Nombres complexes et applications géométriques

📋 Plan du Cours

1. Puissances et opérations dans les complexes
2. Binôme de Newton et coefficients
3. Affixes et géométrie du plan
4. Conjugué d’un nombre complexe
5. Module et argument
6. Formes trigonométrique et exponentielle
7. Formules d’Euler et trigonométrie
8. Configurations géométriques complexes

📖 1. Puissances et opérations dans les complexes

★ À maîtriser

• Les puissances de i suivent un cycle de période 4 : i² = −1, i³ = −i et i⁴ = 1.

📐 Formule - Pour z = x + iy et z′ = x′ + iy′, $z+z′=(x+x′)+i(y+y′)$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout entier naturel k, $i^{4k}=1$ et $i^{4k+1}=i$.

📐 Formule - Si z = x + iy est non nul, $\frac1z=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$.

📖 2. Binôme de Newton et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Le produit des entiers de n à 1, avec 0! = 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le binôme de Newton s’écrit $(Z+Z′)^m=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}Z^{m-k}Z′^k$ pour un entier naturel m.

📐 Formule - Le coefficient binomial vaut $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Compléments