Fiche de révision : Combinatoire et dénombrement

📋 Plan du Cours

1. Choisir une méthode de dénombrement
2. Principe multiplicatif et factorielle
3. Arrangements avec ou sans répétition
4. Permutations distinctes et répétées
5. Combinaisons et arrangements
6. Propriétés des coefficients binomiaux
7. Triangle de Pascal et binôme

📖 1. Choisir une méthode de dénombrement

📝 Points essentiels

📌 Pour choisir une formule de dénombrement, il faut déterminer si l’ordre compte, si les répétitions sont autorisées et si l’on prend tous les éléments ou seulement une partie.

💡 Astuce mémo

Ordre → répétition → nombre d’éléments choisis : poser ces trois questions avant la formule.

📖 2. Principe multiplicatif et factorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : La factorielle de n, notée n!, est le produit des entiers de n à 1, soit $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$ pour n ≥ 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des choix successifs offrant respectivement n_1, n_2, …, n_p possibilités, le nombre total de possibilités est $n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p$.

Compléments

• Avec 3 entrées, 4 plats et 2 desserts, un restaurant propose $3 \times 4 \times 2 = 24$ menus différents.

• Par convention, $0! = 1$.

• Les valeurs usuelles sont $4! = 24$ et $6! = 720$.

📖 3. Arrangements avec ou sans répétition

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrangement sans répétition : Un arrangement sans répétition est un choix ordonné de p éléments parmi n, sans choisir plusieurs fois le même élément, avec p ≤ n.
• Arrangement avec répétition : Un arrangement avec répétition est une suite ordonnée de p éléments choisis parmi n possibilités, les répétitions étant autorisées.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre d’arrangements sans répétition de p éléments parmi n est $A_n^p = n(n-1)\cdots(n-p+1) = \frac{n!}{(n-p)!}$.

• Le nombre d’arrangements avec répétition de p choix parmi n possibilités est $n^p$.

Compléments

• Pour un podium ordonné de trois places parmi 10 participants, il existe $A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$ podiums possibles.

• Un code de quatre chiffres choisis parmi 0 à 9, répétitions autorisées et zéro initial permis, peut prendre $10^4 = 10\,000$ valeurs.

💡 Astuce mémo

Sans répétition, les possibilités diminuent ; avec répétition, chaque position garde n choix.

📖 4. Permutations distinctes et répétées

🔑 Notions clés & Définitions

• Permutation : Une permutation de n éléments distincts consiste à ranger tous ces éléments dans un certain ordre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de permutations de n éléments distincts est $n!$, et une permutation est le cas particulier $A_n^n = n!$.

📐 Formule - Lorsque n objets comprennent des éléments identiques en groupes de tailles n_1, n_2, …, n_k, avec $n_1+n_2+\cdots+n_k=n$, le nombre de permutations distinctes est $\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}$.

Compléments

• Le rangement de 5 livres différents sur une étagère peut se faire de $5! = 120$ façons.

• Le mot MAMAN, qui contient deux M, deux A et un N, possède $\frac{5!}{2!\times2!}=30$ anagrammes distinctes.

💡 Astuce mémo

Objets distincts : n! ; objets identiques : diviser par les factorielles des répétitions.

📖 5. Combinaisons et arrangements

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : Une combinaison est un choix de p éléments parmi n, sans tenir compte de l’ordre et sans répétition.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

• Pour former une liste ordonnée de p éléments parmi n, on choisit d’abord les p éléments puis on les ordonne.

Compléments

📐 Formule - Le lien entre arrangements et combinaisons est $A_n^p=\binom{n}{p}\times p!$, donc $\binom{n}{p}=\frac{A_n^p}{p!}$.

• La notation $\binom{n}{p}$ se lit « p parmi n ».

• Choisir 3 élèves parmi 10 sans tenir compte de l’ordre donne $\binom{10}{3}=120$ groupes.

📖 6. Propriétés des coefficients binomiaux

★ À maîtriser

• Pour $0\leq p\leq n$, les coefficients binomiaux aux extrémités valent $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$.

• Pour $0\leq p\leq n$, la symétrie des coefficients binomiaux s’écrit $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$.

• Pour $1\leq p\leq n-1$, la relation de Pascal est $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$, également écrite $\binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}$.

Compléments

• Pour justifier la relation de Pascal, on distingue les cas où une personne particulière, Léa, est choisie ou non.

• Par symétrie, $\binom{8}{3}=\binom{8}{5}=56$.

• La relation de Pascal donne $\binom{6}{2}=\binom{5}{1}+\binom{5}{2}=5+10=15$.

💡 Astuce mémo

Dans le triangle de Pascal, chaque nombre intérieur reçoit la somme de ses deux parents.

📖 7. Triangle de Pascal et binôme

★ À maîtriser

📐 Formule - Le binôme de Newton s’écrit $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

• Les lignes du triangle de Pascal commencent par 1 et chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres placés juste au-dessus.

Compléments

• Les nombres de la ligne n du triangle de Pascal sont $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$.

• Le développement correspondant à la ligne n=4 du triangle de Pascal est $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$.

📊 Tableaux de synthèse

Choisir la formule de dénombrement