Fiche de révision : Métrologie et capabilité des procédés

📋 Plan du Cours

1. Fondements et objectifs de la MSP
2. Modélisation des procédés
3. Loi normale et adéquation
4. Estimation et tests statistiques
5. Définitions et étalonnage métrologiques
6. Étude d’incertitude des mesures
7. Indices et interprétation des capabilités
8. Capabilité à tolérance unilatérale
9. Applications sur échantillons industriels
10. Limites adaptées aux distributions non normales
11. Autocorrélation et capabilité de mesure
12. Tests d’adéquation statistiques
13. Tests d’ajustement et de normalité
14. Rappels et approximations normales
15. Variances et sommes des carrés
16. Moyennes refusables et risques associés
17. Cartes de contrôle aux attributs
18. Capabilité des procédés à défauts

📖 1. Fondements et objectifs de la MSP

🔑 Notions clés & Définitions

• Procédé : Système qui transforme une entrée, parfois issue d’un fournisseur, en une sortie destinée à un client.

★ À maîtriser

• La qualité d’un procédé est liée à la satisfaction de la clientèle.

• Les cinq éléments dits « 5M » sont :

  • la Machine
  • la Matière
  • le Milieu
  • la Main d’œuvre
  • la Méthode

📌 Les causes communes engendrent la variabilité intrinsèque d’un procédé, tandis que les causes spéciales produisent une variabilité supplémentaire qui appelle une réaction. - Shewhart

• La mesure ajoute une variabilité aux données et sa capabilité est à étudier avant le suivi du procédé ; le cours la désigne comme le « M » additionnel des « (5+1)M ».

• La démarche DMAIC structure un projet d’amélioration en cinq étapes : Define, Measure, Analyze, Improve et Control.

Compléments

• La MSP distingue l’aptitude d’un procédé de celle d’une machine, car les actions concernant la machine se prennent plus fréquemment.

• La MSP est un outil préventif, l’analyse statistique des bases de données sert à résoudre des problèmes, et les plans d’expériences servent à résoudre des problèmes ainsi qu’à développer ou optimiser les procédés.

• Le Six Sigma, lancé par Motorola en 1986 à la suite de l’idée de Bill Smith, a d’abord proposé une nouvelle manière de mesurer la qualité.

• Le Six Sigma comprend trois éléments :

  • une unité de mesure de la qualité en sigma
  • une philosophie fondée sur les données et la statistique
  • une méthodologie structurée d’amélioration

📖 2. Modélisation des procédés

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable d’intérêt : Variable aléatoire correspondant à la caractéristique-clé étudiée du procédé.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple des tubes de cuivre, le diamètre demandé est compris entre 2,48 mm et 2,88 mm, avec une valeur nominale de 2,68 mm.

📌 Le contrôle unitaire vérifie chaque pièce, tandis que le contrôle statistique étudie des échantillons prélevés sur un lot ou à la sortie du procédé.

• Le contrôle unitaire entraîne des contraintes de :

  • coût
  • faisabilité
  • précision

• Le modèle courant considère K échantillons indépendants et identiquement distribués, chacun de taille n, pour un total de N = n · K observations.

📐 Formule - La moyenne et la variance de X sont notées $\mu = E(X)$ et $\sigma^2 = \operatorname{Var}(X)$.

• Pour une caractéristique non mesurable représentée par l’indicatrice de l’ensemble C des sorties conformes, X vaut 1 si la sortie appartient à C et 0 sinon.

📐 Formule - Pour un échantillon de taille n de sorties conformes ou non, le nombre de sorties conformes suit une loi binomiale $B(n,p)$, où $p=\mu=E(X)$.

📖 3. Loi normale et adéquation

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale : Loi symétrique en forme de cloche, entièrement définie par sa moyenne μ et son écart type σ.

★ À maîtriser

• L’examen graphique peut utiliser :

  • l’histogramme
  • la boîte à moustaches
  • le graphique QQ-plot ou droite de Henry

• Le test du Khi-deux d’adéquation convient davantage aux lois discrètes, le test de Kolmogorov-Smirnov aux lois continues, et le test de Shapiro-Wilks est spécifique à la loi normale.

Compléments

• La loi normale apparaît lorsque se combinent de nombreux phénomènes indépendants et est considérée comme adaptée aux procédés de fabrication soumis à de multiples perturbations.

📐 Formule - La densité de la loi normale $N(\mu;\sigma^2)$ est $f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right]$.

• Pour la loi normale, la moyenne est égale à la médiane et la base de la cloche s’étend de trois écarts types de part et d’autre de la moyenne.

• Une légère déviation à la normalité ne remet pas nécessairement en cause l’utilité des outils de la MSP, car une normalité approximative peut suffire. - Georges Box

• Pour une loi normale, l’histogramme doit suggérer une forme de cloche ; une bimodalité est un exemple d’indice contraire à la normalité.

• Pour une loi normale, la boîte à moustaches doit être symétrique et ses moustaches mesurer environ une fois et demie la longueur de la boîte.

• Sur un QQ-plot, les points doivent être alignés surtout dans la partie centrale pour soutenir l’hypothèse de normalité, tandis que des écarts aux extrémités peuvent résulter de l’imprécision des quantiles extrêmes.

💡 Astuce mémo

Une cloche symétrique centrée sur la moyenne, avec une base située à trois écarts types de chaque côté

📖 4. Estimation et tests statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• p-valeur : Probabilité, sous H0, d’obtenir une statistique de test au moins aussi extrême que celle observée ; H0 est rejetée lorsque p ≤ α.

★ À maîtriser

📐 Formule - La variance intra-échantillon est la moyenne des variances des groupes : $\sigma_{\mathrm{intra}}^2=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\sigma_k^2$.

📐 Formule - La variance inter-échantillon est la variance des moyennes des groupes : $\sigma_{\mathrm{inter}}^2=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}(\bar{x}_k-\bar{x}_G)^2$.

📐 Formule - La variance globale se décompose en somme des variances intra- et inter-échantillon : $\sigma_G^2=\sigma_{\mathrm{intra}}^2+\sigma_{\mathrm{inter}}^2$.

📌 Un test statistique distingue le risque de première espèce α, qui est la probabilité de rejeter H0 alors qu’elle est vraie, du risque de seconde espèce β, qui est la probabilité de ne pas rejeter H0 alors qu’elle est fausse.

• La procédure d’un test consiste à choisir H0 et H1, fixer le seuil α, calculer la statistique de test, déterminer la région critique et prendre une décision selon que la statistique appartient ou non à cette région.

• Pour le contrôle de réception, l’hypothèse nulle est $H_0:p=5\,\%$ et l’hypothèse alternative est $H_1:p=8\,\%$, où $p$ désigne le pourcentage de pièces défectueuses du lot.

📌 Avec un échantillon de 400 pièces et un seuil critique de 6 %, la livraison est acceptée si le pourcentage échantillonnal de pièces défectueuses est inférieur à 6 %, et refusée s’il est supérieur à 6 %.

• Le risque de première espèce correspond au risque de refuser la fabrication alors que $H_0$ est vraie.

• Le risque de seconde espèce correspond au risque d’accepter la fabrication alors que $H_1$ est vraie.

Compléments

📐 Formule - Pour des groupes de même taille n, la moyenne du groupe k est $\bar{x}_k=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^k$ et la moyenne globale est $\bar{x}_G=\frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}\bar{x}_k$.

📐 Formule - La variance globale empirique non corrigée est $s_G^2=\frac{1}{N}\sum_{i,k}(x_i^k-\bar{x}_G)^2$.

💡 Astuce mémo

Hypothèses → seuil → statistique → région critique → décision

📖 5. Définitions et étalonnage métrologiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution de mesure : La plus petite variation de la grandeur mesurée qui produit une variation perceptible de l’indication correspondante.
• Justesse de mesure : L’étroitesse de l’accord entre la moyenne d’un nombre infini de valeurs mesurées répétées et une valeur de référence.
• Erreur aléatoire : La composante de l’erreur de mesure qui varie de façon imprévisible lors de mesurages répétés.
• Étalonnage : Consiste à mesurer régulièrement une pièce de référence appelée étalon pour vérifier l’écart entre la valeur mesurée et la valeur de l’étalon ; le résultat peut servir à corriger les mesures futures.
• Incertitude de mesure : Un paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs à partir des informations utilisées.
• Biais de mesure : Une erreur de justesse ou l’estimation d’une erreur systématique.

📝 Points essentiels

📌 Il est usuel de choisir un appareil dont la résolution est au moins égale au dixième de l’intervalle de tolérance.

• Les étalons utilisés en pratique sont raccordés aux étalons de référence internationaux avec une erreur.

📌 Les limites statistiques de contrôle des résultats d’étalonnage peuvent fournir un critère d’intervention plus sensible que les limites de spécification du fournisseur.

💡 Astuce mémo

L’étalonnage vise l’erreur systématique ; l’étude d’incertitude vise l’erreur aléatoire.

📖 6. Étude d’incertitude des mesures

🔑 Notions clés & Définitions

• Reproductibilité : Regroupe les variations de mesurage liées à des conditions différentes, telles que les instruments, les opérateurs ou les procédures.
• Répétabilité : La dispersion des mesures répétées d’une même pièce dans des conditions identiques et sur une courte période.

★ À maîtriser

📐 Formule - Sous l’hypothèse d’indépendance entre la caractéristique mesurée et les défauts de mesure, la variance observée est $\sigma_Y^2=\sigma_P^2+\sigma_{MS}^2$.

• Une étude d’incertitude vise à estimer la part de variation provenant des pièces et celle provenant du système de mesure.

📐 Formule - L’indice R&R est le rapport entre l’écart type du système de mesure et l’écart type total : $R\&R=\frac{\sigma_{MS}}{\sigma_Y}$.

📌 Un système de mesure est jugé de très bonne capabilité si R&R ou P/T est inférieur à 10 %, capable mais améliorable s’il est inférieur à 30 %, et non apte à mesurer en production s’il dépasse 30 %.

📌 Pour décider de mettre en place une carte de contrôle, le cours recommande de comparer R&R à 30 % et d’améliorer le système de mesure si R&R dépasse ce seuil.

Compléments

📐 Formule - L’observation mesurée est la somme de la caractéristique d’intérêt et des défauts de mesure : $Y=P+M$.

📐 Formule - La capabilité du moyen de contrôle est $C_{MS}=\frac{IT}{6\sigma_{MS}}$, et l’indice précision sur tolérance est $P/T=\frac{6\sigma_{MS}}{IT}$.

• Une étude d’incertitude par plan d’expériences fait varier des facteurs de reproductibilité et répète les mesures afin d’estimer la répétabilité.

• Un plan factoriel complet réalise toutes les combinaisons possibles des niveaux des facteurs, tandis que des plans fractionnaires ou de criblage limitent le nombre d’essais lorsque le plan complet est irréalisable.

• Dans l’exemple de plan D-optimal, l’étude comporte 5 facteurs et 12 essais, et les résultats indiquent un R&R de 73 %, avec X3 puis X1 et X2 comme facteurs importants de reproductibilité.

📐 Formule - Dans le modèle sans interaction, l’observation s’écrit $Y_{ij}=\mu+P_i+O_j+\varepsilon_{ij}$, où les effets représentent la moyenne, la pièce, l’opérateur et le résidu.

📐 Formule - Dans le modèle avec interaction, l’observation s’écrit $Y_{ijk}=\mu+P_i+O_j+(OP)_{ij}+\varepsilon_{ijk}$.

• Dans l’analyse de variance, les hypothèses nulles testent respectivement l’absence d’effet pièce, l’absence d’effet opérateur et l’absence d’interaction pièce-opérateur.

📖 7. Indices et interprétation des capabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Capabilité : Le rapport entre la performance demandée, représentée par l’intervalle de tolérance, et la performance réelle, représentée par la dispersion.

★ À maîtriser

📐 Formule - Sous l’hypothèse de normalité, la capabilité vaut $C=\frac{IT}{6\sigma}$ ; une valeur de 1,33 correspond à un intervalle de tolérance égal à $8\sigma$.

📌 La capabilité long terme Pp utilise la dispersion globale du procédé, tandis que la capabilité court terme Cp utilise la dispersion instantanée de la machine.

📌 Les indices de capabilité doivent être calculés sur des données brutes représentant les pièces livrées, et non sur des moyennes.

Compléments

📐 Formule - Les indices de capabilité de base sont $P_p=\frac{IT}{6\sigma_G}$ à long terme et $C_p=\frac{IT}{6\sigma_I}$ à court terme.

📌 Pour estimer la variabilité long terme, les données doivent représenter l’ensemble de la production et être étalées sur au moins une semaine de production.

📐 Formule - L’indice tenant compte du décentrage est $P_{pk}\ (ou\ C_{pk})=\frac{\min(|T_s-\bar X|,|T_i-\bar X|)}{3\sigma}$, avec $\sigma_G$ à long terme et $\sigma_I$ à court terme.

• Le classement indicatif donne une capabilité mauvaise sous 1, insuffisante entre 1 et 1,33, moyenne à bonne entre 1,33 et 1,67, bonne à très bonne entre 1,67 et 2, et excellente au-dessus de 2.

• Une chute de Cp à Pp signale une augmentation de variation entre le court et le long terme, tandis qu’une chute de Pp à Ppk indique un décentrage.

📌 Un point lié à une cause spéciale avérée, telle qu’une coupure de courant, peut être exclu du calcul, mais cette exclusion doit rester parcimonieuse.

📌 Les échantillons utilisés pour les indices de capabilité doivent être de grande taille, si possible proches d’une centaine de points, et les intervalles de confiance permettent de tenir compte de la variabilité d’échantillonnage.

📖 8. Capabilité à tolérance unilatérale

★ À maîtriser

📌 Pour une limite haute unique, on calcule Ppk ou Cpk avec la formule $\frac{Ts-\text{moyenne}}{3\sigma}$, sans créer artificiellement une limite basse par symétrie.

📌 Pour un paramètre fortement non normal, les calculs usuels de capabilité ne s’appliquent pas.

• Une méthode non paramétrique remplace 6σ, ou 3σ pour Ppk, au dénominateur par un équivalent contenant, sous loi normale, 99.73 % des valeurs.

Compléments

• Les paramètres à une seule limite de tolérance sont par nature non symétriques, comme une durée qui ne doit pas dépasser une valeur haute sans limite basse.

• La méthode non paramétrique est détaillée dans l’étude de cas des particules du chapitre 8.

💡 Astuce mémo

Une seule limite : Ppk ou Cpk, jamais Pp ou Cp.

📖 9. Applications sur échantillons industriels

★ À maîtriser

📐 Formule - La capabilité Z est le nombre d’écarts types séparant en moyenne la production de la spécification : $Z=\frac{\text{Spécification}-\bar X}{\sigma}$.

• Dans l’approche Six Sigma, sous hypothèse de normalité, un objectif Z = 6 pour une tolérance unilatérale correspond à 1 ppm hors tolérance.

📌 L’indice d’instabilité doit être suivi globalement puis décliné par sous-processus et par responsable afin de soutenir l’amélioration continue du contrôle du procédé.

📌 Les commentaires des points hors contrôle sont obligatoires.

• Les pistes d’amélioration sont : former les opérateurs, techniciens et ingénieurs au SPC, revoir régulièrement les limites de contrôle de manière statistique, utiliser les OCAP pour standardiser les commentaires associés aux sorties de plan

Compléments

• Pour une tolérance bilatérale, les conditions Z = 6 et δ = 1,5 correspondent à des capabilités court terme Cp = 2 et Cpk = 1,5.

📌 Lorsque le procédé est parfaitement centré, la capabilité de Taguchi Ppm est équivalente à la capabilité procédé Pp.

• L’application 9 demande de calculer les moyennes, écarts types et étendues de cinq échantillons de taille 3, puis la moyenne des écarts types et celle des étendues.

• Dans l’application 9, l’intervalle de tolérance est $m_0=2{,}2\pm0{,}35$ et les questions demandent d’en déduire les différentes capabilités après estimation des variabilités.

• L’application 12 porte sur huit échantillons de deux mesures et demande d’estimer les variances inter et intra-groupe, d’évaluer si la variabilité inter-groupe est nulle et de calculer Cp, Cpk, Pp et Ppk.

• Dans l’application 13, le poids spécifié des capsules est de 5,2 ± 0,7 grammes et les prélèvements horaires sont des échantillons de taille 3.

• L’application 13 demande d’estimer la moyenne et l’écart type du poids, Cp, Cpk, Pp, Ppk, le pourcentage attendu de capsules défectueuses et la validation des hypothèses.

• Un indice d’instabilité trop élevé peut témoigner d’une mauvaise mise en place de la MSP.

📌 Dès qu’une organisation utilise des cartes de contrôle, elle doit disposer d’un système de gestion de la MSP pour progresser vers des procédés moins soumis aux variations incontrôlées.

📖 10. Limites adaptées aux distributions non normales

★ À maîtriser

• Pour une distribution fortement non normale présentant une forte queue vers les valeurs hautes, les limites classiques fondées sur la normalité peuvent produire un taux réel de hors contrôle différent du taux théorique.

• Pour établir des limites sur des données fortement non normales, on peut estimer des quantiles empiriques ou ajuster la distribution par un lissage à noyau puis en déduire les quantiles souhaités.

• Dans l’exemple de 36 mesures de particules, le lissage estime le quantile 95 % à 195 particules et le quantile 99 % à 268 particules.

📌 Dans l’exemple de particules, la carte individuelle à ±3σ détecte quatre points hors contrôle, soit environ 11 %, contre un point et environ 3 % avec la limite issue du quantile 95 % par lissage.

• Avec une distribution fortement non normale, les limites classiques à ±3σ peuvent produire trop de points hors contrôle, car la queue de distribution n’est pas nécessairement une cause assignable.

• En cas de forte non-normalité, il est recommandé d’utiliser une seule limite supérieure fondée sur le quantile à 95 % plutôt que des limites classiques à 3σ.

• Le SPC comporte un risque de fausse alarme et un risque de ne pas détecter un problème réel ; pour les paramètres critiques, le second risque doit être minimisé, même si cela peut augmenter les fausses alarmes.

• Le SPC doit être appliqué aux paramètres pertinents pour la qualité du produit et sur lesquels une action est possible en cas de situation hors contrôle.

Compléments

• L’estimation empirique de quantiles de l’ordre du pourcent nécessite quelques centaines de points, alors que le lissage à noyau permet d’estimer des limites avec quelques dizaines de points.

📌 Si l’échantillon compte moins de 100 points, le lissage à noyau permet d’estimer la distribution et de calculer les limites de contrôle à partir de cette distribution ajustée.

• Des limites adaptées réduisent les fausses alarmes susceptibles d’entraîner des arrêts ou des rebuts coûteux, notamment lorsque le volume de production est élevé.

💡 Astuce mémo

Quantiles lissés pour la forte asymétrie, contre limites classiques à ±3σ

📖 11. Autocorrélation et capabilité de mesure

★ À maîtriser

• Une carte individuelle classique appliquée directement à des données autocorrélées peut avoir des limites inadaptées et ne pas détecter un point atypique, comme le point no 205 du focus.

• Pour contrôler un paramètre autocorrélé, on calcule une EWMA avec une pondération de 0,4, on utilise cette moyenne mobile comme prévision, on calcule les résidus par soustraction de la prévision à la valeur observée, puis on crée une carte individuelle sur les résidus. - S. Weed et P. Spagon

📌 En cas d’autocorrélation, il ne faut pas appliquer directement une carte standard au paramètre brut ; la modélisation, par EWMA ou une autre méthode, puis le contrôle des résidus permettent un contrôle statistique adapté.

📌 Avant de mettre en place une carte de contrôle, il faut vérifier la capabilité de la mesure ; si la mesure ne peut pas être améliorée, il est préférable de la supprimer et d’utiliser un autre moyen de contrôle.

• Lorsque la variation entre lots est beaucoup plus forte que la variation intra-lot, l’estimation classique fondée sur l’étendue intra-lot produit des limites de contrôle trop serrées et de nombreuses fausses alarmes.

📌 Lorsque les sources de variation multiples rendent inadéquate la carte X̄ classique, il est conseillé de calculer d’abord la moyenne de chaque échantillon puis d’appliquer une carte individuelle I à ces moyennes, avec des limites à ±3σ.

Compléments

• L’amélioration du système de mesure a fait passer l’indice R&R de plus de 30 % à moins de 30 %, après la standardisation de la mesure et la formation des opérateurs.

• Après amélioration de la mesure, la limite de contrôle supérieure illustrée passe de 75 défauts avant amélioration à 50 défauts après amélioration.

• Dans l’exemple de l’osmolarité, deux mesures sont réalisées par solution et les moyennes d’échantillons sont contrôlées au moyen d’une carte individuelle I.

• L’étude des chutes de capabilité et l’examen graphique des données ou d’un effet échantillon peuvent révéler des problèmes liés à de multiples sources de variation.

💡 Astuce mémo

Autocorrélation → résidus à contrôler ; mesure imprécise → limites inadaptées

📖 12. Tests d’adéquation statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de Kolmogorov-Smirnov : Test qui compare la fonction de répartition empirique à une fonction de répartition théorique au moyen de leur écart maximal.
• Test du Khi-deux d’ajustement : Test qui évalue l’adéquation d’effectifs observés à des effectifs théoriques et convient davantage aux lois discrètes.

★ À maîtriser

📐 Formule - La statistique du test de Kolmogorov-Smirnov est $Z = \sqrt{n}\,d_{KS}(\hat{F}_n,F_0)$, avec $d_{KS}(\hat{F}_n,F_0)=\max_x|\hat{F}_n(x)-F_0(x)|$.

📐 Formule - La statistique du test du Khi-deux d’ajustement est $K=\sum_{k=0}^{\tau}\frac{(n_{Obs}(k)-n_{Theo}(k))^2}{n_{Theo}(k)}$, où les effectifs observés et théoriques correspondent à la classe k.

📌 Le test du Khi-deux nécessite des effectifs théoriques supérieurs à 5 ; les conditions de Cochran exigent que tous soient non nuls et qu’au plus 5 % soient inférieurs à 5.

Compléments

• Dans l’exemple des interrupteurs défectueux, le test de Kolmogorov-Smirnov donne une p-valeur de 0,1978 ; l’hypothèse de normalité n’est donc pas rejetée au seuil de 5 %.

• Dans l’exemple, les effectifs ne satisfont pas aux conditions de Cochran et les données sont insuffisantes pour réaliser le test du Khi-deux dans de bonnes conditions.

📌 Rejeter l’hypothèse nulle d’adéquation à une loi donnée ne signifie pas que les observations ne suivent aucune loi de cette famille, car un autre choix de paramètre peut permettre l’adéquation.

📖 13. Tests d’ajustement et de normalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Statistique W : La statistique de Shapiro-Wilks, notée $W$, compare la forme de la distribution de l’échantillon à celle de la distribution normale.

★ À maîtriser

• Le test de Shapiro-Wilks détecte bien la non-normalité, y compris dans les échantillons de taille réduite.

Compléments

• Le test du Khi-deux d’ajustement à la loi normale peut être utilisé en complément, bien qu’il soit moins adapté aux lois continues, en définissant des classes telles que $0 \leq X < 1$, $1 \leq X < 2$, jusqu’à $6 \leq X$.

• Parmi les tests de normalité figurent :

  • le test de Kolmogorov-Smirnov
  • le test d’Anderson-Darling
  • le test de Shapiro-Wilks

• Aucun test de normalité ne peut être considéré comme meilleur que les autres indépendamment de sa puissance à détecter la non-normalité.

• La statistique $W$ est le rapport de deux estimateurs liés à la variance, l’un calculé à partir de la somme des carrés des écarts à la moyenne et l’autre à partir des étendues partielles.

💡 Astuce mémo

Le Khi-deux ajuste des classes ; Shapiro-Wilks évalue la normalité.

📖 14. Rappels et approximations normales

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantile : Le quantile de niveau $p$ d’une variable aléatoire $X$ est une valeur $x$ de son domaine telle que $F(x)=P(X\leq x)=p$, pour $p\in[0{,}1]$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux variables aléatoires $X$ et $Y$, $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y)$.

📐 Formule - Pour un échantillon indépendant et identiquement distribué $X_1,\ldots,X_n$ de loi parente $X$, $\operatorname{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\operatorname{Var}(X)$.

📐 Formule - Pour deux événements $A$ et $B$ avec $P(B)>0$, la formule de Bayes est $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$.

📐 Formule - Pour une suite de variables binomiales $X_n\sim B(n,p)$, le théorème de Moivre-Laplace donne $\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0{,}1)$.

📐 Formule - Pour une variable de Poisson $X\sim P(\lambda)$ lorsque $\lambda\to\infty$, $\frac{X-\lambda}{\sqrt{\lambda}}\xrightarrow{\mathcal{L}}\mathcal{N}(0{,}1)$.

Compléments

• L’approximation de $B(n,p)$ par $\mathcal{N}(np,np(1-p))$ est généralement considérée correcte lorsque $np>5$ et $n(1-p)>5$ ; des seuils de 10 sont aussi proposés, ainsi que la condition indicative $n>50$ avec $p$ ni trop proche de 0 ni trop proche de 1.

• L’approximation d’une loi de Poisson par une loi normale est indiquée comme très satisfaisante pour $\lambda\geq18$ ; $\lambda\geq15$ est aussi donné comme condition suffisante. - Saporta, [29]

📖 15. Variances et sommes des carrés

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $K$ groupes de $n$ valeurs, la somme des carrés totale est $SC_{\mathrm{totale}}=\sum_{j=1}^{K}\sum_{i=1}^{n}(x_i^j-\bar{x}_G)^2$, où $\bar{x}_G$ est la moyenne de toutes les observations.

📐 Formule - La somme des carrés intra-groupes est $SC_{\mathrm{intra}}=\sum_{j=1}^{K}\sum_{i=1}^{n}(x_i^j-\bar{x}_j)^2$, où $\bar{x}_j$ est la moyenne du groupe $j$.

📐 Formule - La somme des carrés inter-groupes est $SC_{\mathrm{inter}}=\sum_{j=1}^{K}\sum_{i=1}^{n}(\bar{x}_j-\bar{x}_G)^2=n\sum_{j=1}^{K}(\bar{x}_j-\bar{x}_G)^2$.

📐 Formule - La décomposition des sommes de carrés vérifie $SC_{\mathrm{totale}}=SC_{\mathrm{inter}}+SC_{\mathrm{intra}}$.

📐 Formule - Sous l’hypothèse de variances égales dans les groupes, $SC_{\mathrm{intra}}/(N-K)$ estime la variance commune $\sigma^2$ ; sous l’hypothèse nulle d’égalité des moyennes, $SC_{\mathrm{inter}}/(K-1)$ l’estime également.

Compléments

• Les degrés de liberté associés aux sommes de carrés totale, intra-groupes et inter-groupes sont respectivement $N-1$, $N-K$ et $K-1$.

📐 Formule - Avec $\sigma^2_{\mathrm{inter}}=SC_{\mathrm{inter}}/(K-1)$ et $\sigma^2_{\mathrm{intra}}=SC_{\mathrm{intra}}/(N-K)$, la statistique de test est $F=\sigma^2_{\mathrm{inter}}/\sigma^2_{\mathrm{intra}}$.

📐 Formule - Dans la définition privilégiée des variances comme variance des moyennes de groupes et moyenne des variances de groupes, $\sigma_G^2=\sigma_{\mathrm{inter}}^2+\sigma_{\mathrm{intra}}^2$, avec $\sigma_{\mathrm{inter}}^2=SC_{\mathrm{inter}}/(nK)$ et $\sigma_{\mathrm{intra}}^2=SC_{\mathrm{intra}}/(nK)$.

📐 Formule - Dans cette définition, la statistique d’analyse de la variance s’écrit $F=\frac{\sigma_{\mathrm{inter}}^2/(K-1)}{\sigma_{\mathrm{intra}}^2/(N-K)}$.

💡 Astuce mémo

Décomposition des sommes de carrés → décomposition de la variance.

📖 16. Moyennes refusables et risques associés

🔑 Notions clés & Définitions

• POM : La période opérationnelle moyenne (POM) est l’espérance du nombre d’échantillons prélevés avant la détection du décalage; elle vaut $\mathrm{POM}=\frac{1}{1-P_\delta}$, où Pδ est la probabilité qu’un échantillon ne déclenche pas de détection sous décalage.

★ À maîtriser

📌 Les limites de tolérance s’appliquent aux unités individuelles X et à leur densité d’écart-type σ, tandis que les limites de contrôle des moyennes s’appliquent à X̄ et à sa densité d’écart-type σ/√n.

📐 Formule - Pour un procédé décalé vers la limite supérieure, la limite de moyenne refusable est $m_{rs}=T_s-u_{1-p}\sigma$.

• Le risque de fausse alarme α correspond à la probabilité qu’une moyenne d’échantillon dépasse les limites de contrôle alors que le procédé est sous contrôle.

• Le risque client β est la probabilité de ne pas détecter un décalage positif existant et, avec les moyennes refusables comme limites de contrôle, il vaut $\beta=\Phi\left(\left(\frac{T_s-m_0}{\sigma}-(u_{1-p}+\delta)\right)\sqrt{n}\right)$.

📐 Formule - La période opérationnelle maximale vérifie $\mathrm{POMAX}\geq\frac{\ln(\pi)}{\ln(P_\delta)}$ pour que la probabilité de dépasser cette durée reste au plus π.

Compléments

📐 Formule - La limite inférieure de moyenne refusable est $m_{ri}=T_i+u_{1-p}\sigma$.

📐 Formule - Pour un procédé centré, le risque de fausse alarme associé aux moyennes refusables est $\alpha=2\left[1-\Phi\left(\left(\frac{T_s-m_0}{\sigma}-u_{1-p}\right)\sqrt{n}\right)\right]$.

• Avec σ=4, Ts=360, Ti=340, p=0,1 %, δ=2 et n=3, les moyennes refusables calculées sont mrs=347,6 et mri=352,4, ce qui révèle que l’exemple numérique est impossible puisque mrs<mri.

• Pour les tolérances [340;360] et σ=4, la capabilité C=20/(6×4)=0,83 et la probabilité de non-conformité d’un procédé centré est 1,24 %, supérieure à 0,2 %.

• Avec σ=2,2 dans le même exemple, la capabilité vaut 1,51, α vaut 1,24 % et β est inférieur à 10⁻⁷, illustrant la forte baisse du risque client au prix d’un risque de fausse alarme accru.

📐 Formule - Sans décalage, $\mathrm{POM}_0=\frac{1}{\alpha}$; avec un décalage, $\mathrm{POM}_\delta=\frac{1}{1-\beta(\delta)}$.

• Pour σ=1, m0=80, n=4, δ=1 et π=5 %, l’application donne Pa(δ)=84 %, POM=6,25, arrondie à 7, et POMAX=17,33, arrondie à 18.

💡 Astuce mémo

Tolérance sur X, contrôle sur X̄ : deux densités, deux objets.

📖 17. Cartes de contrôle aux attributs

🔑 Notions clés & Définitions

• Carte np : La carte np suit le nombre d’unités défectueuses dans des échantillons de taille constante, avec une variable de comptage de loi binomiale B(n,p).
• Carte c : La carte c convient lorsque les échantillons sont de même taille et suit le nombre de défauts par échantillon, modélisé par une loi de Poisson de paramètre estimé par la moyenne des nombres de défauts.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une carte np, les limites de contrôle sont $LC_{np}=np\pm3\sqrt{np(1-p)}$, avec p estimé par la proportion globale d’unités défectueuses.

• Pour le cas des lave-linge, la carte u utilise des limites $\bar u\pm3\sqrt{\bar u/n}$, où ū est le nombre moyen de non-conformités par unité.

Compléments

• Pour 25 échantillons de 50 interrupteurs contenant 60 défectueux au total, la proportion estimée est 0,048, le centre de la carte np est 2,4 et les limites arrondies sont 0 et 6.

• Dans l’exemple des lave-linge, N=20×100=2000, ū=217/2000=0,1085; l’échantillon 6 est hors contrôle et son retrait conduit à ū=192/1900=0,1011, avec des limites 0,005 et 0,196.

• Pour la carte vidéo, avec c̄=3,39 défauts par 350 m, les limites arrondies sont 0 et 8, et tous les échantillons sont sous contrôle.

📖 18. Capabilité des procédés à défauts

★ À maîtriser

• Pour obtenir Ppk%=1 dans l’exemple de la machine à tisser, il faut accepter au plus 4 défauts; pour Ppk%=1,33, il faut en accepter au plus 5.

Compléments

📐 Formule - Pour un nombre de défauts de loi de Poisson de moyenne 0,56, la probabilité de zéro défaut est $P(X=0)=e^{-0{,}56}=0{,}571$ et le quantile normal associé conduit à Ppk%=0,06.

• En autorisant au plus un défaut dans le même exemple, la probabilité d’être conforme est 0,891 et l’indice Ppk% vaut 0,41.

• Pour la vidéo, autoriser deux défauts par 100 m équivaut approximativement à autoriser 7 défauts par 350 m; le Ppk% obtenu est 0,666 environ, malgré des échantillons tous sous contrôle.

• L’approximation normale de la loi de Poisson pour calculer Ppk% est signalée comme abusive lorsque λ̂=3,39, inférieur à 15.