Fiche de révision : Nombres complexes et applications géométriques

📋 Plan du Cours

1. Puissances et opérations dans les complexes
2. Binôme de Newton et coefficients
3. Affixes et géométrie du plan
4. Conjugué d’un nombre complexe
5. Module et argument
6. Formes trigonométrique et exponentielle
7. Formules d’Euler et trigonométrie
8. Configurations géométriques complexes

📖 1. Puissances et opérations dans les complexes

★ À maîtriser

• Les puissances de i suivent un cycle de période 4 : i² = −1, i³ = −i et i⁴ = 1.

📐 Formule - Pour z = x + iy et z′ = x′ + iy′, $z+z′=(x+x′)+i(y+y′)$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout entier naturel k, $i^{4k}=1$ et $i^{4k+1}=i$.

📐 Formule - Si z = x + iy est non nul, $\frac1z=\frac{x-iy}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}$.

📖 2. Binôme de Newton et coefficients

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Le produit des entiers de n à 1, avec 0! = 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le binôme de Newton s’écrit $(Z+Z′)^m=\sum_{k=0}^{m}\binom{m}{k}Z^{m-k}Z′^k$ pour un entier naturel m.

📐 Formule - Le coefficient binomial vaut $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Compléments

• Les coefficients binomiaux vérifient Cₙ⁰ = 1, Cₙ¹ = n, Cₙⁿ⁻¹ = n et Cₙⁿ = 1.

• Le développement de (a+b)⁴ est a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴.

📖 3. Affixes et géométrie du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Affixe : Le nombre complexe z = a + ib associé au point M(a ; b) du plan complexe.

★ À maîtriser

• L’affixe du vecteur \overrightarrow{AB} est $z_B-z_A$.

📐 Formule - Pour que ABCD soit un parallélogramme, l’affixe de D vérifie $z_D=z_C+z_B-z_A$.

Compléments

📐 Formule - L’affixe du milieu G de [AB] est $z_G=\frac{z_A+z_B}{2}$.

📐 Formule - L’affixe du centre de gravité G du triangle ABC est $z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$.

📖 4. Conjugué d’un nombre complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Conjugué : Le nombre complexe \bar z = a − ib.

★ À maîtriser

📌 La conjugaison respecte les sommes, différences, produits, quotients définis et puissances : par exemple, \overline{zz′}=\bar z\bar z′ et \overline{z^m}=(\bar z)^m.

Compléments

• Dans le plan complexe, les points images d’un nombre complexe et de son conjugué sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.

📐 Formule - La somme d’un complexe et de son conjugué vaut $z+\bar z=2\operatorname{Re}(z)$.

📐 Formule - Le produit d’un complexe par son conjugué vaut $z\bar z=a^2+b^2$ pour z = a + ib.

💡 Astuce mémo

Le conjugué échange le signe de la partie imaginaire, sans changer la partie réelle.

📖 5. Module et argument

🔑 Notions clés & Définitions

• Module : Le réel positif $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Argument : La mesure de l’angle orienté entre l’axe réel positif et le vecteur \overrightarrow{OM} du point image M de z.

★ À maîtriser

📌 Pour deux complexes z et z′, l’inégalité triangulaire donne $|z-z′|\leq |z|+|z′|$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout complexe z, $|z|=|\bar z|=|-z|$.

📐 Formule - Pour z non nul, $\left|\frac1z\right|=\frac1{|z|}$.

📐 Formule - Pour z = a + ib non nul et d’argument θ, $\cos\theta=\frac{a}{|z|}$ et $\sin\theta=\frac{b}{|z|}$.

💡 Astuce mémo

Le module est la distance à l’origine ; l’argument est l’angle orienté depuis l’axe réel.

📖 6. Formes trigonométrique et exponentielle

★ À maîtriser

📐 Formule - Si z et z′ sont non nuls, $\arg(zz′)=\arg(z)+\arg(z′)$ à 2π près.

📐 Formule - Si z et z′ sont non nuls, $\arg\left(\frac{z}{z′}\right)=\arg(z)-\arg(z′)$ à 2π près.

📐 Formule - Pour z = r(cos θ + i sin θ), la formule de Moivre donne $z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$.

Compléments

• Pour z = r(cos θ + i sin θ) et z′ = r′(cos θ′ + i sin θ′), leur produit a pour module rr′ et pour argument θ + θ′.

• Pour z = r(cos θ + i sin θ) et z′ = r′(cos θ′ + i sin θ′), leur quotient a pour module r/r′ et pour argument θ − θ′.

📐 Formule - La forme exponentielle d’un complexe est z = re^{iθ}, et ses puissances vérifient $z^m=r^m e^{im\theta}$.

📖 7. Formules d’Euler et trigonométrie

★ À maîtriser

📐 Formule - La formule d’Euler donne $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$ et $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos^2x+\sin^2x=1$.

Compléments

• Le cosinus est pair et le sinus est impair : cos(−x) = cos x et sin(−x) = −sin x.

📐 Formule - Pour tout entier k, $\sin(k\pi)=0$ et $\cos(k\pi)=(-1)^k$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$.

• Pour z = 1 + e^{iθ}, la mise en facteur donne $z=2\cos\left(\frac\theta2\right)e^{i\theta/2}$.

📖 8. Configurations géométriques complexes

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour que A, B et C soient alignés, avec A ≠ B, le quotient $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ doit être réel.

📐 Formule - Pour que A, B, C et D soient concycliques, avec les quatre points distincts, le quotient $\frac{\dfrac{z_C-z_A}{z_C-z_B}}{\dfrac{z_D-z_A}{z_D-z_B}}$ doit être réel.