Fiche de révision : Méthodes des différences finies

📋 Plan du Cours

1. Classification des équations aux dérivées partielles
2. Modèles physiques et grille de calcul
3. Développements de Taylor et différences finies
4. Discrétisation temporelle et schémas
5. Transport et schéma décentré amont
6. Diffusion et schémas de la chaleur
7. Consistance stabilité et convergence
8. CFL et principe du maximum discret
9. Analyse de stabilité de Von Neumann

📖 1. Classification des équations aux dérivées partielles

★ À maîtriser

📌 La classification par le terme principal donne : $\Delta>0$ elliptique, $\Delta=0$ parabolique et $\Delta<0$ hyperbolique.

📌 Les équations elliptiques décrivent des équilibres influencés par les données aux limites sur tout le domaine, les équations paraboliques décrivent la diffusion et le lissage dans le temps, et les équations hyperboliques décrivent la propagation de signaux à vitesse finie.

Compléments

📐 Formule - Pour une EDP linéaire du second ordre $A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}+\text{termes d’ordre inférieur}=f$, le discriminant du terme principal est $\Delta=AC-B^2$.

• Les modèles typiques sont l’équation de Poisson $-\Delta u=f$ pour l’elliptique, l’équation de la chaleur $u_t-\nu u_{xx}=0$ pour la parabolique et l’advection $u_t+cu_x=0$ pour l’hyperbolique.

📖 2. Modèles physiques et grille de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Advection linéaire : L’advection linéaire $u_t+cu_x=0$ est un problème hyperbolique où l’information se déplace à la vitesse c et dont la solution exacte est $u(x,t)=u_0(x-ct)$.
• Équation de diffusion : L’équation de diffusion $u_t=\nu u_{xx}$, avec $\nu>0$, est un modèle parabolique qui lisse les gradients au cours du temps.
• Stencil : Identifie les valeurs voisines de la grille utilisées pour calculer une nouvelle valeur.

📝 Points essentiels

• Une grille espace-temps utilise $x_j=j\Delta x$ et $t_n=n\Delta t$, et la valeur numérique $U_j^n$ approche $u(x_j,t_n)$.

📖 3. Développements de Taylor et différences finies

★ À maîtriser

• Les développements de Taylor des valeurs décalées permettent de construire les formules de différences finies, d’en déterminer l’ordre de précision et de calculer l’erreur locale de troncature.

📐 Formule - La différence centrée de la dérivée seconde est $u_{xx}(x_j)\approx\frac{U_{j+1}-2U_j+U_{j-1}}{\Delta x^2}$ et elle est d’ordre $O(\Delta x^2)$.

Compléments

📐 Formule - Les développements à gauche et à droite sont $u(x+\Delta x)=u(x)+\Delta x u_x+\frac{\Delta x^2}{2}u_{xx}+\frac{\Delta x^3}{6}u_{xxx}+O(\Delta x^4)$ et $u(x-\Delta x)=u(x)-\Delta x u_x+\frac{\Delta x^2}{2}u_{xx}-\frac{\Delta x^3}{6}u_{xxx}+O(\Delta x^4)$.

📐 Formule - Les approximations avant et arrière de la dérivée première sont $u_x(x_j)\approx\frac{U_{j+1}-U_j}{\Delta x}$ et $u_x(x_j)\approx\frac{U_j-U_{j-1}}{\Delta x}$, toutes deux d’ordre $O(\Delta x)$.

📐 Formule - La différence centrée de la dérivée première est $u_x(x_j)\approx\frac{U_{j+1}-U_{j-1}}{2\Delta x}$ et elle est d’ordre $O(\Delta x^2)$.

• Un ordre formel plus élevé ne garantit pas à lui seul une meilleure méthode, car la stabilité et le sens de propagation de l’information comptent également.

📖 4. Discrétisation temporelle et schémas

📝 Points essentiels

📐 Formule - Euler avant pour $u_t=F(u)$ s’écrit $\frac{U^{n+1}-U^n}{\Delta t}=F(U^n)$ ; il est explicite et d’ordre un.

📐 Formule - Euler arrière pour $u_t=F(u)$ s’écrit $\frac{U^{n+1}-U^n}{\Delta t}=F(U^{n+1})$ ; il est implicite et d’ordre un.

📐 Formule - Crank–Nicolson pour $u_t=F(u)$ s’écrit $\frac{U^{n+1}-U^n}{\Delta t}=\frac12\left[F(U^n)+F(U^{n+1})\right]$ ; il est implicite et d’ordre deux.

📖 5. Transport et schéma décentré amont

★ À maîtriser

📌 Pour l’advection $u_t+cu_x=0$, le schéma amont utilise la différence arrière $\frac{U_j^n-U_{j-1}^n}{\Delta x}$ si $c>0$ et la différence avant $\frac{U_{j+1}^n-U_j^n}{\Delta x}$ si $c<0$, en prenant les valeurs du côté d’où vient le signal.

📐 Formule - Pour $c>0$, le schéma amont avec Euler avant est $U_j^{n+1}=(1-\lambda)U_j^n+\lambda U_{j-1}^n$, où $\lambda=\frac{c\Delta t}{\Delta x}$.

📌 Si $0\leq\lambda\leq1$, la mise à jour amont pour $c>0$ est une combinaison convexe des deux valeurs précédentes.

Compléments

📐 Formule - Dans l’exemple avec $c=2\,\mathrm{m/s}$, $\Delta x=0{,}1\,\mathrm m$ et $\Delta t=0{,}04\,\mathrm s$, on obtient $\lambda=0{,}8$ ; pour $U_{j-1}^n=90$ et $U_j^n=80$, la valeur calculée est $U_j^{n+1}=88$.

💡 Astuce mémo

Imaginez une onde qui arrive de gauche : le calcul regarde en amont, vers j−1.

📖 6. Diffusion et schémas de la chaleur

★ À maîtriser

📐 Formule - Le schéma explicite FTCS de la diffusion est $U_j^{n+1}=rU_{j-1}^n+(1-2r)U_j^n+rU_{j+1}^n$, avec $r=\frac{\nu\Delta t}{\Delta x^2}$.

📌 Pour que les coefficients du schéma FTCS de diffusion soient tous non négatifs, il faut $0\leq r\leq\frac12$.

Compléments

• Le schéma d’Euler implicite pour la diffusion utilise les valeurs à l’instant n+1 dans la différence spatiale et exige la résolution d’un système linéaire tridiagonal à chaque pas de temps.

📌 Pour les problèmes de diffusion, les schémas explicites sont peu coûteux par pas mais conditionnellement stables, tandis que les schémas implicites coûtent davantage par pas mais permettent des pas de temps plus grands.

📖 7. Consistance stabilité et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Consistance : La consistance signifie que l’opérateur discret tend vers l’opérateur de l’EDP lorsque $\Delta x,\Delta t\to0$ ; elle mesure l’approximation locale de l’équation en un point de grille.
• Stabilité : La stabilité signifie que les perturbations numériques restent bornées lors des applications répétées du schéma, avec une estimation typique $\|U^n\|\leq C\|U^0\|$ où C reste bornée indépendamment du raffinement du maillage sur l’intervalle de temps considéré.
• Convergence : La convergence signifie que la solution numérique tend vers la solution exacte, soit $U_j^n\to u(x_j,t_n)$ lorsque $\Delta x,\Delta t\to0$.

★ À maîtriser

📌 Le théorème d’équivalence de Lax–Richtmyer affirme que, pour un problème linéaire bien posé à valeur initiale et un schéma linéaire consistant, la stabilité équivaut à la convergence ; ainsi, consistance et stabilité impliquent la convergence dans ce cadre.

Compléments

• L’erreur locale de troncature du schéma amont d’advection avec Euler avant est $O(\Delta t)+O(\Delta x)$, donc le schéma est du premier ordre en temps et en espace.

• L’erreur locale de troncature du schéma FTCS de diffusion est $O(\Delta t)+O(\Delta x^2)$.

📖 8. CFL et principe du maximum discret

★ À maîtriser

📌 Pour l’advection explicite, la condition CFL exige que la distance physique parcourue en un pas de temps ne dépasse pas la distance communiquée par le stencil, soit $\frac{|c|\Delta t}{\Delta x}\leq1$.

📌 Si $0\leq r\leq\frac12$ pour FTCS, les coefficients de la mise à jour sont non négatifs et somment à un, donc $\min_k U_k^n\leq U_j^{n+1}\leq\max_k U_k^n$.

Compléments

• Sous la condition du principe du maximum, le pas explicite de diffusion ne crée pas de nouvel overshoot ni de nouvel undershoot et vérifie $\|U^{n+1}\|_\infty\leq\|U^n\|_\infty$.

📌 Avec des conditions aux limites homogènes, le principe du maximum donne $\max_j|U_j^{n+1}|\leq\max_j|U_j^n|\leq\cdots\leq\max_j|U_j^0|$, ce qui établit la stabilité en norme infinie.

💡 Astuce mémo

Des coefficients non négatifs qui somment à un → aucune nouvelle valeur extrême.

📖 9. Analyse de stabilité de Von Neumann

🔑 Notions clés & Définitions

• Facteur d’amplification : Pour un mode d’erreur de Fourier $\varepsilon_j^n=A^n e^{ij\omega h}$, A(ωh) est le facteur d’amplification, ω le nombre d’onde spatial et h le pas de grille spatial.

★ À maîtriser

📌 Le critère de stabilité de Von Neumann exige $|A(\omega h)|\leq1$ pour tout mode résoluble $\omega h\in[-\pi,\pi]$.

📐 Formule - Pour l’advection avec différence spatiale centrée et Euler avant, le facteur d’amplification est $A=1-i\lambda\sin(\omega h)$ et $|A|^2=1+\lambda^2\sin^2(\omega h)>1$ pour $\lambda\ne0$ et les modes génériques ; le schéma est donc instable.

Compléments

📐 Formule - Pour le schéma amont d’advection avec $c>0$, l’analyse de Von Neumann donne $A=1-\lambda+\lambda e^{-i\omega h}$ et $|A|^2=1-2\lambda(1-\lambda)[1-\cos(\omega h)]$, d’où la stabilité pour $0\leq\lambda\leq1$.

📐 Formule - Pour FTCS de diffusion, l’analyse de Von Neumann donne $A=1-4r\sin^2\left(\frac{\omega h}{2}\right)$ et impose $0\leq r\leq\frac12$ pour que tous les modes résolubles soient stables.