\binom{6}{2}(26​) à l’aide de sa formule, quelle expression faut-il évaluer ?

5. Dans le plan complexe, quel nombre complexe est associé au point M(4 ; −3)M(4\,;\,-3)M(4;−3) ?

6. Les points AAA et BBB ont pour affixes zA=−2+iz_A=-2+izA​=−2+i et zB=3−4iz_B=3-4izB​=3−4i. Quelle est l’affixe du vecteur AB→\overrightarrow{AB}AB ?

7. Les points AAA, BBB et CCC ont pour affixes zA=1+2iz_A=1+2izA​=1+2i, zB=4−iz_B=4-izB​=4−i et zC=−2+3iz_C=-2+3izC​=−2+3i. Quelle affixe faut-il attribuer à DDD pour que ABCDABCDABCD soit un parallélogramme ?

8. Quel est le conjugué du nombre complexe z=−5+2iz=-5+2iz=−5+2i ?

9. Pour z=2−iz=2-iz=2−i et w=−1+3iw=-1+3iw=−1+3i, quel est le conjugué du produit zwzwzw ?

10. Un nombre complexe a pour partie réelle −5-5−5 et pour partie imaginaire 121212. Quel est son module ?

11. Deux complexes zzz et z′z'z′ ont pour modules respectifs 666 et 444. Quelle borne supérieure peut-on garantir pour ∣z−z′∣|z-z'|∣z−z′∣ ?

12. Dans le plan complexe, que représente un argument d’un complexe non nul zzz d’image MMM ?

13. Deux complexes non nuls ont pour arguments π3\frac{\pi}{3}3π​ et π4\frac{\pi}{4}4π​. Quel est un argument de leur produit, à 2π2\pi2π près ?

14. Les arguments de deux complexes non nuls zzz et z′z'z′ sont respectivement 5π6\frac{5\pi}{6}65π​ et π3\frac{\pi}{3}3π​. Quel est un argument de zz′\frac{z}{z'}z′z​, à 2π2\pi2π près ?

15. On écrit z=2(cos⁡π6+isin⁡π6)z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)z=2(cos6π​+isin6π​). Quelle est la forme trigonométrique de z3z^3z3 ?

16. Pour un angle réel θ\thetaθ, on pose u=eiθu=e^{i\theta}u=eiθ. Quelle expression donne sin⁡θ\sin\thetasinθ à partir de uuu et de son inverse ?

17. Un angle réel xxx vérifie cos⁡x=35\cos x=\frac{3}{5}cosx=53​. Quelle valeur de sin⁡2x\sin^2 xsin2x découle de l’identité trigonométrique fondamentale ?

18. Quatre points distincts A,B,C,DA,B,C,DA,B,C,D ont pour affixes respectives zA=0z_A=0zA​=0, zB=1z_B=1zB​=1, zC=2+iz_C=2+izC​=2+i et zD=1+iz_D=1+izD​=1+i. Quel critère permet de conclure qu’ils sont concycliques ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Biologie animale des annélides et mollusques

Cultures in vitro végétales

Rythmes biologiques et préparation mentale

Réplication de l’ADN et PCR

Divisions cellulaires et réplication

Dénombrement et théorie des ensembles

Crée tes propres QCM

1. Une calculatrice doit simplifier $i^{38}$ en utilisant la période des puissances de $i$ . Quel résultat obtient-elle ?

2. On additionne $z=4-3i$ et $z'=-2+5i$ . Quelle est la forme algébrique de $z+z'$ ?

3. Pour développer $(2X+Y)^3$ avec le binôme de Newton, quelle somme donne directement le développement ?

4. Pour calculer le coefficient binomial $\binom{6}{2}$ à l’aide de sa formule, quelle expression faut-il évaluer ?

5. Dans le plan complexe, quel nombre complexe est associé au point $M(4\,;\,-3)$ ?

6. Les points $A$ et $B$ ont pour affixes $z_A=-2+i$ et $z_B=3-4i$ . Quelle est l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ ?

7. Les points $A$ , $B$ et $C$ ont pour affixes $z_A=1+2i$ , $z_B=4-i$ et $z_C=-2+3i$ . Quelle affixe faut-il attribuer à $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme ?

8. Quel est le conjugué du nombre complexe $z=-5+2i$ ?

9. Pour $z=2-i$ et $w=-1+3i$ , quel est le conjugué du produit $zw$ ?

10. Un nombre complexe a pour partie réelle $-5$ et pour partie imaginaire $12$ . Quel est son module ?

11. Deux complexes $z$ et $z'$ ont pour modules respectifs $6$ et $4$ . Quelle borne supérieure peut-on garantir pour $|z-z'|$ ?

12. Dans le plan complexe, que représente un argument d’un complexe non nul $z$ d’image $M$ ?

13. Deux complexes non nuls ont pour arguments $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{\pi}{4}$ . Quel est un argument de leur produit, à $2\pi$ près ?

14. Les arguments de deux complexes non nuls $z$ et $z'$ sont respectivement $\frac{5\pi}{6}$ et $\frac{\pi}{3}$ . Quel est un argument de $\frac{z}{z'}$ , à $2\pi$ près ?

15. On écrit $z=2\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)$ . Quelle est la forme trigonométrique de $z^3$ ?

16. Pour un angle réel $\theta$ , on pose $u=e^{i\theta}$ . Quelle expression donne $\sin\theta$ à partir de $u$ et de son inverse ?

17. Un angle réel $x$ vérifie $\cos x=\frac{3}{5}$ . Quelle valeur de $\sin^2 x$ découle de l’identité trigonométrique fondamentale ?

18. Quatre points distincts $A,B,C,D$ ont pour affixes respectives $z_A=0$ , $z_B=1$ , $z_C=2+i$ et $z_D=1+i$ . Quel critère permet de conclure qu’ils sont concycliques ?