QCM : Combinatoire et dénombrement (18 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour choisir une formule de dénombrement adaptée à une situation, quels critères faut-il examiner ?

Si les choix sont simultanés, si les éléments sont numérotés et si le résultat peut être représenté par un tableau.
Si le nombre d’éléments est pair, si les choix sont indépendants et si l’ensemble est fini.
Si les éléments ont des valeurs différentes, si le choix est aléatoire et si les résultats sont équiprobables.
Si l’ordre compte, si les répétitions sont autorisées et si tous les éléments sont pris ou seulement une partie.

Si l’ordre compte, si les répétitions sont autorisées et si tous les éléments sont pris ou seulement une partie.

Explication

Le choix de la méthode dépend de l’ordre, de l’autorisation des répétitions et du fait que l’on sélectionne tous les éléments ou une partie. L’équiprobabilité et la représentation en tableau ne déterminent pas la formule de dénombrement à utiliser.

2. Une équipe sélectionne quatre personnes parmi dix, sans doublon, et les répartit entre quatre rôles distincts. Quels critères permettent de choisir la méthode de dénombrement ?

L’ordre des rôles ne compte pas, les répétitions sont admises et toutes les personnes sont choisies.
L’ordre des rôles ne compte pas, les répétitions ne sont pas admises et une partie des personnes est choisie.
L’ordre des rôles compte, les répétitions ne sont pas admises et une partie des personnes est choisie.
L’ordre des rôles compte, les répétitions sont admises et toutes les personnes sont choisies.

L’ordre des rôles compte, les répétitions ne sont pas admises et une partie des personnes est choisie.

Explication

Les rôles distincts rendent l’ordre pertinent, chaque personne ne peut recevoir qu’un rôle, et quatre personnes seulement sont prises parmi dix. L’option qui écarte l’importance de l’ordre ne convient pas puisque changer l’attribution des rôles donne une autre répartition.

3. Trois choix successifs offrent respectivement 5, 4 et 3 possibilités; quelle opération donne le nombre total de possibilités ?

Calculer le quotient 5÷4÷35 \div 4 \div 3.
Calculer la différence 5−4−35 - 4 - 3.
Calculer la somme 5+4+35 + 4 + 3.
Calculer le produit 5×4×35 \times 4 \times 3.

Calculer le produit $$5 \times 4 \times 3$$.

Explication

Le principe multiplicatif donne le nombre total de possibilités en multipliant le nombre de possibilités de chaque choix successif. L’addition additionnerait les possibilités de choix pris séparément plutôt que de compter les combinaisons successives.

4. Quelle expression définit la factorielle d’un entier n≥1n \geq 1 ?

La somme n+(n−1)+⋯+2+1n + (n-1) + \cdots + 2 + 1.
Le produit n×(n−1)×⋯×2×1n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1.
La puissance nnn^n, obtenue en multipliant nn par lui-même.
Le produit 1×2×⋯×(n−1)1 \times 2 \times \cdots \times (n-1), sans inclure nn.

Le produit $$n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1$$.

Explication

La factorielle est le produit de tous les entiers positifs de nn jusqu’à 11, inclusivement. La somme de ces entiers correspond à une autre opération et ne définit pas n!n!.

5. Une sélection ordonnée de pp éléments parmi nn, sans répétition, satisfait quelle condition ?

Elle impose p≤np \leq n, car chaque élément ne peut être choisi qu’une fois.
Elle impose p=np = n, car tous les éléments doivent figurer dans l’ordre choisi.
Elle permet p>np > n, car les éléments peuvent être repris plusieurs fois.
Elle impose p≥np \geq n, car chaque élément doit apparaître dans la sélection.

Elle impose $$p \leq n$$, car chaque élément ne peut être choisi qu’une fois.

Explication

Sans répétition, les pp éléments ordonnés doivent être distincts, ce qui exige p≤np \leq n. La possibilité d’avoir plus de choix que d’éléments suppose des répétitions, contrairement à la situation décrite.

6. Quelle formule compte les arrangements sans répétition de pp éléments parmi nn ?

Anp=n!(n−p)!A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}.
Anp=p!(n−p)!A_n^p = \frac{p!}{(n-p)!}.
Anp=npA_n^p = n^p.
Anp=n!p!A_n^p = \frac{n!}{p!}.

$$A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$$.

Explication

Pour un arrangement sans répétition, les possibilités successives diminuent de nn à n−p+1n-p+1, ce qui donne n!(n−p)!\frac{n!}{(n-p)!}. La formule npn^p compte des choix où les répétitions sont autorisées.

7. Une suite ordonnée de pp éléments choisis parmi nn possibilités constitue un arrangement avec répétition lorsque quelle condition est remplie ?

Une possibilité peut être choisie de nouveau à plusieurs positions.
Toutes les possibilités doivent apparaître au moins une fois.
Chaque possibilité retenue doit occuper une position unique.
Le nombre de positions doit être égal au nombre de possibilités.

Une possibilité peut être choisie de nouveau à plusieurs positions.

Explication

Un arrangement avec répétition est une suite ordonnée dans laquelle les mêmes possibilités peuvent être choisies plusieurs fois. Exiger des éléments distincts caractérise plutôt un arrangement sans répétition.

8. Un code comporte pp positions, chacune remplie par l’une de nn possibilités, et les répétitions sont permises; quelle expression compte les codes ?

n×pn \times p.
n!(n−p)!\frac{n!}{(n-p)!}.
npn^p.
pnp^n.

$$n^p$$.

Explication

Chaque position offre nn possibilités indépendantes, donc le principe multiplicatif donne npn^p suites. La formule n!(n−p)!\frac{n!}{(n-p)!} exclut les répétitions et ne correspond pas à cette situation.

9. Pour organiser un groupe de personnes distinctes en une permutation, que faut-il faire ?

Choisir quelques éléments du groupe sans tenir compte de leur ordre
Ranger tous les éléments du groupe dans un certain ordre
Choisir quelques éléments du groupe et les ranger dans un ordre
Ranger les éléments du groupe en autorisant des répétitions

Ranger tous les éléments du groupe dans un certain ordre

Explication

Une permutation consiste à ordonner tous les éléments distincts du groupe. Choisir seulement une partie des éléments correspond plutôt à un arrangement.

10. Combien d’ordres différents peut-on donner à six objets distincts en les utilisant tous ?

626^2, soit 36 ordres
6!6!, soit 720 ordres
2!2!, soit 2 ordres
(62)\binom{6}{2}, soit 15 ordres

$$6!$$, soit 720 ordres

Explication

Le nombre de permutations de six éléments distincts est 6!=7206! = 720. Le calcul (62)\binom{6}{2} compterait des choix de deux éléments, et non l’ordre de tous les objets.

11. Un code utilise les lettres A, A, A, B, B et C, chaque lettre apparaissant comme indiqué. Combien d’ordres distincts peut-on former avec ces six lettres ?

6!2!×2!\frac{6!}{2!\times2!}, soit 180
6!3!×2!\frac{6!}{3!\times2!}, soit 60
6!3!\frac{6!}{3!}, soit 120
6!6!, soit 720

$$\frac{6!}{3!\times2!}$$, soit 60

Explication

Les trois A et les deux B sont indiscernables au sein de leurs groupes, d’où la division de 6!6! par 3!×2!3!\times2!. Le calcul de 6!6! sans division compterait plusieurs fois les mêmes ordres.

12. On constitue une équipe de trois personnes parmi huit, sans attribuer de rôles. Quelle notion convient pour compter ces équipes ?

Un arrangement, car l’ordre des personnes détermine une équipe différente
Une combinaison, car l’ordre des personnes ne compte pas et aucune personne n’est répétée
Une permutation, car les huit personnes doivent toutes être retenues
Une combinaison avec répétition, car une personne peut occuper plusieurs places

Une combinaison, car l’ordre des personnes ne compte pas et aucune personne n’est répétée

Explication

Une combinaison représente un choix sans répétition où l’ordre ne compte pas. Un arrangement distinguerait les sélections selon l’ordre des personnes.

13. Quelle expression donne le nombre de façons de choisir quatre éléments parmi neuf sans tenir compte de l’ordre ?

4!4!
(94)=9!4!5!\binom{9}{4}=\frac{9!}{4!5!}
949^4
A94=9!5!A_9^4=\frac{9!}{5!}

$$\binom{9}{4}=\frac{9!}{4!5!}$$

Explication

Le nombre de combinaisons de quatre éléments parmi neuf est (94)=9!4!(9−4)!\binom{9}{4}=\frac{9!}{4!(9-4)!}. La formule A94A_9^4 compte des sélections ordonnées et donne donc un autre dénombrement.

14. Pour construire une liste ordonnée de trois éléments distincts parmi sept, quelle démarche de dénombrement convient ?

Former des groupes non ordonnés de trois éléments avec répétition
Choisir les trois éléments en tenant compte de leur ordre dès le départ
Ordonner d’abord les sept éléments, puis en retirer quatre
Choisir d’abord les trois éléments, puis les ordonner

Choisir d’abord les trois éléments, puis les ordonner

Explication

Une liste ordonnée peut se construire en sélectionnant d’abord les éléments, puis en déterminant leur ordre. Former directement un choix sans ordre ne distingue pas les différentes listes possibles.

15. Pour un entier n≥0n\geq0, quelles sont les valeurs de (n0)\binom{n}{0} et de (nn)\binom{n}{n} ?

Elles valent toutes les deux 1
La première vaut 0 et la seconde vaut 1
La première vaut 1 et la seconde vaut n!n!
Elles valent toutes les deux nn

Elles valent toutes les deux 1

Explication

Aux deux extrémités, les coefficients binomiaux vérifient (n0)=(nn)=1\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1. La valeur n!n! correspond au nombre de permutations de nn éléments distincts, pas à ces coefficients.

16. Pour 0≤p≤n0\leq p\leq n, quel coefficient est égal à (np)\binom{n}{p} par symétrie ?

(n+1p)\binom{n+1}{p}
(pn)\binom{p}{n}
(nn−p)\binom{n}{n-p}
(n−pp)\binom{n-p}{p}

$$\binom{n}{n-p}$$

Explication

La symétrie des coefficients binomiaux donne (np)=(nn−p)\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}. Elle conserve le nombre d’éléments disponibles et remplace le nombre choisi par son complément.

17. Pour 1≤p≤n−11\leq p\leq n-1, comment exprimer (np)\binom{n}{p} à l’aide des coefficients de la ligne précédente ?

(n−1p−1)+(n−1p)\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}
(n−1p−1)×(n−1p)\binom{n-1}{p-1}\times\binom{n-1}{p}
(n−1p−1)−(n−1p)\binom{n-1}{p-1}-\binom{n-1}{p}
(n−1p)+(n−1p+1)\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p+1}

$$\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}$$

Explication

La relation de Pascal donne (np)=(n−1p−1)+(n−1p)\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}{p}. Une différence entre les deux coefficients ne permet pas d’obtenir le coefficient de la ligne suivante.

18. Dans le triangle de Pascal, comment obtient-on un nombre intérieur à partir de la ligne précédente ?

En recopiant le nombre situé directement au-dessus.
En soustrayant le nombre de gauche de celui de droite.
En additionnant les deux nombres situés juste au-dessus.
En multipliant les deux nombres situés juste au-dessus.

En additionnant les deux nombres situés juste au-dessus.

Explication

Chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres placés juste au-dessus, tandis que les lignes commencent par 1. La multiplication des nombres précédents est une règle plausible, mais elle ne correspond pas à la construction du triangle.

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Quels critères faut-il examiner pour choisir une formule de dénombrement ?

L’importance de l’ordre, l’autorisation des répétitions et le choix de tous les éléments ou d’une partie.

Comment calculer le nombre total de choix successifs offrant respectivement n1,n2,…,npn_1, n_2, \ldots, n_p possibilités ?

n1×n2×⋯×npn_1 \times n_2 \times \cdots \times n_p possibilités.

Comment s’écrit la factorielle de nn pour n≥1n \geq 1 ?

n!=n×(n−1)×⋯×2×1n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1.

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