Fiche de révision : Mathématiques financières

📋 Plan du Cours

1. Objet des mathématiques financières
2. Intérêts simples et valeurs financières
3. Taux de placement et intérêts précomptés
4. Escompte et équivalence des effets
5. Capitalisation à intérêts composés
6. Caractéristiques des annuités
7. Annuités constantes de fin de période
8. Annuités constantes de début de période
9. Annuités variables quelconques
10. Annuités en progression arithmétique
11. Emprunts indivis et amortissement
12. Emprunts obligataires
13. Rentabilité des investissements

📖 1. Objet des mathématiques financières

🔑 Notions clés & Définitions

• Mathématiques financières : Modélisent, quantifient et aident à comprendre les phénomènes financiers en s’appuyant notamment sur le facteur temps.

📝 Points essentiels

• Le cours étudie les opérations financières portant sur les emprunts, les prêts, l’épargne, les investissements et leurs modalités d’exécution.

📖 2. Intérêts simples et valeurs financières

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêt : Le loyer de l’argent prêté ou emprunté et s’applique généralement aux opérations de court terme, d’une durée inférieure ou égale à un an.
• Intérêt simple : Proportionnel à la durée de l’opération et calculé sur le capital initial, qui reste identique pendant toute la durée du placement.
• Valeur acquise : La somme du capital placé et des intérêts qu’il a produits à l’échéance.
• Valeur actuelle : La valeur d’un capital à recevoir dans le futur ramenée à aujourd’hui en retranchant les intérêts simples correspondants.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’intérêt simple vérifie $I=C_0\times i\times n$, où $C_0$ est le capital initial, $i$ le taux par période et $n$ la durée exprimée dans la même unité que le taux.

Compléments

• Pour calculer une durée de placement en jours, on ne compte pas le premier jour mais on compte le dernier, on utilise les jours exacts de chaque mois et la convention bancaire retient 360 jours par année.

📐 Formule - En intérêts simples, la valeur acquise après $n$ jours au taux annuel en pourcentage $t$ vérifie $C_n=C_0+\frac{C_0tn}{36000}$.

📐 Formule - En intérêts simples, la valeur actuelle vérifie $C_0=C_n-\frac{C_ntn}{36000}$, où $t$ est le taux annuel en pourcentage et $n$ la durée en jours.

💡 Astuce mémo

Le capital reste fixe en intérêts simples, contrairement aux intérêts composés qui se capitalisent.

📖 3. Taux de placement et intérêts précomptés

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux global : Le taux global mesure le rendement cumulé de variations successives et vérifie $1+i_G=(1+i_1)(1+i_2)\cdots(1+i_n)$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des placements de capitaux $C_j$ aux taux annuels en pourcentage $t_j$ pendant $n_j$ jours, le taux moyen est $T_M=\frac{\sum_j C_jt_jn_j}{\sum_j C_jn_j}$.

📌 Des intérêts payés en fin de période sont post-comptés ou à terme échu et sont calculés sur le capital initial, tandis que des intérêts payés d’avance sont précomptés ou à terme à échoir et sont retranchés du nominal pour déterminer la somme initialement mise à disposition.

Compléments

• Le taux moyen de plusieurs placements est le taux unique qui, appliqué aux mêmes capitaux pendant les mêmes durées, produit un intérêt égal à la somme des intérêts des placements.

📐 Formule - Pour des intérêts précomptés, le taux effectif vérifie $T_E=\frac{t}{1-\frac{tn}{36000}}$, où $t$ est le taux convenu en pourcentage et $n$ la durée en jours.

• Le taux moyen de placement ne dépend pas de la périodicité des emprunts ou des prêts.

📖 4. Escompte et équivalence des effets

🔑 Notions clés & Définitions

• Escompte : L’intérêt retenu par une banque qui avance à son client, contre une promesse écrite de paiement, une somme égale au montant de cette promesse diminué de la retenue.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’escompte commercial est calculé sur la valeur nominale et vérifie $E_c=\frac{C t_e n}{36000}$, où $t_e$ est le taux d’escompte en pourcentage et $n$ la durée en jours.

📐 Formule - L’escompte rationnel est calculé sur la valeur actuelle rationnelle $A$, avec $A=\frac{36000C}{36000+nt}$ et $E_r=\frac{Atn}{36000}$.

Compléments

• Dans l’escompte, la valeur reçue par le commerçant vérifie $V=C-E$, où $C$ est la valeur nominale de l’effet et $E$ l’escompte.

• L’agio d’escompte comprend :

  • l’escompte commercial
  • les commissions
  • la TVA

📌 Deux effets sont équivalents à une date donnée lorsque, escomptés dans les mêmes conditions, ils ont la même valeur actuelle ; un effet peut aussi équivaloir à plusieurs effets si sa valeur actuelle égale la somme de leurs valeurs actuelles.

• La date d’équivalence est unique, antérieure à l’échéance de chacun des effets et postérieure à leur date de création.

💡 Astuce mémo

Commercial : calculé sur le nominal ; rationnel : calculé sur l’avance réellement consentie.

📖 5. Capitalisation à intérêts composés

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérêts composés : Les intérêts d’un capital placé ou emprunté qui, à la fin de chaque période, s’ajoutent au capital et produisent eux-mêmes des intérêts durant les périodes suivantes.

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur acquise après $n$ périodes à intérêts composés est $C_n=C_0(1+i)^n$, où $i$ est le taux par période de capitalisation.

📐 Formule - La valeur actuelle d’un capital futur en intérêts composés est $C_0=C_n(1+i)^{-n}$.

📌 Les taux proportionnels sont utilisés pour les intérêts simples, tandis que les taux équivalents sont utilisés pour les intérêts composés.

Compléments

📌 La formule de valeur acquise à intérêts composés s’applique lorsque le taux et la durée sont exprimés selon la même périodicité que la capitalisation.

📐 Formule - Le taux proportionnel par période vérifie $i_p=\frac{i}{p}$, où $i$ est le taux annuel et $p$ le nombre de périodes dans l’année.

📐 Formule - Le taux équivalent par période vérifie $i_e=(1+i)^{1/p}-1$, où $i$ est le taux annuel et $p$ le nombre de périodes dans l’année.

📖 6. Caractéristiques des annuités

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite d’annuités : Une succession de versements destinée à constituer ou à rembourser un capital, dont on peut déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise à une date donnée.

★ À maîtriser

• Une suite d’annuités est caractérisée par :
  • sa périodicité
  • le nombre de versements
  • leur montant
  • la date des versements

Compléments

• Une suite d’annuités est certaine si les versements et leurs dates sont déterminés à l’avance, et aléatoire si leur réalisation dépend d’un événement incertain.

• Une suite à nombre fini de versements est temporaire si son échéance est connue d’avance et viagère si son échéance n’est pas connue d’avance ; une suite infinie est perpétuelle.

• Une suite dont les termes sont égaux est constante, tandis qu’une suite dont les termes ne sont pas égaux est variable.

• Une suite différée commence après la date d’origine, tandis qu’une suite non différée commence dès la première période.

• Une annuité versée en début de période est à terme à échoir, tandis qu’une annuité versée en fin de période est à terme échu.

📖 7. Annuités constantes de fin de période

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur acquise des annuités de fin de période : La somme des valeurs acquises par chaque annuité, calculée immédiatement après le dernier versement.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $n$ annuités constantes de fin de période de montant $a$ au taux par période $i$, la valeur acquise est $F_n=a\frac{(1+i)^n-1}{i}$.

📐 Formule - Pour $n$ annuités constantes de fin de période de montant $a$ au taux par période $i$, la valeur actuelle à la date d’origine est $F_0=a\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$.

Compléments

• La valeur acquise des annuités constantes de fin de période est évaluée à la fin de la dernière période, immédiatement après le dernier versement.

📖 8. Annuités constantes de début de période

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour n annuités constantes a versées en début de période au taux i, la valeur acquise en fin de nᵉ période est $D_n=a(1+i)\frac{(1+i)^n-1}{i}$.

📐 Formule - Pour n annuités constantes a versées en début de période au taux i, la valeur actuelle est $D_0=a(1+i)\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$.

Compléments

• Pour les annuités constantes de début de période, les versements sont effectués en début de période et la valeur acquise est recherchée à la fin de la n-ième période, sans inclure le versement du début de la période suivante.

💡 Astuce mémo

Début : un facteur (1+i) de plus que fin

📖 9. Annuités variables quelconques

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour des annuités quelconques a_p versées en fin de période, la valeur acquise et la valeur actuelle sont respectivement $F_n=\sum_{p=1}^{n}a_p(1+i)^{n-p}$ et $F_0=\sum_{p=1}^{n}a_p(1+i)^{-p}$.

📖 10. Annuités en progression arithmétique

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour des annuités de début de période en progression arithmétique de premier terme a et de raison r, les valeurs acquise et actuelle sont $D_n=\left(a+\frac{r}{i}\right)(1+i)\frac{(1+i)^n-1}{i}-\frac{nr}{i}(1+i)$ et $D_0=\left(a+\frac{r}{i}\right)(1+i)\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}-\frac{nr}{i}(1+i)^{-n+1}$.

• Pour a = 1 000 FCFA, n = 5, i = 5 % et r = 100 FCFA, la valeur acquise des annuités de fin de période en progression arithmétique est 6 576,894 FCFA.

📖 11. Emprunts indivis et amortissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Emprunt indivis : Emprunt ordinaire conclu entre un emprunteur et un prêteur unique.

★ À maîtriser

📌 La somme des amortissements d’un emprunt est égale au capital emprunté, et le capital restant dû après le dernier amortissement est nul.

📐 Formule - Pour un emprunt remboursé in fine, le capital est remboursé en une seule fois à la fin du contrat et l’intérêt périodique vaut $I=C_0i$.

📐 Formule - Pour un emprunt remboursé par annuités constantes, l’annuité vaut $a=m_1(1+i)^n$, où m_1 est le premier amortissement, et les amortissements suivent $m_p=m_1(1+i)^{p-1}$.

Compléments

• Un tableau d’amortissement distingue quatre éléments :
  • le capital restant dû
  • les intérêts de la période
  • l’amortissement du capital
  • l’annuité versée

📐 Formule - Pour un emprunt à annuités constantes, l’annuité liée au capital initial C_0 vaut $a=C_0\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}$.

📐 Formule - Après le paiement de la pᵉ annuité d’un emprunt à annuités constantes, le capital déjà remboursé est $R_p=C_0\frac{(1+i)^p-1}{(1+i)^n-1}$.

📐 Formule - Pour un emprunt à amortissements constants, l’amortissement par période vaut $m=\frac{C_0}{n}$ et les annuités diminuent selon $a_{p+1}-a_p=-\frac{C_0i}{n}$.

💡 Astuce mémo

In fine : capital à l’échéance ; amortissements constants : annuités décroissantes

📖 12. Emprunts obligataires

🔑 Notions clés & Définitions

• Emprunt obligataire : Emprunt de montant élevé divisé en parts égales négociables, souscrites par plusieurs prêteurs appelés obligataires ou souscripteurs.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le montant total d’un emprunt obligataire est égal au nombre N d’obligations multiplié par leur valeur nominale V_N : $C_0=NV_N$.

📌 La valeur nominale est la base de calcul des intérêts et du tableau d’amortissement, tandis que la valeur d’émission est le prix effectivement payé par le souscripteur.

📐 Formule - Le coupon par obligation est le produit de la valeur nominale par le taux nominal : $c=V_Ni$.

Compléments

📌 La valeur de remboursement est versée à l’échéance; lorsqu’elle dépasse la valeur nominale, le remboursement est au-dessus du pair.

• Les principales caractéristiques d’une obligation sont :
  • sa valeur nominale
  • sa valeur d’émission
  • sa valeur de remboursement
  • son taux nominal
  • sa date de souscription
  • sa date de jouissance
  • son coupon

📐 Formule - Dans un emprunt obligataire à annuités constantes, les amortissements progressent géométriquement de raison 1+r et vérifient $m_p=m_1(1+r)^{p-1}$, où r est le taux appliqué à la valeur de remboursement pour obtenir le coupon.

📐 Formule - Pour un emprunt obligataire remboursé par annuités constantes, l’annuité vaut $a=N V_R\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}$, où N est le nombre d’obligations émises et V_R leur valeur de remboursement.

📖 13. Rentabilité des investissements

🔑 Notions clés & Définitions

• Investissement : Affectation de ressources financières à l’acquisition d’un bien matériel ou immatériel en vue de produire des biens ou des services.
• Taux de rentabilité interne : Le taux de rentabilité interne est le taux d’actualisation qui annule la VAN, soit $0=-I_0+\sum_{t=1}^{T}\frac{F_t}{(1+TRI)^t}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La valeur actuelle nette à la date initiale est $VAN_0=-I_0+\sum_{t=1}^{T}\frac{F_t}{(1+i_a)^t}$.

📌 Un projet dont la VAN est positive augmente la valeur de l’entreprise, tandis qu’une VAN négative conduit à ne pas réaliser le projet selon ce critère.

📌 La rentabilité économique évalue le projet à partir de ses dépenses et recettes, tandis que la rentabilité financière tient compte des modes de financement, notamment l’emprunt et le crédit-bail.

Compléments

• Dans l’exemple de l’investissement de Soro, un investissement initial de 1 000 000 FCFA produit des flux annuels de 250 000 FCFA pendant 5 ans; avec un taux d’actualisation de 4 %, la VAN est d’environ 113 000 FCFA.

📐 Formule - La valeur actuelle nette intégrée, avec un taux de capitalisation i_c et un taux d’actualisation i_a, est $VANI_0=-I_0+\sum_{t=1}^{T}\frac{F_t(1+i_c)^{T-t}}{(1+i_a)^T}$.

📐 Formule - L’indice de profitabilité et l’indice de profitabilité intégré sont respectivement $IP_0=\frac{VAN_0}{I_0}$ et $IPI_0=\frac{VANI_0}{I_0}$.

📌 Un investissement est rentable selon le critère du TRI tant que le taux d’actualisation ou de financement en vigueur reste inférieur au TRI.

• Avec un financement par emprunt, l’investissement initial est posé nul dans le calcul décrit, car les annuités de remboursement, comprenant intérêts et amortissements, sont intégrées aux dépenses.

• Avec un financement par crédit-bail, les dépenses peuvent comprendre le dépôt de garantie, les loyers et le rachat éventuel du matériel, tandis que le dépôt de garantie est récupéré à la fin du contrat.

• Pour le calcul du TRI, le cours cite la méthode itérative de Newton-Raphson et la méthode itérative de Christian Jaumin (1979), dite méthode des échéances moyennes.

💡 Astuce mémo

VAN : taux choisi ; TRI : taux qui annule la VAN

📊 Tableaux de synthèse

Méthodes de calcul de l’escompte

Taux proportionnel et équivalent