Fiche de révision : Modélisation mathématique et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Principes de la modélisation mathématique
2. Fonctions affines et droites
3. Ajustement affine et prévisions
4. Modélisation parabolique
5. Formes usuelles et choix du modèle
6. Taux d’accroissement et tangente

📖 1. Principes de la modélisation mathématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Modèle mathématique : Traduction d’une observation, généralement issue d’une étude statistique descriptive, permettant d’appliquer des outils, techniques et théories mathématiques avant de traduire les résultats en prédictions ou opérations réelles.

★ À maîtriser

📌 Un modèle n’est jamais parfaitement représentatif de la réalité, car le choix des paramètres et des relations qui les lient dépend de la finalité recherchée.

Compléments

• Pour un même objectif, plusieurs modèles peuvent être possibles et chacun peut présenter des avantages spécifiques.

• Le cadastre fiscal et les bases de la taxation immobilière constituent un archétype de la modélisation économique, mais ils ne reflètent qu’imparfaitement la valeur réelle des biens.

💡 Astuce mémo

Observation → modèle mathématique → prédictions dans le monde réel

📖 2. Fonctions affines et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Se représente graphiquement par une droite et s’écrit généralement $(d): y = mx + p$.
• Coefficient directeur : Dans l’équation $(d): y = mx + p$, le coefficient $m$ est le coefficient directeur de la droite.
• Ordonnée à l’origine : Dans l’équation $(d): y = mx + p$, le coefficient $p$ est l’ordonnée à l’origine.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une droite passant par A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine vérifient $m = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ et $p = y_A-mx_A$.

💡 Astuce mémo

Une droite définie par sa pente m et son point de départ p

📖 3. Ajustement affine et prévisions

★ À maîtriser

• Entre 2001 et 2009, l’indice de fréquence du secteur BTP passe de 100,3 à 76,0.

📌 Ajuster une droite à un nuage de points consiste à rechercher une tendance, mais la droite obtenue reste une approximation des données.

📐 Formule — Pour les données du BTP, une droite d’ajustement donnée par le cours est $(d): y = -2{,}89x + 102{,}59$, avec un coefficient directeur $m=-2{,}89$.

Compléments

• L’indice de fréquence des accidents du travail correspond au nombre moyen d’accidents du travail avec arrêt pour 1 000 salariés.

• Une prévision affine consiste à prolonger la tendance représentée par la droite d’ajustement afin d’estimer une valeur future.

💡 Astuce mémo

Nuage de points → droite de tendance → approximation → prévision

📖 4. Modélisation parabolique

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe d’équation $y=ax^2+bx+c$, où $a$ est réel non nul et $b$ et $c$ sont réels.

★ À maîtriser

📌 Le nuage de points de la maladie A peut être ajusté par une droite affine, tandis que celui de la maladie B présente une forme justifiant un ajustement parabolique.

Compléments

• La parabole de la maladie B passe par P(0 ; 1 700), Q(10 ; 1 950) et R(20 ; 2 900), ce qui permet de déterminer ses coefficients a, b et c.

• Une fois l’équation parabolique déterminée à partir des trois points, elle permet d’estimer le nombre de personnes atteintes de la maladie B en 2011.

💡 Astuce mémo

Maladie A : tendance affine ; maladie B : forme parabolique

📖 5. Formes usuelles et choix du modèle

📝 Points essentiels

• Les formes de fonctions citées sont:
  • fonctions polynômes
  • fonctions exponentielles
  • fonctions rationnelles

📖 6. Taux d’accroissement et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Nombre $\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$.
• Tangente : Meilleure approximation affine de la courbe au voisinage de ce point.

★ À maîtriser

📌 Le taux d’accroissement entre deux points de la courbe est le coefficient directeur de la droite qui relie ces deux points.

📐 Formule — Lorsque $\Delta x$ tend vers zéro, le coefficient directeur de la tangente est la limite du taux d’accroissement : $f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$.

Compléments

• Pour la fonction $f(x)=x^2-2x+1$, le cours demande de calculer les taux d’accroissement entre 2 et 3, entre 2 et 2,5, entre 2 et 2,1, puis entre 2 et 2+h.

💡 Astuce mémo

Intervalle qui rétrécit → taux d’accroissement limite → pente de la tangente

📊 Tableaux de synthèse

Choisir un modèle selon la forme